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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Di 22.07.2014 | | Autor: | Smuji |
| Aufgabe | Zeigen sie für alle natürlichen Zahlen n:
a) [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge [/mm] 2 [mm] \wurzel{n+1} [/mm] -2
b) [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^{k}} [/mm] = [mm] \bruch{2^{n+1} -n -2}{2^{n}}
[/mm]
c) [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{2}}{(2k-1)(2k+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)}{2(2n+1)} [/mm] |
Hallo,
ich habe hier 3 Aufgaben, die so ähnlich in alten Klausuren vor kamen und ich will diese mal für die bevorstehende Klausur üben, da ich darin noch nciht sicher bin. wäre sehr nett, wenn ihr mal drüber schauen könntet.
a) Induktionsanfang: für k;n = 1
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1}} \ge [/mm] 2 [mm] \wurzel{1+1} [/mm] -2
daraus folgt:
1 [mm] \ge [/mm] 0,8284
Induktionsschritt:
Vorraussetzung =
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge [/mm] 2 [mm] \wurzel{n+1} [/mm] -2
Behauptung =
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge [/mm] 2 [mm] \wurzel{n+2} [/mm] -2
Beweis =
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} \ge [/mm] 2 [mm] \wurzel{n+1} [/mm] -2 + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
daraus folgt:
hier komme ich nun nicht mehr weiter... normalerweise würde ich ja nun gleichsetzen und optisch "schön" umformen....
b)
Induktionsanfang: für k;n; = 1
[mm] \bruch{1}{2^{1}} [/mm] = [mm] \bruch{2^{1+1} -1 -2}{2^{1}}
[/mm]
daraus folgt:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
Induktionsschritt:
Vorraussetzung=
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^{k}} [/mm] = [mm] \bruch{2^{n+1} -n -2}{2^{n}}
[/mm]
Behauptung=
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{k}{2^{k}} [/mm] = [mm] \bruch{2^{n+2} -(n+1) -2}{2^{n+1}}
[/mm]
Beweis=
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^{k}} [/mm] + [mm] \bruch{n+1}{2^{n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{2^{n+1} -n -2}{2^{n}} [/mm] + [mm] \bruch{n+1}{2^{n+1}}
[/mm]
[mm] \bruch{2^{n+2} -(n+1) -2}{2^{n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{2^{n+1} -n -2}{2^{n}} [/mm] + [mm] \bruch{n+1}{2^{n+1}}
[/mm]
nach umformung durch erweitern des bruchs erhalte ich:
[mm] \bruch{2^{n+2} -(n+1) -2}{2^{n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{2(2^{n+1} -n -2)}{2^{n+1}} [/mm]
c)
Induktionsanfang: für k;n = 1
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1^{2}}{((2*1)-1)((2*1)+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1(1+1)}{2((2*1)+1)}
[/mm]
und hier hänge ich schon wieder, denn man sieht direkt, dass es nicht GLEICH ist.... und nun ?? abbruch, oder habe ich einen fehler gemacht ?
gruß Smuji
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Di 22.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen sie für alle natürlichen Zahlen n:
>
> a) [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge[/mm] 2
> [mm]\wurzel{n+1}[/mm] -2
Du selbst hast doch diese Aufgabe schon hier
https://matheraum.de/read?t=1028530
gepostet. Dort wurde sie diskutiert ?
>
> b) [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^{k}}[/mm] = [mm]\bruch{2^{n+1} -n -2}{2^{n}}[/mm]
Auch diese Aufgabe hattest Du schon mal:
https://matheraum.de/read?t=1028547
>
> c) [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{2}}{(2k-1)(2k+1)}[/mm] =
> [mm]\bruch{n(n+1)}{2(2n+1)}[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe hier 3 Aufgaben, die so ähnlich in alten
> Klausuren vor kamen und ich will diese mal für die
> bevorstehende Klausur üben, da ich darin noch nciht sicher
> bin. wäre sehr nett, wenn ihr mal drüber schauen
> könntet.
>
>
> a) Induktionsanfang: für k;n = 1
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1}} \ge[/mm] 2 [mm]\wurzel{1+1}[/mm] -2
>
> daraus folgt:
>
> 1 [mm]\ge[/mm] 0,8284
>
>
> Induktionsschritt:
>
> Vorraussetzung =
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge[/mm] 2 [mm]\wurzel{n+1}[/mm]
> -2
>
>
> Behauptung =
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{\wurzel{k}} \ge[/mm] 2 [mm]\wurzel{n+2}[/mm]
> -2
>
>
> Beweis =
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{k}}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}} \ge[/mm] 2 [mm]\wurzel{n+1}[/mm] -2 +
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
>
> daraus folgt:
>
> hier komme ich nun nicht mehr weiter... normalerweise
> würde ich ja nun gleichsetzen und optisch "schön"
> umformen....
>
>
>
>
> b)
>
> Induktionsanfang: für k;n; = 1
>
>
> [mm]\bruch{1}{2^{1}}[/mm] = [mm]\bruch{2^{1+1} -1 -2}{2^{1}}[/mm]
>
> daraus folgt:
>
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
>
> Induktionsschritt:
>
> Vorraussetzung=
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^{k}}[/mm] = [mm]\bruch{2^{n+1} -n -2}{2^{n}}[/mm]
>
>
> Behauptung=
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{k}{2^{k}}[/mm] = [mm]\bruch{2^{n+2} -(n+1) -2}{2^{n+1}}[/mm]
>
>
> Beweis=
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^{k}}[/mm] + [mm]\bruch{n+1}{2^{n+1}}[/mm] =
> [mm]\bruch{2^{n+1} -n -2}{2^{n}}[/mm] + [mm]\bruch{n+1}{2^{n+1}}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{2^{n+2} -(n+1) -2}{2^{n+1}}[/mm] = [mm]\bruch{2^{n+1} -n -2}{2^{n}}[/mm]
> + [mm]\bruch{n+1}{2^{n+1}}[/mm]
>
>
> nach umformung durch erweitern des bruchs erhalte ich:
>
> [mm]\bruch{2^{n+2} -(n+1) -2}{2^{n+1}}[/mm] = [mm]\bruch{2(2^{n+1} -n -2)}{2^{n+1}}[/mm]
>
>
>
> c)
>
> Induktionsanfang: für k;n = 1
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1^{2}}{((2*1)-1)((2*1)+1)}[/mm] =
> [mm]\bruch{1(1+1)}{2((2*1)+1)}[/mm]
>
>
> und hier hänge ich schon wieder, denn man sieht direkt,
> dass es nicht GLEICH ist.... und nun ?? abbruch, oder habe
> ich einen fehler gemacht ?
Beim Induktionsanfang ist zu zeigen:
[mm] \bruch{1^{2}}{((2*1)-1)((2*1)+1)}=\bruch{1(1+1)}{2((2*1)+1)}
[/mm]
Und das stimmt.
