Volumen eines Paraboloids < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Oberfläche eines Paraboloids sei durch f( r, [mm] \phi) [/mm] = 4-r² beschrieben. Berechnen sie das Volumen dieses Körpers. |
Hallo,
hab hier nur begrenzt ne Ahnung wie ich da rangehe.
Um an die Oberfläche zu kommen müsste ich vllt die Funktion f nach dr integrieren in den Grenzen von -2 bis 2. Aber ob das richtig ist und wie ich dann weitermache, bleibt mir verborgen !
Was besagt überhaupt das [mm] \phi [/mm] ?
Die Formel für das Volumen sagt mir [mm] \pi/2 [/mm] * r² * h
Danke für Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Vermutlich ist folgendes gemeint:
Auf dem Tisch liegt ein Koordinatensystem als x-y-Ebene. Nach oben in die Luft - senkrecht zu dieser Ebene - geht die z-Achse. Ein Punkt P wird beschrieben durch x-, y- und z-Wert. Dabei wird z als f(x,y) aufgefasst. So kann man zu jedem x-y-Wert "auf dem Tisch" ausrechnen, wie hoch der zur Oberfläche des Paraboloids gehörende Punkt in z-Richtung liegt. Statt nun x- und y-Wert anzugeben, hat man statt dessen den Abstand r des Punktes (x|y) vom Ursprung angegeben und den Winkel [mm] \Phi, [/mm] der zwischen der x-Achse und dem Punkt liegt. Beispiel: Für x=1 und y=1 ist [mm] r=\wurzel{x^2+y^2}= \wurzel{2} [/mm] und [mm] \Phi [/mm] = 45 °. z hängt bei der angegebenen Funktion gar nicht von [mm] \Phi [/mm] ab und gibt den Wert 4 - [mm] r^2 [/mm] = 4-2=2. Also liegt der Punkt (1|1|2) auf der Oberfläche des Paraboloids.
Insgesamt kannst du überlegen, dass die Oberfläche dadurch entsteht, dass der Graph der Funktion [mm] z(x)=4-x^2 [/mm] und y=0 um die z-Achse rotiert. Also eine auf dem Kopf stehende Normalparabel der Höhe 4 (auf der z-Achse) und dem Radius 2 in Höhe der Tischebene.
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Hallo,
[mm] r\le [/mm] 2 stand sowieso schon in der aufgabenstellung. das habe ich vergessen mit anzugeben.
kann ich das volumen also nun einfach mit [mm] \pi/2 [/mm] * 2²*4 = [mm] 8\pi [/mm] bestimmen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Mo 02.01.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
Nein was du ausrechnest ist das Volumen eines Zylinders! also falsch.
Du kannst entweder das 3d Integral in Zylinderkoordinaten rechnen oder dir die formel fuer Rotationsvolumen einer Kurve zurueckrufen.
Gruss leduart
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Hallo,
unter![[]](/images/popup.gif) Wikipedia steht die besagte Formel welche ich angewendet habe.
Wobei da der Radius ja glaube ich nicht die gleiche Bedeutung hat wie bei uns sondern eher als Radius des Schnittkreises gemeint ist. Diesen könnte ich ja aber als 2 annehmen
Mit deinem Vorschlag stehe ich auf dem Schlauch. Wenn du mir das einmal bis zum Ende vorrechnen könntest wäre ich dir sehr verbunden.
Gruß
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Wenn dir klar ist, wie der Körper aussieht, ist schon alles gewonnen; wenn nicht, ist es äußerst schwer, die Integration mit den richtigen Grenzen zu finden. Die Figur sieht wie im Bild aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nun zerschneidest du den Körper durch waagerechte Schnitte in lauter hauchdünne Scheiben. Diese sind alle kreisförmig und daher leicht zu berechnen. (s. auch Anmerkung unten). Ist der Radius r, so ist die Höhe, in der sich diese Scheibe befindet, gerade [mm] z=4-r^2. [/mm] Die Dicke der Scheibe ist dz. Also hat eine solche Scheibe das Volumen
[mm] \pi*r^2*dz. [/mm] Das Gesamtvolumen ist die Summe aller Teilvolumen, du schreibst also ein S (für Summe) davor:
[mm] \integral_{0}^{4}{\pi*r^2*dz} [/mm] (ja, das Integralzeichen ist eigentlich aus dem S für Summe entstanden).
Du hast nun eine Variable r, sollst aber nach z integrieren. Da r von z (oder z von r) abhängt, musst du entweder das r durch z oder das dz durch dr ausdrücken, sonst kannst du die Stammfunktion nicht finden. Hier ist ganz einfach [mm] r^2=4-z [/mm] aus obiger Formel. Somit erhältst du
[mm] V=\integral_{0}^{4}{\pi*(4-z)*dz}=\pi*(4z-\bruch{1}{2}z^2) [/mm] von 0 bis 4 = [mm] \pi*(16-8)-0=8*\pi.
[/mm]
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Natürlich kann man den Körper auch ganz anders zerlegen, z.B. in senkrechte Scheibchen zerteilen, z.B. entlang der x-Achse. Dann erhält man lauter Parabelbögen, deren Volumen (Dicke dx) man einzeln berechnen muss (1. Integral) und die man alle summieren muss (2. Integral). Also viel komplizierter.
Ein ganz allgemeiner Weg wäre die zerlegung des Volumens in lauter Miniwürfel des Volumens dx*dy*dz. Dann musst du 3 ineinandergesetzte Integrale bilden, wobei die jeweiligen Grenzen die entscheidende Rolle spielen: Die x-Grenzen hängen vom jeweiligen y-Wert und der Höhe z ab ...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Zusatzbemerkung:
Ein Paraboloid hat immer die Hälfte des Volumens eines Zylinders, in das es gerade hereinpasst. Ein Parabelbogen hat immer eine zwei-Drittel so große Fläche wie das Rechteck, in das er gerade hereinpasst.
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Ich danke dir sehr für diese ausführliche Erklärung.
Ich habs eben überflogen und eigentlich schon verstanden.
Ich drucks mir gleich aus und geh damit nochmal an den Schreibtisch.
Gruß
Chillkroete
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