Volumen von Untermannigfaltigk < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] K=\{(x,y,z)\in\IR^3\setminus (0,0,0): x^2+y^2=z^2, |z|\le 1\} [/mm]
Berechne vol(K). (oder sagt man Fläche?) |
Hallo zusammen,
habe mir die Aufgabe selber gestellt, daher habe ich keine Möglichkeit mein Ergebnis zu vergleichen.
Zuerst habe ich K geteilt in [mm] K_{+}=K\cap \IR_{+} [/mm] und [mm] K_{-}=K\cap \IR_{-}
[/mm]
Dann gilt schon mal [mm] vol(K)=2vol(K_{+})
[/mm]
Dann brauche ich die Volumenform/das Volumenelement auf [mm] K_{+}, [/mm] dazu erst einmal eine Parametrisierung von [mm] K_{+}:
[/mm]
[mm] \Psi: \overline B_1(0)\setminus [/mm] (0,0) [mm] \to K_{+}
[/mm]
[mm] \psi(x,y)=(x,y, \wurzel{x^2+y^2})
[/mm]
[mm] \bruch{\partial\Psi}{\partial x}=\vektor{1 \\ 0\\ \bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial\Psi}{\partial y}=\vektor{0 \\ 1\\ \bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2}}}
[/mm]
die Volumenform [mm] \omega_K [/mm] bekommt man nun mithilfe eines Satzes:
[mm] \omega_K=\operatorname{sgn}(\Psi)\wurzel{G(\bruch{\partial}{\partial x_1},...,\bruch{\partial}{\partial x_n}}dx_1\wedge...\wedge dx_n [/mm]
mit [mm] \bruch{\partial}{\partial x_i} [/mm] die i-te partielle Ableitung von der Parametrisierung und G(...) die Gramsche determinante.
Die Volumenform von [mm] K_{+} [/mm] ist also:
[mm] \omega_K_{+}=\wurzel{2}dx\wedge [/mm] dy
wobei [mm] \wurzel{2}=\wurzel{G(\bruch{\partial\Psi}{\partial x}, \bruch{\partial\Psi}{\partial y})}
[/mm]
Dann wieder den Transformationssatz anwenden und zwar mit der Abbildung:
[mm] \phi: (0,2\pi)\times (0,1]\to \overline B_1(0)
[/mm]
[mm] \phi(u,r)=\vektor{r cos(u) \\ r sin(u)}
[/mm]
Auch wenn man das nicht ablesen kann, gilt für [mm] \omega_K_{+}=\wurzel{2}dx\wedge [/mm] dy, dass [mm] \omega_K_{+} [/mm] wegen [mm] \Psi [/mm] abbildet von [mm] \overline B_1(0)\setminus [/mm] (0,0) [mm] \to K_{+}
[/mm]
daher sollte das Folgende gelten:
[mm] vol(K)=2*vol(K_{+})=2\integral_{K_{+}}^{}{\wurzel{2}dxdy}=2\wurzel{2}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{1}{r drdu}=2*\wurzel{2}(\bruch{1}{2}\integral_{0}^{2\pi}du)=\wurzel{2}*2\pi
[/mm]
Ich hoffe ich habe alles verständlich formuliert. Würde mich freuen, wenn da mal jmd drüber schaut. Ich bin nämlich noch sehr unsicher.
Mfg, kulli
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Hallo kullinarisch,
> Sei [mm]K=\{(x,y,z)\in\IR^3\setminus (0,0,0): x^2+y^2=z^2, |z|\le 1\}[/mm]
>
> Berechne vol(K). (oder sagt man Fläche?)
> Hallo zusammen,
>
> habe mir die Aufgabe selber gestellt, daher habe ich keine
> Möglichkeit mein Ergebnis zu vergleichen.
>
> Zuerst habe ich K geteilt in [mm]K_{+}=K\cap \IR_{+}[/mm] und
> [mm]K_{-}=K\cap \IR_{-}[/mm]
>
> Dann gilt schon mal [mm]vol(K)=2vol(K_{+})[/mm]
>
> Dann brauche ich die Volumenform/das Volumenelement auf
> [mm]K_{+},[/mm] dazu erst einmal eine Parametrisierung von [mm]K_{+}:[/mm]
>
>
> [mm]\Psi: \overline B_1(0)\setminus[/mm] (0,0) [mm]\to K_{+}[/mm]
>
> [mm]\psi(x,y)=(x,y, \wurzel{x^2+y^2})[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial\Psi}{\partial x}=\vektor{1 \\ 0\\ \bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}}}[/mm]
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> [mm]\bruch{\partial\Psi}{\partial y}=\vektor{0 \\ 1\\ \bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2}}}[/mm]
>
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> die Volumenform [mm]\omega_K[/mm] bekommt man nun mithilfe eines
> Satzes:
>
>
> [mm]\omega_K=\operatorname{sgn}(\Psi)\wurzel{G(\bruch{\partial}{\partial x_1},...,\bruch{\partial}{\partial x_n}}dx_1\wedge...\wedge dx_n[/mm]
>
> mit [mm]\bruch{\partial}{\partial x_i}[/mm] die i-te partielle
> Ableitung von der Parametrisierung und G(...) die Gramsche
> determinante.
>
> Die Volumenform von [mm]K_{+}[/mm] ist also:
>
> [mm]\omega_K_{+}=\wurzel{2}dx\wedge[/mm] dy
>
> wobei [mm]\wurzel{2}=\wurzel{G(\bruch{\partial\Psi}{\partial x}, \bruch{\partial\Psi}{\partial y})}[/mm]
>
> Dann wieder den Transformationssatz anwenden und zwar mit
> der Abbildung:
>
> [mm]\phi: (0,2\pi)\times (0,1]\to \overline B_1(0)[/mm]
>
> [mm]\phi(u,r)=\vektor{r cos(u) \\ r sin(u)}[/mm]
>
> Auch wenn man das nicht ablesen kann, gilt für
> [mm]\omega_K_{+}=\wurzel{2}dx\wedge[/mm] dy, dass [mm]\omega_K_{+}[/mm] wegen
> [mm]\Psi[/mm] abbildet von [mm]\overline B_1(0)\setminus[/mm] (0,0) [mm]\to K_{+}[/mm]
>
> daher sollte das Folgende gelten:
>
>
> [mm]vol(K)=2*vol(K_{+})=2\integral_{K_{+}}^{}{\wurzel{2}dxdy}=2\wurzel{2}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{1}{r drdu}=2*\wurzel{2}(\bruch{1}{2}\integral_{0}^{2\pi}du)=\wurzel{2}*2\pi[/mm]
>
Mit der Gramschen Determinante berechnet
man doch das Oberflächenmaß von K.
Hier also die Mantelfläche von K.
> Ich hoffe ich habe alles verständlich formuliert. Würde
> mich freuen, wenn da mal jmd drüber schaut. Ich bin
> nämlich noch sehr unsicher.
>
> Mfg, kulli
Gruss
MathePower
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Hallo! Ja, Oberfläche hört sich besser an, habe nur das falsche Wort gewählt.
Mfg, kulli
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