FRED
>
>
>
> gruß Smuji
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Di 22.07.2014 | | Autor: | Smuji |
danke, habe die aufgaben nicht mehr gefunden.... werde mir nochmals alles anschauen.... zu der letzten aufgabe....stimmt, habe es nochmal durchgerechnet....k.a. wie ich auf die idee kam...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Do 24.07.2014 | | Autor: | Smuji |
| Aufgabe | | c) $ [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{2}}{(2k-1)(2k+1)} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{n(n+1)}{2(2n+1)} [/mm] $ |
also dann machen wir nochmal die c)
Induktionsanfang:
k, n, = 1
c) $ [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1^{2}}{(2*1-1))(2*1+1))} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1(1+1)}{2(2*1+1)} [/mm] $
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{2}{6}
[/mm]
also stimmt...
Induktionsschritt:
Vorraussetzung= $ [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{2}}{(2k-1)(2k+1)} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{n(n+1)}{2(2n+1)} [/mm] $
Behauptung= $ [mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{k^{2}}{(2k-1)(2k+1)} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{2(2n+2)} [/mm] $
Beweis= $ [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{2}}{(2k-1)(2k+1)} [/mm] + [mm] \bruch{(n+1)^{2}}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{n(n+1)}{2(2n+1)} [/mm] + [mm] \bruch{(n+1)^{2}}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1} [/mm] $
[mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{2(2n+2)}= [/mm] $ [mm] \bruch{n(n+1)}{2(2n+1)} [/mm] + [mm] \bruch{(n+1)^{2}}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1} [/mm] $
nun klammern lösen....
[mm] \bruch{n^{2}+3n+2}{4n+4} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}+n}{4n+2} [/mm] + [mm] \bruch{n^{2}+2n+1}{4n^{2}+8n+3}
[/mm]
allerdings muss hier schon ein fheler sein, denn es ist nicht gleich...
?!?!? hat jemand ein ahnung wo der fehler ist ?
gruß smuji
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Do 24.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> c) [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{2}}{(2k-1)(2k+1)}[/mm] =
> [mm]\bruch{n(n+1)}{2(2n+1)}[/mm]
> also dann machen wir nochmal die c)
>
> Induktionsanfang:
>
> k, n, = 1
>
> c) [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1^{2}}{(2*1-1))(2*1+1))}[/mm] =
> [mm]\bruch{1(1+1)}{2(2*1+1)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] = [mm]\bruch{2}{6}[/mm]
>
> also stimmt...
>
>
> Induktionsschritt:
>
>
>
> Vorraussetzung= [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{2}}{(2k-1)(2k+1)}[/mm]
> = [mm]\bruch{n(n+1)}{2(2n+1)}[/mm]
>
>
>
> Behauptung= [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{k^{2}}{(2k-1)(2k+1)}[/mm]
> = [mm]\bruch{(n+1)(n+2)}{2(2n+2)}[/mm]
Hier muss es lauten:
= [mm]\bruch{(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}[/mm]
FRED
>
>
>
> Beweis= [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{2}}{(2k-1)(2k+1)} + \bruch{(n+1)^{2}}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1}[/mm]
> = [mm]\bruch{n(n+1)}{2(2n+1)} + \bruch{(n+1)^{2}}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1}[/mm]
>
>
>
> [mm]\bruch{(n+1)(n+2)}{2(2n+2)}=[/mm] [mm]\bruch{n(n+1)}{2(2n+1)} + \bruch{(n+1)^{2}}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1}[/mm]
>
>
> nun klammern lösen....
>
>
> [mm]\bruch{n^{2}+3n+2}{4n+4}[/mm] = [mm]\bruch{n^{2}+n}{4n+2}[/mm] +
> [mm]\bruch{n^{2}+2n+1}{4n^{2}+8n+3}[/mm]
>
>
> allerdings muss hier schon ein fheler sein, denn es ist
> nicht gleich...
>
> ?!?!? hat jemand ein ahnung wo der fehler ist ?
>
>
> gruß smuji
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Do 24.07.2014 | | Autor: | Smuji |
und warum ?
die ausgangsform ist doch $ [mm] \bruch{n(n+1)}{2(2n+1)} [/mm] $
und dann n um 1 erhöhen = $ [mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{2(2n+2)} [/mm] $
??!?!?!?!? sag bloß, da gibt es wieder irgendeine sonderregelung ?!?
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Hallo Smuji,
> und warum ?
>
> die ausgangsform ist doch [mm]\bruch{n(n+1)}{2(2n+1)}[/mm]
>
> und dann n um 1 erhöhen = [mm]\bruch{(n+1)(n+2)}{2(2n+1)}=[/mm]
>
Es muss hier doch lauten:
[mm]\bruch{(n+1)(n+2)}{2(2\blue{\left(n+1\right)}+1)}=\bruch{(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}[/mm]
>
> ??!?!?!?!? sag bloß, da gibt es wieder irgendeine
> sonderregelung ?!?
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Do 24.07.2014 | | Autor: | Smuji |
klar, logisch.... werde es morgen nochmal durchrechnen und meine korrigierte aufgabe posten...
danke !
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Fr 25.07.2014 | | Autor: | Smuji |
Es muss hier doch lauten:
$ [mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{2(2\blue{\left(n+1\right)}+1)}=\bruch{(n+1)(n+2)}{2(2n+3)} [/mm] $
ok, habe ich verändert.... dann habe ich
$ [mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{2(2n+3)} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{n(n+1)}{2(2n+1)} [/mm] + [mm] \bruch{(n+1)^{2}}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1} [/mm] $
und muss hier die klammern lösen.....
[mm] \bruch{n^{2}+2n+n+2}{4n+6} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}+n}{4n+2} [/mm] + [mm] \bruch{n^{2}+2n+2}{4n^{2}+6n+2n+3}
[/mm]
nun zusammenfassen
[mm] \bruch{n^{2}+3n+2}{4n+6} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}+n}{4n+2} [/mm] + [mm] \bruch{n^{2}+2n+2}{4n^{2}+8n+3}
[/mm]
aber bevor ich weiter mache, wenn ich nun für n = 3 einsetzte, stelle ich fest, es ist ungleich....wo ist denn nun der fehler ?!? oh man oh man
gruß smuji
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Hallo Smuji,
> Es muss hier doch lauten:
>
> [mm]\bruch{(n+1)(n+2)}{2(2\blue{\left(n+1\right)}+1)}=\bruch{(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}[/mm]
>
> ok, habe ich verändert.... dann habe ich
>
>
>
> [mm]\bruch{(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1)}{2(2n+1)} + \bruch{(n+1)^{2}}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1}[/mm]
>
>
> und muss hier die klammern lösen.....
