Volumen elliptischer Kegel < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:05 Di 24.11.2015 | | Autor: | Teryosas |
| Aufgabe | Berechnen Sie unter Verwendung elliptischer Zylinderkoordinaten das Volumen [mm] \mu(K) [/mm] des elliptischen Kegels K [mm] \subseteq \IR^3 [/mm] mit den folgenden Eigenschaften:
-die Achse des Kegels stimmt mit der x-Achse überein,
-die Spitze des Kegels zeigt in positive Richtung,
der Kegel besitzt die Grundfläche x=0, [mm] \bruch{y^2}{4}+\bruch{z^2}{9} \le R^2 [/mm] und die Höhe h (der Abstand von Grundfläche zur Spitze.
Dabei sind R und h positiv reelle Konstanten. |
hey Leute,
Habe hier einen möglichen Lösungsweg und würde nun gerne wissen ob jener richtig ist?
Nach Transformation:
T(r, [mm] \phi, [/mm] z) = [mm] (rcos(\phi), 2rsin(\phi), [/mm] 3z) mit r [mm] \ge [/mm] 0, [mm] 0\le \phi \le 2\pi [/mm] , und z [mm] \in \IR^2
[/mm]
partiell differenzierbar:
[mm] T'(r,\phi, [/mm] z) = [mm] \pmat{ cos(\phi) & -rsin(\phi) & 0 \\ 2sin(phi) & 2rcos(\phi) & 0 \\ 0 & 0 & 3}
[/mm]
[mm] detT'(r,\phi, [/mm] z) = [mm] 6rcos^2(\phi) [/mm] + [mm] 6rsin^2(\phi) [/mm] = 6r
Darstellung des Kegels:
K = (x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] | 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] h, [mm] \wurzel{\bruch{y^2}{4}+\bruch{z^2}{9}} \le [/mm] R(1-x/h)
K = [mm] (rcos(\phi), 2rsin(\phi), [/mm] 3z) [mm] \in \IR^3 [/mm] | 0 [mm] \le \phi \le 2\pi, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] h, 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] R(1-x/h)
Mit R(1-x/h) für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] h erhält man:
[mm] \mu(K) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{h}{\integral_{0}^{R(1-x/h)}{\integral_{0}^{2\pi}{6r d\phi dr dz}}}
[/mm]
stimmt das so?
LG :)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 09:08 Mi 25.11.2015 | | Autor: | Teryosas |
> Berechnen Sie unter Verwendung elliptischer
> Zylinderkoordinaten das Volumen [mm]\mu(K)[/mm] des elliptischen
> Kegels K [mm]\subseteq \IR^3[/mm] mit den folgenden Eigenschaften:
>
> -die Achse des Kegels stimmt mit der x-Achse überein,
> -die Spitze des Kegels zeigt in positive Richtung,
> der Kegel besitzt die Grundfläche x=0,
> [mm]\bruch{y^2}{4}+\bruch{z^2}{9} \le R^2[/mm] und die Höhe h (der
> Abstand von Grundfläche zur Spitze.
>
> Dabei sind R und h positiv reelle Konstanten.
> hey Leute,
>
> Habe hier einen möglichen Lösungsweg und würde nun gerne
> wissen ob jener richtig ist?
>
> Nach Transformation:
> T(r, [mm]\phi,[/mm] z) = [mm](rcos(\phi), 2rsin(\phi),[/mm] 3z)
> mit r [mm]\ge[/mm] 0, [mm]0\le \phi \le 2\pi[/mm] , und z [mm]\in \IR^2[/mm]
>
> partiell differenzierbar:
> [mm]T'(r,\phi,[/mm] z) = [mm]\pmat{ cos(\phi) & -rsin(\phi) & 0 \\ 2sin(phi) & 2rcos(\phi) & 0 \\ 0 & 0 & 3}[/mm]
>
> [mm]detT'(r,\phi,[/mm] z) = [mm]6rcos^2(\phi)[/mm] + [mm]6rsin^2(\phi)[/mm] = 6r
>
> Darstellung des Kegels:
> K = (x,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm] | 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] h,
> [mm]\wurzel{\bruch{y^2}{4}+\bruch{z^2}{9}} \le[/mm] R(1-x/h)
> K = [mm](rcos(\phi), 2rsin(\phi),[/mm] 3z) [mm]\in \IR^3[/mm] | 0 [mm]\le \phi \le 2\pi,[/mm]
> 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] h, 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] R(1-x/h)
>
> Mit R(1-x/h) für 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] h erhält man:
> [mm]\mu(K)[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{h}{\integral_{0}^{R(1-x/h)}{\integral_{0}^{2\pi}{6r d\phi dr dz}}}[/mm]
>
> stimmt das so?
