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| Aufgabe | | Berechnen Sie das Volumen des Kegels [mm] K:=\{x\in \IR^{3}: x^{2}+y^{2}\le z^{2}, 0\le z \le b\} [/mm] |
Hallo Leute,
versuch mich an der Berechnung des Volumens dieses Kegels, habe aber einige Probleme. Ich gehe mal davon aus, dass die Formel für das Volumen des Kegels da rauskommen muss. Wollte diese Aufgabe auch zu Übungszwecken per Rotationskörper und per Satz von Fubini rechnen.
Per Rotation:
V= [mm] \pi \integral_{0}^{b}{f(z)^{2} dz} [/mm]
An einer Beispielaufgabe habe ich gesehen wie die Variable y weggelassen wurde und nach z integriert wurde. Warum ist das so?
Per Fubini:
Meine Grenzen
[mm] \integral_{0}^{b} \integral_{0}^{\wurzel{z^{2}}} \integral_{0}^{\wurzel{z^{2}-y^{2}}} [/mm] {1 dxdydz}
Sind die Grenzen richtig. Und nehme ich die 1 als Funktion oder etwas anderes? Bin etwas überfordert.
Danke im Vorraus
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> Berechnen Sie das Volumen des Kegels [mm]K:={x\in \IR^{3}: x^{2}+y^{2}\le z^{2}, 0\le z \le b}[/mm]
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> Hallo Leute,
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> versuch mich an der Berechnung des Volumens dieses Kegels,
> habe aber einige Probleme. Ich gehe mal davon aus, dass die
> Formel für das Volumen des Kegels da rauskommen muss.
> Wollte diese Aufgabe auch zu Übungszwecken per
> Rotationskörper und per Satz von Fubini rechnen.
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> Per Rotation:
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> V= [mm]\pi \integral_{0}^{b}{f(z)^{2} dz}[/mm]
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> An einer Beispielaufgabe habe ich gesehen wie die Variable
> y weggelassen wurde und nach z integriert wurde. Warum ist
> das so?
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> Per Fubini:
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> Meine Grenzen
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> [mm]\integral_{0}^{b} \integral_{0}^{\wurzel{z^{2}}} \integral_{0}^{\wurzel{z^{2}-y^{2}}}[/mm]
> {1 dxdydz}
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> Sind die Grenzen richtig. Und nehme ich die 1 als Funktion
> oder etwas anderes? Bin etwas überfordert.
>
> Danke im Vorraus
Hallo Achilles,
hast du dir den Kegel einmal aufgezeichnet und angeschaut ?
Welches ist die Rotationsachse, und wie groß ist der Abstand
der Kegelfläche an einer beliebigen Stelle dieser Achse ?
Einfach so "weglassen" kann man y ja nicht ohne entsprechende
Überlegung.
Mit deinem Dreifachintegral, das im übrigen richtig notiert ist,
bekommst du natürlich nur einen Bruchteil des Kegelvolumens.
Hast du auch an die Benützung von Zylinderkoordinaten
gedacht ?
LG Al-Chw.
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Hallo Al-Chwarizmi,
hab mir schon gedacht, dass meine Argumentation nicht ausreicht ;)
Hab den Kegel nicht aufgezeichnet. Hab ziemliche Probleme mir das mit drei Variablen vorzustellen. Wenn ich mir das ganze in Bezug auf die x-z Achse Vorstelle, ist es doch theoretisch so, dass eine Grade schräg vom Nullpunkt hoch zum Punkt b verläuft. Analog müsste es das gleiche für die y-z Achse sein, oder?.
Heißt, wenn ich das ganze um die x-Achse rotieren lasse kriege ich mit den negativen Bereichen die ich bei der Rotation ja treffe, die Anzahl an Flächen, die ich auch mit der y-z-Achse treffen würde. Hoffe das ist verständlich.
Bei Fubini habe ich mich an einer Musterlösung entlangehangelt, die sich aber auf einen Hypeboloiden bezogen hat (shame on me).