>
>
> [mm]\bruch{n^{2}+2n+n+2}{4n+6}[/mm] = [mm]\bruch{n^{2}+n}{4n+2}[/mm] +
> [mm]\bruch{n^{2}+2n+2}{4n^{2}+6n+2n+3}[/mm]
>
>
> nun zusammenfassen
>
>
>
> [mm]\bruch{n^{2}+3n+2}{4n+6}[/mm] = [mm]\bruch{n^{2}+n}{4n+2}[/mm] +
> [mm]\bruch{n^{2}+2n+2}{4n^{2}+8n+3}[/mm]
>
Es muss doch hier lauten:
[mm]\bruch{n^{2}+3n+2}{4n+6} = \bruch{n^{2}+n}{4n+2} + \bruch{n^{2}+2n+\red{1}}{4n^{2}+8n+3}[/mm]
> aber bevor ich weiter mache, wenn ich nun für n = 3
> einsetzte, stelle ich fest, es ist ungleich....wo ist denn
> nun der fehler ?!? oh man oh man
>
>
> gruß smuji
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Fr 25.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Es muss hier doch lauten:
>
> [mm]\bruch{(n+1)(n+2)}{2(2\blue{\left(n+1\right)}+1)}=\bruch{(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}[/mm]
>
> ok, habe ich verändert.... dann habe ich
>
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>
> [mm]\bruch{(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1)}{2(2n+1)} + \bruch{(n+1)^{2}}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1}[/mm]
>
>
> und muss hier die klammern lösen.....
>
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> [mm]\bruch{n^{2}+2n+n+2}{4n+6}[/mm] = [mm]\bruch{n^{2}+n}{4n+2}[/mm] +
> [mm]\bruch{n^{2}+2n+2}{4n^{2}+6n+2n+3}[/mm]
>
>
> nun zusammenfassen
>
>
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> [mm]\bruch{n^{2}+3n+2}{4n+6}[/mm] = [mm]\bruch{n^{2}+n}{4n+2}[/mm] +
> [mm]\bruch{n^{2}+2n+2}{4n^{2}+8n+3}[/mm]
>
> aber bevor ich weiter mache, wenn ich nun für n = 3
> einsetzte, stelle ich fest, es ist ungleich....wo ist denn
> nun der fehler ?!? oh man oh man
>
Wie von MathePower schon angemerkt hast du einen Fehler beim Ausrechnen von [mm] $(n+1)^2$ [/mm] gemacht.
Darüber hinaus wollte ich noch anmerken, dass es vielleicht nicht die beste Idee war, die Nenner vollständig auszurechnen. Schließlich wirst du die beiden Brüche doch addieren wollen und dazu den kleinsten gemeinsamen Nenner bestimmen müssen.
Gruß RMix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Fr 25.07.2014 | | Autor: | Smuji |
$ [mm] \bruch{n^{2}+3n+2}{4n+6} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}+n}{4n+2} [/mm] + [mm] \bruch{n^{2}+2n+\red{1}}{4n^{2}+8n+3} [/mm] $
stimmt natürlich, habe wie immer, einen fehler gemacht
aber nun hast du wieder recht, wie bekomme ich die beiden nun zusammen ?!? jetzt sieht es ziemlich schwer aus, aber auch vorher, als es noch so aussah:
$ [mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{2(2n+3)} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{n(n+1)}{2(2n+1)} [/mm] + [mm] \bruch{(n+1)^{2}}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1} [/mm] $
wie kann ich das zusammenfügen ? vielleicht so.
$ [mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{2(2n+3)} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{n(n+1)}{2(2n+1)} [/mm] + [mm] \bruch{(n+1)^{2}}{(2n+1)(2n+3)} [/mm] $
??? ne auch nicht gut
vielleicht:
= $ [mm] \bruch{n(n+1)}{2(2n+1)} [/mm] + [mm] \bruch{2(n+1)^{2}}{2(2n+1)(2n+3)} [/mm] $
dann
= [mm] \bruch{n(n+1)(2n+3)}{2(2n+1)(2n+3)} [/mm] + [mm] \bruch{2(n+1)^{2}}{2(2n+1)(2n+3)} [/mm]
dann
= [mm] \bruch{n(n+1)(2n+3) + 2(n+1)^{2}}{2(2n+1)(2n+3)} [/mm]
dann würde es so aussehen:
[mm] \bruch{n^{2}+3n+2}{4n+6} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+3) + 2(n+1)^{2}}{2(2n+1)(2n+3)} [/mm]
JETZT ausklammern
[mm] \bruch{n^{2}+3n+2}{4n+6} [/mm] = [mm] \bruch{2n^{3}+7n^{2}+7n+2}{8n^{2}+16n+6} [/mm]
nun komme ich links und rechts jeweils auf = [mm] \bruch{10}{9}
[/mm]
ist das nun alles so richtig und bin ich nun fertig ?
gruß smuji
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Fr 25.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> [mm]\bruch{n^{2}+3n+2}{4n+6} = \bruch{n^{2}+n}{4n+2} + \bruch{n^{2}+2n+\red{1}}{4n^{2}+8n+3}[/mm]
>
>
> stimmt natürlich, habe wie immer, einen fehler gemacht
>
>
> aber nun hast du wieder recht, wie bekomme ich die beiden
> nun zusammen ?!? jetzt sieht es ziemlich schwer aus, aber
> auch vorher, als es noch so aussah:
>
> [mm]\bruch{(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1)}{2(2n+1)} + \bruch{(n+1)^{2}}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1}[/mm]
>
>
> wie kann ich das zusammenfügen ? vielleicht so.
>
>
> [mm]\bruch{(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1)}{2(2n+1)} + \bruch{(n+1)^{2}}{(2n+1)(2n+3)}[/mm]
>
> ??? ne auch nicht gut
>
> vielleicht:
>
> = [mm]\bruch{n(n+1)}{2(2n+1)} + \bruch{2(n+1)^{2}}{2(2n+1)(2n+3)}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dann
>
>
>
> = [mm]\bruch{n(n+1)(2n+3)}{2(2n+1)(2n+3)}[/mm] +
> [mm]\bruch{2(n+1)^{2}}{2(2n+1)(2n+3)}[/mm]
>
>
> dann
>
> = [mm]\bruch{n(n+1)(2n+3) + 2(n+1)^{2}}{2(2n+1)(2n+3)}[/mm]
>
>
> dann würde es so aussehen:
>
>
> [mm]\bruch{n^{2}+3n+2}{4n+6}[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1)(2n+3) + 2(n+1)^{2}}{2(2n+1)(2n+3)}[/mm]
>
> JETZT ausklammern
Nein! Keine gute Idee
Wobei, AUSKLAMMERN - das wärs schon, aber nicht alles ausrechnen. Sieh dir deinen Ausdruck doch einmal genau an. Was könntest du denn jetzt ausklammern?
