Volumen eines Rotationskörpers < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Mi 05.12.2012 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | | Die stetige Funktion f(x) sei für x [mm] \le [/mm] 0 und für x [mm] \ge [/mm] 1 konstant mit f(0)=1 und f(1)=2. Dazwischen sei sie gegeben durch [mm] c1*cosh(\bruch{x}{c_{1}}+{c_{2}}). [/mm] Man bestimme das Volumen des zugehörigen Rotationskörper, wenn f und die x-Achse rotiert und [mm] c_{1}=0.949992 [/mm] ist. |
Hallo,
bei folgender Aufgabe komme ich leider nicht weiter.
[mm] V=\pi \integral_{1}^{0}{f(x)^{2}) dx}
[/mm]
[mm] =\pi* \integral_{1}^{0}{c_{1}^{2}*cosh(\bruch{x}{c_{1}}+{c_{2}) dx}
Substitution:
Zwischenschritt wurde nicht aufgeführt, da sie beständigfalsch angezeigt wurden.
Umstellen nach
dx=c_{1}*du
Einsetzen:
V=\pi* \integral_{(1)}^{(0)}{ c_{1}^{2}} * cosh(u)^{2} * c_{1} du}
[/mm]
[mm] V=\pi* \integral_{(1)}^{(0)}{ c_{1}^{3} * cosh(u)^{2} du}
[/mm]
[mm] V=\pi* c_{1}^{3} \integral_{(1)}^{(0)}{ cosh(u)^{2} du}
[/mm]
Wie kommt man auf diesen Schritt:
[mm] V=\bruch{\pi}{2} c_{1}^{3}*(sinh(u)*cosh(u)+u)) [/mm]
Die Grenzen habe ich im letzten Schritt nicht angegeben.
Mfg
RWBK
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Hallo RWBK!
Wende auf [mm] $\integral{\cosh^2(u) \ du} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\cosh(u)*\cosh(u) \ du}$ [/mm] die partielle Integration an.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Mi 05.12.2012 | | Autor: | RWBK |
Danke für deine schnelle ANTWORT, leider hänge ich dort aber noch etwas fest.
Die Formel für die partielle Integration lautet:
[mm] u*v-\integral_{}^{}{u´*v}
[/mm]
Angewendet auf unserer Aufgabe hieße das:
u´= cosh(u)
u= sinh (u)
v= cosh(u)
v´=sinh(u)
[mm] V=\pi* c_{1}^{3}*( [/mm] sinh(u)*cosh(u) - [mm] \integral_{(1)}^{(0)}{ cosh(u)*cosh(u) dx})
[/mm]
Was hat mir das jetzt gebracht?
Mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Mi 05.12.2012 | | Autor: | chrisno |
Such erst einmal nur die Stammfunktion mit der partiellen Integration. Addiere auf beiden Seiten [mm] $\int \cosh(x) [/mm] dx$ und teile durch 2.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Mi 05.12.2012 | | Autor: | RWBK |
Hallo,
tut mir leid aber diese Antwort verstehe ich leider nicht, warum sollte ich auf beiden Seiten etwas addieren?
Mfg
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Hallo RWBK!
Wie oben angedeutet: wir betrachten nur das gesuchte Integral [mm] $\integral{\cosh^2(u) \ du}$ [/mm] .
Mit der partiellen Integration gilt dann:
[mm] $$\red{\integral{\cosh^2(u) \ du}} [/mm] \ = \ [mm] \sinh(u)*\cosh(u)-\red{\integral{\cosh^2(u) \ du}}$$
[/mm]
Dies entspricht doch einer Gleichung der Form:
[mm] $$\red{x} [/mm] \ = \ [mm] \text{irgendwas}-\red{x}$$
[/mm]
Hier wäre der nächste Schritt, auf beiden Seiten $+x_$ zu addieren:
$$2*x \ = \ [mm] \text{irgendwas}$$
[/mm]
$$x \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\text{irgendwas}$$
[/mm]
Und so gehst Du nun mit o.g. Integral um.
Gruß vom
Roadrunner
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