[mm] \integral_{0}^{b} \integral_{0}^{\wurzel{z^{2}}}\wurzel{z^{2}-y^{2}}dydy
[/mm]
dann habe ich das [mm] \wurzel{z^{2}} [/mm] aus dem wurzelausdruck rausgezogen, so das dann
[mm] \integral_{0}^{b} \integral_{0}^{\wurzel{z^{2}}}\wurzel{1-\bruch{y^{2}}{z^{2}}*\wurzel{z^{2}}}dydz [/mm] da steht.
dann wurde [mm] t=\bruch{y}{z^{2}} [/mm] substutuiert und mit neuen Intervallgrenzen steht da.
[mm] \integral_{0}^{b} \integral_{0}^{1}\wurzel{1-t^{2}}*z^{2}dydz [/mm]
Ergibt das Sinn?
Sorry hat was länger gedauert mit dem Formeleditor :)
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Das mit der Geraden ist natürlich Blödsinn.
Wenn man die Funktion im Bezug auf x und z-Achse betrachtet. Geht eine halbe Parabel aus dem Ursprung hoch zum Punkt b auf der z-Achse.
Ist der Abstand zur Achse dann (b-x). Also die Höhe minus des Abstands zum Ursprung?
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> Das mit der Geraden ist natürlich Blödsinn. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
(warum denn ?)
> Wenn man die Funktion im Bezug auf x und z-Achse
> betrachtet. Geht eine halbe Parabel aus dem Ursprung hoch
> zum Punkt b auf der z-Achse.
>
> Ist der Abstand zur Achse dann (b-x). Also die Höhe minus
> des Abstands zum Ursprung?
Hallo,
es lohnt sich halt wirklich, sich das Ganze anschaulich
zu machen. Die Gleichung
[mm] x^2+y^2=z^2 [/mm]
der Begrenzungsfläche kann man auch schreiben als
[mm] r^2=z^2 [/mm] oder (wegen [mm] r\ge0 [/mm] und [mm] z\ge0) [/mm] als $\ r=z$
wobei r der Abstand des Punktes P(x|y|z) von der z-Achse
ist. Für das Volumen des Kegels erhält man das Integral
[mm] $\integral_{z=0}^{b}\pi*(r(z))^2\ [/mm] dz\ =\ [mm] \pi*\integral_{z=0}^{b}z^2\ [/mm] dz$
Bei der Integration über ein x-y-z-Dreifachintegral kannst
du das Integral berechnen, das du schon angegeben hast
und erhältst damit ein Viertel des Kegelvolumens.
Wie du für die Aufgabe den (oder einen) Satz von Fubini
einsetzen willst, ist mir nicht klar.
Wie schon erwähnt, käme aber eine Berechnung mit
Zylinderkoordinaten in Frage.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 08.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 Mi 07.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Der Satz von Fubini ist in einfachen Fällen das Prinzip von Cavalieri:
Zur obigen Aufgabe. [mm] \lambda_2 [/mm] sei das 2 - dim. (Lebesgue) - Maß und [mm] \lambda_3 [/mm] sei das 3 - dim. (Lebesgue) - Maß.
Für z [mm] \in [/mm] [0,b] betrachte die z- Schnitte
[mm] $S_z=\{(x,y) \in \IR^2: (x,y,z) \in K\}$,
[/mm]
also
[mm] $S_z=\{(x,y) \in \IR^2: x^2+y^2 \le z^2\}$,
[/mm]
Dann ist mit Fubini (Cavalieri):
[mm] \lambda_3(K)= \integral_{K}^{}{ d(x,y,z)}= \integral_{0}^{b}{\lambda_2(S_z) dz}=\integral_{0}^{b}{\pi* z^2 dz}
[/mm]
FRED
P.S.:
Auch die bekannte allgemeine Formel für das Volumen von Rotationskörpern ist nichts anderes als Fubini !
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