[mm]\bruch{n^{2}+3n+2}{4n+6}[/mm] = [mm]\bruch{n\red{(n+1)}(2n+3) +2\red{(n+1)}^{2}}{2(2n+1)(2n+3)}[/mm]
Und lass den Nenner vorerst bitte in Ruhe - nicht ausmultiplizieren.
>
> [mm]\bruch{n^{2}+3n+2}{4n+6}[/mm] =
> [mm]\bruch{2n^{3}+7n^{2}+7n+2}{8n^{2}+16n+6}[/mm]
>
>
> nun komme ich links und rechts jeweils auf = [mm]\bruch{10}{9}[/mm]
>
> ist das nun alles so richtig und bin ich nun fertig ?
Wenn die Aufgabe war, die Beziehung ausschließlich für n=3 zu zeigen, ja. Das hättest du aber auch billiger haben können.
Du hast jetzt zwei Möglichkeiten: du setzt alle Werte die für $n$ möglich sind ein so wie du das mit $n=3$ gemacht hast. Das dauert allerdings leider unendlich lang. Die andere Möglichkeit ist, den Ausdruck
[mm]\bruch{n\red{(n+1)}(2n+3) +2\red{(n+1)}^{2}}{2(2n+1)(2n+3)}[/mm]
solange umzuformen, bis zum Schluss der zu zeigende Ausdruck
[mm]\bruch{n^{2}+3n+2}{4n+6}[/mm]
herauskommt.
RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
nein nein, es ist zu zeigen für alle n....
ich habe immer nur ab und zu mal die 3 eingesetzt, ob zu schauen ob ich links und rechts das gleiche habe..also ob sich ein fehler eingeschlichen hat....hätte ja jede x-beliebige zahl nehmen können...
$ [mm] \bruch{n^{2}+3n+2}{4n+6} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{n\red{(n+1)}(2n+3) +2\red{(n+1)}^{2}}{2(2n+1)(2n+3)} [/mm] $
du meinst, ich soll n+1 ausklammern
a la
$ [mm] \bruch{n^{2}+3n+2}{4n+6} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{(n+1)*(n(2n+3)) +2(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)} [/mm] $
und nun ?
gruß smuji
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Hallo Smuji,
> nein nein, es ist zu zeigen für alle n....
>
> ich habe immer nur ab und zu mal die 3 eingesetzt, ob zu
> schauen ob ich links und rechts das gleiche habe..also ob
> sich ein fehler eingeschlichen hat....hätte ja jede
> x-beliebige zahl nehmen können...
>
>
> [mm]\bruch{n^{2}+3n+2}{4n+6}[/mm] = [mm]\bruch{n\red{(n+1)}(2n+3) +2\red{(n+1)}^{2}}{2(2n+1)(2n+3)}[/mm]
>
>
> du meinst, ich soll n+1 ausklammern
>
> a la
>
>
> [mm]\bruch{n^{2}+3n+2}{4n+6}[/mm] = [mm]\bruch{(n+1)*(n(2n+3)) +2(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)}[/mm]
>
>
> und nun ?
>
Versuche den Zähler der rechten Seite als Produkt zu schreiben.
>
> gruß smuji
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
was genau meinst du ? soll ich den zähler komplett ausmultiplizieren ?
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Hallo Smuji,
> was genau meinst du ? soll ich den zähler komplett
> ausmultiplizieren ?
Nein.
Es geht hier nur um diesen Teil:
[mm]n(2n+3) +2(n+1)[/mm]
Diesen kannst Du versuchen, so zu schreiben:
[mm]n(2n+3) +2(n+1)=\left(n+c\right)\left(2n+d\right)[/mm]
Dazu sind natürlich beide Seiten auszumultiplizieren.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ich habe keine ahnung wie ich die addition da raus bekomme ?!? subtrahieren, nur dann muss ich doch auch den nenner verändern ?!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Sa 26.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> ich habe keine ahnung wie ich die addition da raus bekomme
> ?!? subtrahieren, nur dann muss ich doch auch den nenner
> verändern ?!?
Rechne den Zähler (nur den Ausdruck in der zweiten großen Klammer) aus und du erhältst einen quadratischen Ausdruck in n.
Ich nehme an, dass du weißt, wie man einen quadratischen Term in Linearfaktoren zerlegt (Null setzen, quadr. Glg. lösen, Satz von Viëta).
RMix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
$ [mm] \bruch{n^{2}+3n+2}{4n+6} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{(n+1)\cdot{}(n(2n+3))+2(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)} [/mm] $
>
ich soll (n(2n+3))
ausrechnen
[mm] 2n^{2} [/mm] + 3n
gut, aber wieso soll ich diesen nun in linearfaktoren zerlegen ?
[mm] (x+\bruch{2}{3}) [/mm] und (x-0)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Sa 26.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> [mm]\bruch{n^{2}+3n+2}{4n+6}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)\cdot{}(n(2n+3))+2(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> >
>
> ich soll (n(2n+3))
>
>
> ausrechnen
Nein. Jedenfalls nicht nur. Ich meinte du sollst den kompletten zweiten Faktor im Nenner ausrechnen. Also jenen Klammerausdruck, den du zu schließen vergessen hast
$n(2n+3))+2(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)=...$
>
> [mm]2n^{2}[/mm] + 3n
>
> gut, aber wieso soll ich diesen nun in linearfaktoren
> zerlegen ?
>
> [mm](x+\bruch{2}{3})[/mm] und (x-0)
Das schmerzt jetzt in mehrfacher Hinsicht!
Glaubst du wirklich, dass gilt
[mm] $2*n^2 +3*n=(x+\bruch{2}{3})*(x-0)$ [/mm] ??
Es ist aber auch nicht (jetzt mit richtiger Variablenbezeichnung)
[mm] $2*n^2 +3*n=(n+\bruch{2}{3})*(n-0)$ [/mm]
und leider auch nicht (jetzt mit richtiger Nullstelle)
[mm] $2*n^2 +3*n=(n+\bruch{3}{2})*(n-0)$,
[/mm]
weil ja der Koeffizient vom quadratischen Glied nicht $1$ ist.
Vielmehr gilt
[mm] $2*n^2 +3*n=2*(n+\bruch{3}{2})*(n-0)=(2*n+3)*n$.
[/mm]
Das ist jetzt kaum verwunderlich, da du den Ausdruck ja genau durch Ausmultiplizieren dieser beiden Terme erhalten hast.
Trotzdem kann dir, wenn du drüber nachdenkst und du es nachvollziehst, obiges helfen, jenen Term, den du eigentlich behandeln sollst, in Faktoren zu zerlegen. Denn auch dort wird der Koeffizient des quadratischen Glieds nicht 1 sein.
Gruß RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
achso,,,du sprichst vom nenner? rechts vom gleichheitszeichnen ?
sorry, habe nur ein bruchteil ausm zähler genommen
also ich nehme den kopletten nenner, multipliziere ihn aus und erhalte
[mm] 8n^{2}+16n+6
[/mm]
dessen linearfaktoren sind:
(x+0,5)(x+1,5)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Sa 26.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> achso,,,du sprichst vom nenner? rechts vom
> gleichheitszeichnen ?
