Volumen Pyramide bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es seien h, r > 0 und P [mm] \subset \IR^3 [/mm] die Pyramide mit Grundfläche [mm] [-r,r]^2 [/mm] x [mm] \{0\} [/mm] und Spitze in (0,0,h). Bestimmen Sie das Volumen. |
Hallo,
ich sitze gerade vor der oben angegebenen Aufgabe und weiß nicht so ganz, wie ich sie lösen kann... Ich darf dazu Cavalieri NICHT benutzen.
Nun habe ich überlegt, ob mir folgendes Korollar helfen könnte:
Sei M [mm] \subset \IR^n [/mm] beschränkt. Dann sind äquivalent:
1. M ist messbar
2. [mm] inf\{\lambda(U); M \subset U \subset \IR^n, U offen\}=sup\{\lambda(K); K \subset M, K kompakt\}
[/mm]
Denn der Wert in 2. ist doch im Grunde das Volumen, oder?
Allerdings müsste ich dazu erst einmal eine Menge aufstellen, überprüfen, dass diese messbar ist und dann schließlich gesuchten Wert bestimmen. Aber meine Idee scheitert leider an der Tatsache, dass ich sie nicht ausführen kann... Kann mir jemand dabei helfen?
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand beim Lösen der Aufgabe behilflich sein könnte!
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Do 15.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es seien h, r > 0 und P [mm]\subset \IR^3[/mm] die Pyramide mit
> Grundfläche [mm][-r,r]^2\times\{0\}[/mm] und Spitze in (0,0,h).
> Bestimmen Sie das Volumen.
> Hallo,
>
> ich sitze gerade vor der oben angegebenen Aufgabe und weiß
> nicht so ganz, wie ich sie lösen kann... Ich darf dazu
> Cavalieri NICHT benutzen.
>
> Nun habe ich überlegt, ob mir folgendes Korollar helfen
> könnte:
> Sei M [mm]\subset \IR^n[/mm] beschränkt. Dann sind äquivalent:
> 1. M ist messbar
> 2. [mm]inf\{\lambda(U); M \subset U \subset \IR^n, U offen\}=sup\{\lambda(K); K \subset M, K kompakt\}[/mm]
>
> Denn der Wert in 2. ist doch im Grunde das Volumen, oder?
>
> Allerdings müsste ich dazu erst einmal eine Menge
> aufstellen, überprüfen, dass diese messbar ist und dann
> schließlich gesuchten Wert bestimmen. Aber meine Idee
> scheitert leider an der Tatsache, dass ich sie nicht
> ausführen kann... Kann mir jemand dabei helfen?
> Ich würde mich freuen, wenn mir jemand beim Lösen der
> Aufgabe behilflich sein könnte!
Wie wäre es mit einem Turm aus nach oben dünner werdenden Quadern mit quadratischer Grundfläche, so dass dieser Turm entweder ganz innerhalb der Pyramide liegt oder die Pyramide enthält. Im ersten Fall nimmst du abgeschlossene Quader, im zweiten Fall offene (also nur die inneren Punkte). Jeder der Quader ist Lebesgue-Borel-messbar, solange du maximal abzählbar viele davon hast, ist es daher auch der gesamte Turm.
Ich würde zum Beispiel n Quader mit Höhe $h/n$ nehmen. Da P ganz im äußeren Turm liegt, und der innere Turm ganz in P liegt, müsste es eigentlich reichen, wenn die Differenzmenge zwischen äußerem und innerem Turm bei Verfeinerung der Türme (also [mm] $n\to\infty$) [/mm] gegen eine Nullmenge geht.
Viele Grüße
Rainer
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Vielen Dank für die Antwort! Die hat mir wirklich sehr weiter geholfen und ich glaube, dass ich das jetzt sogar richtig gut verstanden habe :)
Ich bin jetzt wie folgt vorgegangen:
[mm] \Delta [/mm] h = [mm] \bruch{h}{n} [/mm] und die unterste Grundfläche ist [mm] G_1, [/mm] und dann aufsteigend [mm] G_2, [/mm] ..., [mm] G_n
[/mm]
[mm] V_{außen}=G_1 \Delta [/mm] h + [mm] G_2 \Delta [/mm] h + ... + [mm] G_n \Delta [/mm] h > [mm] V_P [/mm] > [mm] G_2 \Delta [/mm] h + [mm] G_3 \Delta [/mm] h + ...+ [mm] G_n \Delta [/mm] h = [mm] V_{innen}
[/mm]
Differenz: [mm] G_1 \Delta [/mm] h [mm] \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty).
