Volumen eines Kegelstumpfes < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Mo 19.02.2007 | | Autor: | Cycek |
| Aufgabe | | Herleitung der Formel V = [mm] 1/3\pi*h(r^{2}+rR+R^{2}) [/mm] mit einer Obersummenfolge! |
Hallo Leute!
Also ich komm irgendwie nicht weiter. Ich hab dafür eine Tabelle erstellt mit den Spalten [Nr.], [Höhe], [Stelle], [Radius], [mm] [Radius^2] [/mm] und [Volumen]
Also erstmal nummeriert (1,2,3,4 ... n-1, n).
Die [Höhe] muss ja in n-Teile aufgeteilt werden (also h/n).
Die [Stelle] ist ja "Höhe * Nr.", also h/n * (1,2,3,4 ... n-1, n).
Der Ansatz hierfür ist ja gegeben. Der lautet y = mx+b; m = [mm] \bruch{r-R}{h}, [/mm] x = Stelle, b = R
Also dann habe ich für den Radius [Nr. = n] [mm] \bruch{r-R}{h}*\bruch{h}{n}*n+R
[/mm]
____
Ich denke, dass das auch bis hier hin richtig ist, doch nun komm ich irgendwie voll nicht weiter. Jetzt muss der Radius quadriert werden (Binomische Formel und ganz lange Terme) und dann noch um das Volumen zu berechnen [Stelle* [mm] \pi] [/mm] rechnen.
Die Rechnung vom [mm] Radius^2 [/mm] und Volumen ist das einzige Problem. Das man später ausklammern muss und durch die Induktionsformeln ersetzen muss, ist mir bewusst. Nur brauch ich erst einmal dort einen Ansatz.
Wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet!
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Hallo Cycek,
> Herleitung der Formel V = [mm]1/3\pi*h(r^{2}+rR+R^{2})[/mm] mit
> einer Obersummenfolge!
in welchem Zusammenhang hast du diese Aufgabe gestellt bekommen?
Folgen+Grenzwerte oder vielmehr Integralrechnung?
"Obersumme" stammt eher aus letzterem Gebiet.
> Hallo Leute!
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> Also ich komm irgendwie nicht weiter. Ich hab dafür eine
> Tabelle erstellt mit den Spalten [Nr.], [Höhe], [Stelle],
> [Radius], [mm][Radius^2][/mm] und [Volumen]
>
> Also erstmal nummeriert (1,2,3,4 ... n-1, n).
>
> Die [Höhe] muss ja in n-Teile aufgeteilt werden (also h/n).
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> Die [Stelle] ist ja "Höhe * Nr.", also h/n * (1,2,3,4 ...
> n-1, n).
>
> Der Ansatz hierfür ist ja gegeben. Der lautet y = mx+b; m =
> [mm]\bruch{r-R}{h},[/mm] x = Stelle, b = R
>
> Also dann habe ich für den Radius [Nr. = n]
> [mm]\bruch{r-R}{h}*\bruch{h}{n}*n+R[/mm]
>
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> Ich denke, dass das auch bis hier hin richtig ist, doch nun
> komm ich irgendwie voll nicht weiter. Jetzt muss der Radius
> quadriert werden (Binomische Formel und ganz lange Terme)
> und dann noch um das Volumen zu berechnen [Stelle* [mm]\pi][/mm]
> rechnen.
>
Kann nicht so recht nachvollziehen, wozu das alles gut sein soll ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
> Die Rechnung vom [mm]Radius^2[/mm] und Volumen ist das einzige
> Problem. Das man später ausklammern muss und durch die
> Induktionsformeln ersetzen muss, ist mir bewusst. Nur
> brauch ich erst einmal dort einen Ansatz.
>
Fasse den Kegelstumpf als Rotationskörper unter einer linearen Funktion auf:
f(0)=R und f(h)=r
f rotiere um die x-Achse, dann ist das Volumen [mm] $V=\pi*\integral_{0}^{h}{f(x)^2}\ [/mm] dx$
Das könntest du jetzt auch als Obersumme darstellen:
[mm] S_n=\pi*\frac{h}{n}\summe_{i=1}^{n}(f(x_i)^2 [/mm] mit [mm] x_i=(i*\frac{h}{n})
[/mm]
überprüfe bitte meine Formeln, ich habe das so aus dem Kopf gemacht - analog zur Flächenbestimmung unter [mm] x^2, [/mm] die du ja kennen solltest.
Gruß informix
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