Um Gottes Willen - NEIN! Wie kommst du denn auf die Idee??
> sorry, habe nur ein bruchteil ausm zähler genommen
"Bruchteil" würd ich das jetzt aber nicht nennen.
>
> also ich nehme den kopletten nenner, multipliziere ihn aus
> und erhalte
NEIN! Sieh dir doch bitte den Ausdruck an den ich in meinem letzten posting angeführt habe
>
>
> [mm]8n^{2}+16n+6[/mm]
>
> dessen linearfaktoren sind:
>
> (x+0,5)(x+1,5)
Ich habe mittlerweile Zweifel daran, dass du meine Antworten auch wirklich liest.
RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
doch ich lese deinen teil, aber verstehe nicht ganz was du meinst.....
siehe:
> $ \bruch{(n+1)\cdot{}(n(2n+3))+2(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)} $
Nein. Jedenfalls nicht nur. Ich meinte du sollst den kompletten zweiten Faktor im Nenner ausrechnen. Also jenen Klammerausdruck, den du zu schließen vergessen hast
$ n(2n+3))+2(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)=... $
also der nenner hat doch 3 faktoren, richtig `
2 ; (2n+1) ; (2n+3)
der zweite ist in meinen augen: (2n+1)
nur was habe ich da nicht "geschlossen" ?
oder meinst du, ich soll die 2 reinholen ? dass sie nicht außerhalb der klammer steht ?
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Hallo,
wer soll durch den Wust durchblicken?
Das ist totales Chaos.
Wie wäre es, wenn du all deine Aufgaben in einen thread packst - dann wird's noch witziger
Schreibe mal, bei welcher Aufgabe du gerade an welcher Stelle rumhampelst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ich hänge gerade hier
$ [mm] \bruch{n^{2}+3n+2}{4n+6} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{(n+1)\cdot{}(n(2n+3)) +2(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)} [/mm] $
ich muss das nun vereinfachen, damit es ersichtler ist, dass es das gleiche ist
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Hallo,
> ich hänge gerade hier
>
>
> [mm]\bruch{n^{2}+3n+2}{4n+6}=\bruch{(n+1)\cdot{}(n(2n+3)) +2(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)}[/mm]
>
>
> ich muss das nun vereinfachen, damit es ersichtler ist,
> dass es das gleiche ist
Linke Seite:
[mm] $\frac{n^2+3n+2}{4n+6}=\frac [/mm] {(n+1)(n+2)}{2(n+3)}$
Rechte Seite:
Klammer im Zähler $(n+1)$ aus, dann kannst du nett kürzen und siehst, dass das genau die linke Seite ist
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
sorry, aber bei deiner antwort kann ich nichts herauslesen....sieht aus wie chinesisch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ich habe oben ja schon n+1 ausgeklammert, aber wie seht ihr was man kürzen kann ? ich erkenne da nichts...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 So 27.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> ich habe oben ja schon n+1 ausgeklammert, aber wie seht ihr
> was man kürzen kann ? ich erkenne da nichts...
Siehe hier und hier
RMix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Sa 26.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> doch ich lese deinen teil, aber verstehe nicht ganz was du
> meinst.....
>
>
> siehe:
>
> > [mm]\bruch{(n+1)\cdot{}(n(2n+3))+2(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)}[/mm]
>
> Nein. Jedenfalls nicht nur. Ich meinte du sollst den
> kompletten zweiten Faktor im Nenner ausrechnen. Also jenen
> Klammerausdruck, den du zu schließen vergessen hast
> [mm]n(2n+3))+2(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)=...[/mm]
>
Ooops, tut mir Leid, mein Fehler! Sollte Zähler heißen. Da bin also ich derjenige, der seine Postings selbst nochmals lesen sollte 
Den Term, den du ausrechnen solltest hab ich dann aber im nächsten Posting korrekt mit
$n(2n+3))+2(n+1)=...$
angegeben, oder?
RMix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
$ [mm] \bruch{(n+1)\cdot{}(n(2n+3))+2(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)} [/mm] $
daraus wird
$ [mm] \bruch{(n+1)\cdot{}((2n^{2}+3n)+(2n+2))}{2(2n+1)(2n+3)} [/mm] $
und was kann ich nun kürzen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 So 27.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> [mm]\bruch{(n+1)\cdot{}(n(2n+3))+2(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)}[/mm]
>
>
> daraus wird
>
>
> [mm]\bruch{(n+1)\cdot{}((2n^{2}+3n)+(2n+2))}{2(2n+1)(2n+3)}[/mm]
>
> und was kann ich nun kürzen ?
Unnötige Klammern weglassen und weiter ausrechnen
[mm]\bruch{(n+1)\cdot(\red{(2n^{2}+3n)+(2n+2)})}{2(2n+1)(2n+3)}[/mm]
Danach hast du zwei Möglichkeiten weiter zu verfahren, denn du solltest wissen, wodurch du kürzen kannst - schließlich weißt du doch, welcher Ausdruck am Ende herauskommen sollte.
Eine Möglichkeit ist, wie schon geschrieben, den Term zu faktorisieren. Die zweite Möglichkeit ist, einfach eine Polynomdivision durchzuführen.
RMix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
$ [mm] \bruch{(n+1)\cdot{}(2n^{2}+5n+2)}{2(2n+1)(2n+3)} [/mm] $
ich weiß aber nich wann ich was kürzen will, ich kann nun alles in klammern verfassen
$ [mm] \bruch{(n+1)\cdot{}(2n^{2}+5n+2)}{(4n+2)(2n+3)} [/mm] $
ich komm einfach nicht hin
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Hallo Smuji,
Du multiplizierst viel zu oft aus. Beim Kürzen geht es doch gerade darum, erst einmal soweit wie möglich zu faktorisieren!
> [mm]\bruch{(n+1)\cdot{}(2n^{2}+5n+2)}{2(2n+1)(2n+3)}[/mm]
>
> ich weiß aber nich wann ich was kürzen will, ich kann nun
> alles in klammern verfassen
>
> [mm]\bruch{(n+1)\cdot{}(2n^{2}+5n+2)}{(4n+2)(2n+3)}[/mm]
Nein. (n+1) kann offenbar gegen nichts im Nenner gekürzt werden, die 2 im Nenner gegen nichts im Zähler. Bleibt also noch die Frage, ob [mm] (2n^2+5n+2) [/mm] vielleicht durch (2n+1) oder durch (2n+3) zu kürzen ist.
Und siehe da: eins von beiden geht!