[/mm]
Die Volumina des inneren und äußeren Stufenkörpers bilden eine Intervallschachtelung für das Pyramidenvolumen, sodass
[mm] V_P= \limes_{n\rightarrow\infty} V_{außen} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} V_{innen}
[/mm]
Nun ist [mm] V_{außen} [/mm] = [mm] \Delta [/mm] h [mm] (G_1 [/mm] + [mm] G_2 [/mm] + ... + [mm] G_n)
[/mm]
[mm] \bruch{G_2}{G_1} [/mm] = ( [mm] \bruch{h_2}{h_1})^2 [/mm] mit [mm] h_1=h, h_2=h- \bruch{h}{n}
[/mm]
[mm] h_1 [/mm] ist der Abstand von [mm] G_1 [/mm] zur Pyramidenspitze, [mm] h_2 [/mm] der Abstand von [mm] G_2 [/mm] zur Pyramidenspitze
[mm] \Rightarrow \bruch{G_2}{G_1} [/mm] = [mm] \bruch{(n-1)^2}{n^2}
[/mm]
ebenso: [mm] \bruch{G_3}{G_1} [/mm] = [mm] \bruch{(n-2)^2}{n^2}; [/mm] ... ; [mm] \bruch{G_n}{G_1} [/mm] = [mm] \bruch{1^2}{n^2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow V_{außen}= \Delta [/mm] h * [mm] G_1 [/mm] + [mm] \bruch{\Delta h}{n^2} (1^2 [/mm] + [mm] 2^2 [/mm] + ... + [mm] (n-1)^2)*G_1
[/mm]
[mm] 1^2 [/mm] + [mm] 2^2 [/mm] + ... + [mm] n^2 [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
[mm] 1^2 [/mm] + [mm] 2^2 [/mm] + ... + [mm] (n-1)^2 [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] - [mm] n^2= \bruch{2n^3 - 3n^2 + n}{6}
[/mm]
[mm] \Rightarrow V_{außen} [/mm] = [mm] \Delta h*G_1 [/mm] + [mm] \bruch{\Delta h}{n^2}*\bruch{2n^3 - 3n^2 + n}{6}*G_1 [/mm]
[mm] \Delta [/mm] h= [mm] \bruch{h}{n}
[/mm]
[mm] V_{außen} [/mm] = [mm] \bruch{h}{n}*G_1 [/mm] + [mm] \bruch{h}{6}* [/mm] (2 - [mm] \bruch{3}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n^2})*G_1
[/mm]
Bei n [mm] \to \infty [/mm] streben [mm] \bruch{h}{n}, \bruch{3}{n} [/mm] und [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] gegen 0, also gilt für n [mm] \to \infty:
[/mm]
[mm] V_{außen} \to \bruch{2h}{6}*G_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} G_1 [/mm] h = [mm] V_P
[/mm]
Ist das soweit korrekt?
Nun frage mich mich allerdings, ob ich die Grundfläche auch noch genauer angeben kann.
Es wird ja gesagt, dass die Pyramide die Grundfläche [mm] [-r,r]^2 [/mm] x {0} hat. Bedeutet das, dass die Eckpunkte (r,r,0), (r, -r,0), (-r,r,0) und (-r,-r,0) sind?
Oder sagt mir das [mm] [-r,r]^2 [/mm] nur aus, dass die in dem Intervall liegen und ich kann keine genaue Aussage über die Eckpunkte machen?
Weil wenn das die Eckpunkte wären, könnte ich ja noch sagen, dass [mm] G_1= [/mm] 4 [mm] r^2 [/mm] ist, oder?