> LG :)
hab gerade glaub selbst noch nen Fehler entdeckt. Es müsste heißen
[mm] \integral_{0}^{h}{\integral_{0}^{R(1-x/h)}{\integral_{0}^{2\pi}{6r d\phi dr dx}}} [/mm] mit dx hinten und nicht dz sonst bleibt ein x im Ergebnis übrig.
Käme auch dann auf das Endergebnis:
= [mm] \bruch{\pi*r*R^2*h}{3}
[/mm]
Kann das sein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:00 Mi 25.11.2015 | | Autor: | chrisno |
Das kann nicht sein. Wo kommt das r her? Der Rest des Ergebnisses sieht gut aus.Die Rechnung habe ich nicht kontrolliert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Mi 25.11.2015 | | Autor: | Teryosas |
> Das kann nicht sein. Wo kommt das r her? Der Rest des
> Ergebnisses sieht gut aus.Die Rechnung habe ich nicht
> kontrolliert.
Das r kommt von der Koordinatentransformation von kart. Koordinaten in Zylinderkoordinaten:
laut Skript meines Prof ist dann:
[mm] x=rcos\phi
[/mm]
[mm] y=rsin\phi
[/mm]
z= z
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:54 Mi 25.11.2015 | | Autor: | chrisno |
Du hast doch über r integriert. Damit ist es weg. Außerdem zeigt schon die Einheitenkontrolle, das Dein Ergebnis das Volumen in [mm] $m^4$ [/mm] misst. Das sollte Dir auch nicht gefallen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 Mi 25.11.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Transformationsmatrix hat was mit einem Kegel um die z Achse zu tun, deiner geht aber um die x Achse.
dem Volumen ist allerdings egal wie du den Kegel im Raum hast ,aber für die gestellte Aufgabe soll es ja ein Kegel mit der Grundfläche in der y-z Ebene sein.
zur Kontrolle Elementar; Kegel Geldfläche *Höhe/3, Grundfläche [mm] a*b*\pi [/mm] wenn die Achsen a und b sind.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:26 Do 26.11.2015 | | Autor: | Teryosas |
> Hallo
> deine Transformationsmatrix hat was mit einem Kegel um die
> z Achse zu tun, deiner geht aber um die x Achse.
> dem Volumen ist allerdings egal wie du den Kegel im Raum
> hast ,aber für die gestellte Aufgabe soll es ja ein Kegel
> mit der Grundfläche in der y-z Ebene sein.
> zur Kontrolle Elementar; Kegel Geldfläche *Höhe/3,
> Grundfläche [mm]a*b*\pi[/mm] wenn die Achsen a und b sind.
> Gruß leduart
Wie erstelle ich denn dann eine Transformationsmatrix für die x-Achse?
PS: Mein Ergebnis ist tatsächlich falsch. Hab ausversehen r statt 6 geschrieben. Lauten sollte es eigentlich [mm] :\bruch{6\pi R^2h}{3}
[/mm]
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> Wie erstelle ich denn dann eine Transformationsmatrix für
> die x-Achse?
Hallo Teryosas,
ich würde den Kegel so parametrisieren:
Die in der y-z-Ebene liegende Grundellipse hat die
Halbachsen a=2R (auf y-Achse) und b=3R (auf z-Achse).