Grüße
reverend
> ich komm einfach nicht hin
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
wie kann ich denn das kürzen ? ich glaube ich kann nicht kürzen...wie kann ich denn sowas kürzen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 So 27.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> wie kann ich denn das kürzen ? ich glaube ich kann nicht
> kürzen...wie kann ich denn sowas kürzen ?
wenn Dir nichts besseres einfällt:
Berechne sowohl
[mm] $(2n^2+5n+2)$ [/mm] : [mm] $(2n+1)\,$
[/mm]
als auch, wenn obiges nicht aufgeht
[mm] $(2n^2+5n+2)$ [/mm] : [mm] $(2n+3)\,$
[/mm]
mit Polynomdivision.
Eine andere Methode:
Wie kommt man auf [mm] $2n^2\,,$ [/mm] wenn man [mm] $2n\,$ [/mm] als ersten Summanden einer
weiteren Klammer hat? Klar: Multilplikation mit [mm] $n\,$.
[/mm]
Also testet man
[mm] $(2n+1)*n=2n^2+n$
[/mm]
und
[mm] $(2n+3)*n=2n^2+3n\,.$
[/mm]
In der Mitte steht bei
[mm] $2n^2+5n+2$
[/mm]
aber [mm] $5n\,,$ [/mm] also liegt es nahe, sich mal
[mm] $(2n+1)*(n+2)=2n^2+n+4n+2=2n^2+5n+2$
[/mm]
und
[mm] $(2n+3)*(n+1)=2n^2+3n+2n+3=2n^2+5n+3$
[/mm]
auszurechnen. Und siehe da:
[mm] $2n^2+5n+2=(2n+1)*(n+2)\,.$
[/mm]
Und, damit Du vielleicht noch einen anderen Weg siehst:
Eigentlich wollen wir
[mm] $2n^2+5n+2$
[/mm]
"faktorisieren". Dazu kann man einfach mal die Nullstellen in [mm] $n\,$ [/mm] berechnen.
Denn für $a [mm] \not=0$ [/mm] gilt:
[mm] $a*x^2+bx+c=a*(x^2+\tfrac{b}{a}x+\tfrac{c}{a})=a*(x-x_1)*(x-x_2)\,,$
[/mm]
wobei
[mm] $x_{1,2}$
[/mm]
die Nullstelle(n) (falls existent) von
[mm] $x^2+\tfrac{b}{a}x+\tfrac{c}{a}$
[/mm]
sind.
Und wie man Nullstellen eines Polynoms 2. Grades berechnet, weißt
Du hoffentlich.
Und wenn Du oben genau hinguckst, könntest Du auch ![[]](/images/popup.gif) Vieta benutzen:
[mm] $2n^2+5n+2=2*(n^2+\tfrac{5}{2}n+1)$
[/mm]
Jetzt ist [mm] $p=5/2\,.$ [/mm] Wenn wir annehmen, dass [mm] $2n^2+5n+2$ [/mm] durch $2n+1$ teilbar
ist, kann man [mm] $n_1=-1/2$ [/mm] setzen. Wegen [mm] $n_1+n_2=-p$ [/mm] ist dann [mm] $n_2=-2\,.$ [/mm] In
[mm] $n^2+\tfrac{5}{2}+1$ [/mm] ist [mm] $q=1\,,$ [/mm] also testen wir, ob
[mm] $n_1*n_2=1$
[/mm]
gilt:
[mm] $-\frac{1}{2}*(-2)=1\,.$
[/mm]
Wunderbar, es folgt:
[mm] $2n^2+5n+2=2(n^2+\tfrac{5}{2}n+1)=2*(n-n_1)*(n-n_2)=2*(n+\tfrac{1}{2})*(n+2)=(2n+1)*(n+2)$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
überfordere mich nun nicht..ich habe es mit der polinomdivision gemacht
das heißt, übrig bleibt
n+2
nur wie erkennt man das, dass es kürzbar ist ?
ich müsste jetzt alles mit polinomdivision nachprüfen, aber dann hinge ich ja bei großen aufgaben noch morgen dran
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 So 27.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> überfordere mich nun nicht..ich habe es mit der
> polinomdivision gemacht
>
> das heißt, übrig bleibt
>
>
> n+2
>
> nur wie erkennt man das, dass es kürzbar ist ?
>
Man hofft, dass es geht. Schließlich weißt du ja, was rauskommen soll und daher auch, wodurch der Term teilbar sein müsste, damit der Beweis klappt.
Siehe dazu meine andere Antwort.
Die Kompromisslosere Variante ist zweifelsfrei aber jene, bei der der quadratische Faktor im Zähler in zwei Linearfaktoren aufgespaltet wird. Danach sieht man, dass man sympathischerweise kürzen kann und sich der zu beweisende Ausdruck einstellt.
RMix
> ich müsste jetzt alles mit polinomdivision nachprüfen,
> aber dann hinge ich ja bei großen aufgaben noch morgen
> dran
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 So 27.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> wie kann ich denn das kürzen ? ich glaube ich kann nicht
> kürzen...wie kann ich denn sowas kürzen ?
Weißt du eigentlich bei deinem Monsterthread noch, worum es geht?
Falls du es aus den Augen verloren haben solltest, es geht hier bei einem speziellen Induktionsbeweis darum, zu zeigen, dass
$ [mm] \bruch{\green{(n+1)}\cdot{}(2n^{2}+5n+2)}{\blue{2}*(2n+1)*\blue{(2n+3)}}=...= \bruch{\green{(n+1)}*(n+2)}{\blue{2}*\blue{(2n+3)}} [/mm] $
gilt.
Was meinst, was stört da noch ein wenig, woran muss man da noch herumbasteln?
Und wie es geht wurde auch schon geklärt - die Methoden Faktorisieren (des schwarzen Zählerterms) oder Polynomdivision wurden schon desöfteren genannt.
RMix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
das problem ist ihr SEHT was ihr machen müsst, für mich ist alles nur chinesisch...
ich weiß nicht was ich mit was kürzen kann...ich seh das nicht..ich erkenne das nicht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 So 27.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> das problem ist ihr SEHT was ihr machen müsst, für mich
> ist alles nur chinesisch...
Nein, es ist hier wirklich nur stures Einsetzen. Wesentlich sind aber zwei Dinge.
1) nicht zu übereifrig sein (wie Angela bei anderer Gelegenheit gezeigt hat). Vor allem Produkte in Zähler und Nenner eines Bruches nie zu früh ausmultiplizieren - die Hoffnung, irgendwann einmal doch noch kürzen zu können stirbt ja zuletzt. Was anderes ist das bei Summen und Differenzen. Da sollte man ja besser beim Kürzen die Finger von lassen und die werden daher zusammengerechnet.