Und das schließlich noch am Schluss einsetzen, dann ergäbe sich:
[mm] V_P [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*4r^2*h [/mm] = [mm] \bruch{4}{3} r^2 [/mm] *h
Viele Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Sa 17.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Vielen Dank für die Antwort! Die hat mir wirklich sehr
> weiter geholfen und ich glaube, dass ich das jetzt sogar
> richtig gut verstanden habe :)
>
> Ich bin jetzt wie folgt vorgegangen:
>
> [mm]\Delta[/mm] h = [mm]\bruch{h}{n}[/mm] und die unterste Grundfläche ist
> [mm]G_1,[/mm] und dann aufsteigend [mm]G_2,[/mm] ..., [mm]G_n[/mm]
>
> [mm]V_{außen}=G_1 \Delta[/mm] h + [mm]G_2 \Delta[/mm] h + ... + [mm]G_n \Delta[/mm] h
> > [mm]V_P[/mm] > [mm]G_2 \Delta[/mm] h + [mm]G_3 \Delta[/mm] h + ...+ [mm]G_n \Delta[/mm] h =
> [mm]V_{innen}[/mm]
>
> Differenz: [mm]G_1 \Delta[/mm] h [mm]\to[/mm] 0 (n [mm]\to \infty).[/mm]
> Die Volumina
> des inneren und äußeren Stufenkörpers bilden eine
> Intervallschachtelung für das Pyramidenvolumen, sodass
> [mm]V_P= \limes_{n\rightarrow\infty} V_{außen}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} V_{innen}[/mm]
>
> Nun ist [mm]V_{außen}[/mm] = [mm]\Delta[/mm] h [mm](G_1[/mm] + [mm]G_2[/mm] + ... + [mm]G_n)[/mm]
> [mm]\bruch{G_2}{G_1}[/mm] = ( [mm]\bruch{h_2}{h_1})^2[/mm] mit [mm]h_1=h, h_2=h- \bruch{h}{n}[/mm]
>
> [mm]h_1[/mm] ist der Abstand von [mm]G_1[/mm] zur Pyramidenspitze, [mm]h_2[/mm] der
> Abstand von [mm]G_2[/mm] zur Pyramidenspitze
> [mm]\Rightarrow \bruch{G_2}{G_1}[/mm] = [mm]\bruch{(n-1)^2}{n^2}[/mm]
> ebenso: [mm]\bruch{G_3}{G_1}[/mm] = [mm]\bruch{(n-2)^2}{n^2};[/mm] ... ;
> [mm]\bruch{G_n}{G_1}[/mm] = [mm]\bruch{1^2}{n^2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow V_{außen}= \Delta[/mm] h * [mm]G_1[/mm] + [mm]\bruch{\Delta h}{n^2} (1^2[/mm]
> + [mm]2^2[/mm] + ... + [mm](n-1)^2)*G_1[/mm]
>
> [mm]1^2[/mm] + [mm]2^2[/mm] + ... + [mm]n^2[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm]
> [mm]1^2[/mm] + [mm]2^2[/mm] + ... + [mm](n-1)^2[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm] - [mm]n^2= \bruch{2n^3 - 3n^2 + n}{6}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow V_{außen}[/mm] = [mm]\Delta h*G_1[/mm] + [mm]\bruch{\Delta h}{n^2}*\bruch{2n^3 - 3n^2 + n}{6}*G_1[/mm]
>
> [mm]\Delta[/mm] h= [mm]\bruch{h}{n}[/mm]
>
> [mm]V_{außen}[/mm] = [mm]\bruch{h}{n}*G_1[/mm] + [mm]\bruch{h}{6}*[/mm] (2 -
> [mm]\bruch{3}{n}[/mm] + [mm]\bruch{1}{n^2})*G_1[/mm]
>
> Bei n [mm]\to \infty[/mm] streben [mm]\bruch{h}{n}, \bruch{3}{n}[/mm] und
> [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] gegen 0, also gilt für n [mm]\to \infty:[/mm]
>
> [mm]V_{außen} \to \bruch{2h}{6}*G_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{3} G_1[/mm] h =
> [mm]V_P[/mm]
>
> Ist das soweit korrekt?
Ich habe nicht im einzelnen nachgerechnet, aber das Prinzip erscheint mir richtig.
> Nun frage mich mich allerdings, ob ich die Grundfläche
> auch noch genauer angeben kann.
> Es wird ja gesagt, dass die Pyramide die Grundfläche
> [mm][-r,r]^2[/mm] x {0} hat. Bedeutet das, dass die Eckpunkte
> (r,r,0), (r, -r,0), (-r,r,0) und (-r,-r,0) sind?
So verstehe ich die Aufgabe: dass P eine quadratische Pyramide mit Grundseitenlänge r ist.
> Oder sagt mir das [mm][-r,r]^2[/mm] nur aus, dass die in dem
> Intervall liegen und ich kann keine genaue Aussage über
> die Eckpunkte machen?
> Weil wenn das die Eckpunkte wären, könnte ich ja noch
> sagen, dass [mm]G_1=[/mm] 4 [mm]r^2[/mm] ist, oder?
>
> Und das schließlich noch am Schluss einsetzen, dann
> ergäbe sich:
> [mm]V_P[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}*4r^2*h[/mm] = [mm]\bruch{4}{3} r^2[/mm] *h
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Isabelle90 |
Vielen lieben Dank :)
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