Parametrisiert: $\ x=0$ , [mm] y=2R*cos(\varphi) [/mm] , [mm] z=3R*sin(\varphi) [/mm]
Für jedes $\ x$ mit $\ [mm] 0\le x\le [/mm] h$ haben wir eine (Rand-) Ellipse:
[mm] y=2R_x*cos(\varphi) [/mm] , [mm] z=3R_x*sin(\varphi)
[/mm]
wobei [mm] R_x= R*(1-\frac{x}{h})
[/mm]
Die Integrationsgrenzen für die 3 Integrations-
variablen sind dann:
$\ r$ von $\ 0$ bis [mm] R_x
[/mm]
[mm] \varphi [/mm] von $\ 0$ bis [mm] 2\pi
[/mm]
$\ x$ von $\ 0$ bis $\ h$
Die Transformation durch eine Matrix darzustellen,
überlasse ich dir.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Fr 27.11.2015 | | Autor: | Teryosas |
> > Wie erstelle ich denn dann eine Transformationsmatrix für
> > die x-Achse?
>
>
> Hallo Teryosas,
>
> ich würde den Kegel so parametrisieren:
>
> Die in der y-z-Ebene liegende Grundellipse hat die
> Halbachsen a=2R (auf y-Achse) und b=3R (auf z-Achse).
> Parametrisiert: [mm]\ x=0[/mm] , [mm]y=2R*cos(\varphi)[/mm] ,
> [mm]z=3R*sin(\varphi)[/mm]
>
> Für jedes [mm]\ x[/mm] mit [mm]\ 0\le x\le h[/mm] haben wir eine (Rand-)
> Ellipse:
>
> [mm]y=2R_x*cos(\varphi)[/mm] , [mm]z=3R_x*sin(\varphi)[/mm]
>
> wobei [mm]R_x= R*(1-\frac{x}{h})[/mm]
>
> Die Integrationsgrenzen für die 3 Integrations-
> variablen sind dann:
>
> [mm]\ r[/mm] von [mm]\ 0[/mm] bis [mm]R_x[/mm]
>
> [mm]\varphi[/mm] von [mm]\ 0[/mm] bis [mm]2\pi[/mm]
>
> [mm]\ x[/mm] von [mm]\ 0[/mm] bis [mm]\ h[/mm]
>
> Die Transformation durch eine Matrix darzustellen,
> überlasse ich dir.
>
> LG , Al-Chwarizmi
Wenn ichs jetzt richtig verstanden habe komme ich auf so etwas:
[mm] T(x,R_{x}, \varphi)=(0, 2R_x*cos(\varphi), 3R_x*sin(\varphi)) [/mm] = (0, [mm] 2*R*(1-\frac{x}{h})*cos(\varphi), 3*R*(1-\frac{x}{h})*sin(\varphi))
[/mm]
Das partiell abgeleitet ergibt:
T'(x, [mm] R_{x}, \varphi) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ -\bruch{2Rcos/\varphi)}{h} & 2*(1-\frac{x}{h})*cos(\varphi) & -2r (1- \bruch{x}{h}sin(\varphi)\\-\bruch{3Rsin/\varphi)}{h} & 3*(1-\frac{x}{h})*sin(\varphi) &3*R*(1-\frac{x}{h})*cos(\varphi) }
[/mm]
und käme somit auf ein detT'(x, [mm] R_{x}, \varphi) [/mm] = 0. wodurch gleichzeitig das Volumen null werden würde.
Wo liegt der Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Fr 27.11.2015 | | Autor: | Jule2 |
$ [mm] T(x,R_{x}, \varphi)=(0, 2R_x\cdot{}cos(\varphi), 3R_x\cdot{}sin(\varphi)) [/mm] $ = (0, $ [mm] 2\cdot{}R\cdot{}(1-\frac{x}{h})\cdot{}cos(\varphi), 3\cdot{}R\cdot{}(1-\frac{x}{h})\cdot{}sin(\varphi)) [/mm] $
Das kann nicht stimmen wieso ist x bei dir konstant null so bestimmst du ja nur die Oberfläche in der y-z-Ebene
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