2) Nie das Ziel aus den Augen verlieren. Hier ist es ja insofern einfach, als du ja weißt, was rauskommen sollte. Schwieriger wäre es zweifellos, wenn die Aufgabe nur lauten würde "Vereinfache diesen Ausdruck soweit als möglich"
>
> ich weiß nicht was ich mit was kürzen kann...ich seh das
> nicht..ich erkenne das nicht
Auch in meinem letzten Posting mit farblicher Hervorhebung nicht? Das kann ich mir nicht vorstellen. Du hast nur im Zähler und Nenner des Ergebnisterms bereits viel zu früh ausmultipliziert und da sieht man dann wirklich sehr schwer die Ähnlichkeit der Ausdrücke.
RMix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{n^{3} +3n+2}{4n+6} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+3)+2*(n+1)^{2}}{2(2n+1)(2n+3)} [/mm] |
ich habe, wie hier einige auch schon vermutet haben, echt ein wenig den überblick verloren...
also beginne ich nochmal von dort, wo ich mich noch zurecht finde
also hier soll ich ausklammern wurde mir gesagt
[mm] \bruch{n^{3} +3n+2}{4n+6} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)(n(2n+3)+2*(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)} [/mm]
so habe ich nun....n+1 ausgeklammert..... nun sehe ich aber nicht, was ich damit anfangen kann....ja ich weiß, jetzt kommt von euch wieder...man kann wunderschön kürzen....aber ich erkenne es nicht...woran erkenne ich nun, dass ich das n+1 mit irgendwas kürzen kann ????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 So 27.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> [mm]\bruch{n^{3} +3n+2}{4n+6}[/mm] =
> [mm]\bruch{n(n+1)(2n+3)+2*(n+1)^{2}}{2(2n+1)(2n+3)}[/mm]
> ich habe, wie hier einige auch schon vermutet haben, echt
> ein wenig den überblick verloren...
>
> also beginne ich nochmal von dort, wo ich mich noch zurecht
> finde
>
>
>
> also hier soll ich ausklammern wurde mir gesagt
>
>
>
> [mm]\bruch{n^{3} +3n+2}{4n+6}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)(n(2n+3)+2*(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)}[/mm]
>
>
> so habe ich nun....n+1 ausgeklammert..... nun sehe ich
> aber nicht, was ich damit anfangen kann....ja ich weiß,
> jetzt kommt von euch wieder...man kann wunderschön
> kürzen....aber ich erkenne es nicht...woran erkenne ich
> nun, dass ich das n+1 mit irgendwas kürzen kann ????
Lies dir doch erst die bisher gegebenen Antworten durch!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
Weißt du eigentlich bei deinem Monsterthread noch, worum es geht?
Falls du es aus den Augen verloren haben solltest, es geht hier bei einem speziellen Induktionsbeweis darum, zu zeigen, dass
$ [mm] \bruch{\green{(n+1)}\cdot{}(2n^{2}+5n+2)}{\blue{2}\cdot{}(2n+1)\cdot{}\blue{(2n+3)}}=...= \bruch{\green{(n+1)}\cdot{}(n+2)}{\blue{2}\cdot{}\blue{(2n+3)}} [/mm] $
gilt.
Was meinst, was stört da noch ein wenig, woran muss man da noch herumbasteln?
Und wie es geht wurde auch schon geklärt - die Methoden Faktorisieren (des schwarzen Zählerterms) oder Polynomdivision wurden schon desöfteren genannt.
RMix
ock, wenn ich die polinomdivision nutze und dann habe ich im nenner den schwarzen term weg und im zähler steht nun das gleiche wie rechts vom =
ja, die schwarzen terme stören....wie funktioniert denn das faktorisieren ? und WIE erkennt man, ahhh ich kann ja hier wunderschön (2n+1) mit [mm] (2n^{2}+5n+2) [/mm] kürzen ?
was wäre, wenn bei der polinomdivision ein rest rauskommen würde ? bleibt dieser dann im nenner stehen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 So 27.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Weißt du eigentlich bei deinem Monsterthread noch, worum
> es geht?
> Falls du es aus den Augen verloren haben solltest, es geht
> hier bei einem speziellen Induktionsbeweis darum, zu
> zeigen, dass
> [mm]\bruch{\green{(n+1)}\cdot{}(2n^{2}+5n+2)}{\blue{2}\cdot{}(2n+1)\cdot{}\blue{(2n+3)}}=...= \bruch{\green{(n+1)}\cdot{}(n+2)}{\blue{2}\cdot{}\blue{(2n+3)}}[/mm]
> gilt.
> Was meinst, was stört da noch ein wenig, woran muss man da
> noch herumbasteln?
> Und wie es geht wurde auch schon geklärt - die Methoden
> Faktorisieren (des schwarzen Zählerterms) oder
> Polynomdivision wurden schon desöfteren genannt.
>
> RMix
>
>
>
>
>
> ock, wenn ich die polinomdivision nutze und dann habe ich
> im nenner den schwarzen term weg und im zähler steht nun
> das gleiche wie rechts vom =
Ja, und damit ist der Induktionsbeweis geführt - die Aussage ist richtig.
>
>
> ja, die schwarzen terme stören....wie funktioniert denn
> das faktorisieren ?
Das hatten wir in diesem Thread auch schon zwei Mal. Du hattest nur immer konsequent einen Vorfaktor ignoriert.
> und WIE erkennt man, ahhh ich kann ja
> hier wunderschön (2n+1) mit [mm](2n^{2}+5n+2)[/mm] kürzen ?
Viele erkennen das vermutlich gar nicht auf Anhieb. Aber wir wissen doch, dass es kürzbar sein muss, damit der gewünschte Term rauskommt. Nochmals, wir haben bei dieser Art von Aufgaben ja das große Glück, das Ergebnis der Umformungen zu kennen und können daher gezielt darauf los steuern.
> was wäre, wenn bei der polinomdivision ein rest rauskommen
> würde ? bleibt dieser dann im nenner stehen ?
Wenn die Polynomdivision nicht restlos durchführbar wäre, hättest du eben gezeigt, dass die Behauptung, die du mittels vollständiger Induktion zeigen wolltest, eben nicht gilt. Wo der Divisionsrest im Falle des Falles angeschrieben werden muss, das weißt du aber schon selbst, denke ich.
RMIx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ok, danke...werde mich noch eine weile damit beschäftigen, damit es flockiger wird....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 So 27.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> was wäre, wenn bei der polinomdivision ein rest rauskommen
> würde ? bleibt dieser dann im nenner stehen ?
dann rechne uns doch mal
[mm] $(2n^2+5n+2):(2n+3)$
[/mm]
mit Polynomdivision vor.
Übrigens mal noch ein anderer Tipp, der vielleicht noch einfacher ist:
Wenn
[mm] $2n^2+5n+2$
[/mm]
durch
$2n+3$
teilbar wäre, dann müsste der obere Term auch Null werden, wenn der untere
dies wird.
Aus
[mm] $2n+3=0\,$ [/mm] folgt [mm] $n=-3/2\,.$
[/mm]
Dann testet man, ob
[mm] $2*(-3/2)^2+5*(-3/2)+2$ [/mm] auch [mm] $=0\,$ [/mm]
wird, und falls das geht, dann macht man die Polynomdivision, von der
man weiß, dass sie aufgehen muss. (Hier würden wir sehen, dass wir
keine machen sollten, weil die Polynomdivision nicht aufgehen wird - rechne
dazu den "Test" oben zu Ende!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
wo ist ein test?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
da gibts kein rest =)
ich habe auch schon die aufgabe bei mir auf dem zettel gelöst..bzw. nach der polinomdivision, war im nenner der schwarze teil weg und im zähler sah es so aus wie rechts vom =.....
also ich bin schon auf die lösung gekommen...mein problem ist es nur, ohne eure hilfe sowas zu sehen =)
ich habe es bei dieser aufgabe auch gerafft...ich hoffe nur, dass es bei anderen auch der fall ist =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 So 27.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo smuji,
> da gibts kein rest =)
>
> ich habe auch schon die aufgabe bei mir auf dem zettel
> gelöst..bzw. nach der polinomdivision, war im nenner der
> schwarze teil weg und im zähler sah es so aus wie rechts
> vom =.....
>
> also ich bin schon auf die lösung gekommen...mein problem
> ist es nur, ohne eure hilfe sowas zu sehen =)
ich hab' Dir doch jetzt einen (naheliegenden) Trick verraten (der ist kein
Geheimnis für jemanden, der sich mal mit Polynomdivision beschäftigt hat;
im Heuser steht das ganz gut, wie ich finde).
Du wolltest wissen, ob
(I) die Polynomdivision [mm] $(2n^2+5n+2)$ [/mm] : [mm] $(2n+1)\,$
[/mm]
oder
(II) die Polynomdivision [mm] $(2n^2+5n+2)$ [/mm] : [mm] $(2n+3)\,$
[/mm]
sinnvoll ist. Führst Du den genannten Test aus, siehst Du, dass die erste
aufgeht, die zweite nicht.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 So 27.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > wo ist ein test?
>
>  Marcel möchte, dass du die Polynomdivison, die er
> angegeben hat, ausführst. Ich vermute, dass er sehen
> möchte, wo und wie du den Rest anschreibst
genau, das war mein Hauptanliegen. Aber das Zusatzanliegen war:
Wenn man die Nullstellen von [mm] $q(n)\,$ [/mm] kennt, dann kann man gucken, ob die
Polynomdivision
$p(n):q(n)$
aufgehen wird. Hat [mm] $q(n)\,$ [/mm] auch nur eine Nullstelle [mm] $n'\,,$ [/mm] für die $p(n') [mm] \not=0$ [/mm] gilt,
wird sie nicht aufgehen.
Wenn allerdings alle Nullstellen von [mm] $q(n)\,$ [/mm] auch welche von [mm] $p(n)\,$ [/mm] sind, dann
geht sie auf.
Und ich hatte nun
[mm] $p(n)=3n^2+5n+2\,$
[/mm]
und
$q(n)=2n+3$
angegeben. Die (einzige) Nullstelle von [mm] $q(n)\,$ [/mm] ist trivial, auszurechnen. Sie
ist (und das ist der Test) keine von [mm] $p(n)\,.$ [/mm] (Sieht man durch Einsetzen und
Ausrechnen.)
Und damit smuji sieht, was da passiert, soll er halt dennoch mal
[mm] $p(n):q(n)\,$
[/mm]
hinschreiben. Denn die Frage "Was werde ich sehen?" geht dann vielleicht
über in eine Frage der Art:
"Als ich das nun gemacht habe, habe ich gesehen, dass... . Ist das immer so?
Wie kann man das erklären?"
Wir müssen nämlich langsam auch mal in die Richtung kommen, dass
Fragen erst dann gestellt werden, NACHDEM etwas gemacht wurde. Alles andere
hat so gut wie keinen Lerneffekt.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:45 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ich würde allein schon die polinomdivision nicht mit dem x-3 machen, da ich diesen auf der anderen seite des = habe , also sehe ich doch schon, dass nur x-1 fehl am platz ist.....
außerdem ja, bei dem einem geht die polinomdivision auf, bei dem anderen nicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 So 27.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich würde allein schon die polinomdivision nicht mit dem
> x-3 machen, da ich diesen auf der anderen seite des = habe
> , also sehe ich doch schon, dass nur x-1 fehl am platz
> ist.....
>
> außerdem ja, bei dem einem geht die polinomdivision auf,
> bei dem anderen nicht
ich will Dein Rechenergebnis sehen, dass Du das, was ich schon sagte,
wiederholen kannst, das glaube ich Dir. Konkret:
Ich will genau sehen, was Du rechnest und aufschreibst bei der Aufgabe,
bei der die Polynomdivision nicht aufgeht. Der Grund liegt bei Dir selbst:
Du hast gefragt, was man da sieht und wie man das aufschreibt. Wenn es
Dich nicht interessiert, frage ich mich nach dem Sinn dieser Frage...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 So 27.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\bruch{n^{3} +3n+2}{4n+6}[/mm] =
> [mm]\bruch{n(n+1)(2n+3)+2*(n+1)^{2}}{2(2n+1)(2n+3)}[/mm]
> ich habe, wie hier einige auch schon vermutet haben, echt
> ein wenig den überblick verloren...
und ich weiß nun nicht, wo das hier auftrat und worum es geht. Ich empfehle
Dir aber:
Obige Gleichheit kann man durch Äquivalenzumformungen beweisen (wenn
sie denn stimmt). Also etwa
[mm] $\bruch{n^{3} +3n+2}{4n+6}=\bruch{n(n+1)(2n+3)+2*(n+1)^{2}}{2(2n+1)(2n+3)}$
[/mm]
[mm] $\iff$
[/mm]
[mm] $(n^3+3n+2)*(2(2n+1)(2n+3))=(n(n+1)(2n+3)+2*(n+1)^{2})*(4n+6)$
[/mm]
[mm] $\iff$...
[/mm]
halt solange umformen, bis man zu einer offensichtlich wahren Aussage
gelangt (etwa [mm] $0=0\,$) [/mm] oder halt zu einer offensichtlich falschen Aussage.
Gelangt man zu einer offensichtlich wahren Aussage, so folgt aus dieser
und den [mm] $\Longleftarrow$'s [/mm] die Wahrheit der behaupteten Gleichung.
Gelangt man zu einer offensichtlich falschen Aussage, so bedeutet dass,
dass, wenn diese Gleichung gilt, wegen den [mm] $\Longrightarrow$'s [/mm] dann auch
die offensichtlich falsche Aussage gelten würde, was nicht sein kann. Daher:
Äquivalenzumformungen betreiben, bis man was erkennt, was man schnell
auf Wahrheit oder Falschheit beurteilen kann, liefert immer einen Beweis
oder einen Gegenbeweis einer behaupteten Gleichheit.
Gruß,
Marcel
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