Volumenberechnung Pyramide < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen sie das Volumen der dreiseitigen Pyramide ABCD.
A(-8/5/-2), B(10/-7/2), C(7/6/-6), D(3/5/9) |
Hallo,
gleich eine Frage vorweg. Hat eine Pyramide mit einem viereck als Grundfläche nicht 4 seiten, nicht wie in der Aufgabenstellung 3!?
Mein eigentliches Problem:
Wie berechne ich ohne fertig Formel das Volumen, wenn ich keine Höhe habe. Ich hoff mir kann da einer helfen. Hab schon einiges gefunden im Forum, nur hats mir net so viel geholfen...
Danke schon mal
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, chedinger,
> Berechnen sie das Volumen der dreiseitigen Pyramide ABCD.
> A(-8/5/-2), B(10/-7/2), C(7/6/-6), D(3/5/9)
> gleich eine Frage vorweg. Hat eine Pyramide mit einem
> viereck als Grundfläche nicht 4 seiten, nicht wie in der
> Aufgabenstellung 3!?
Wie kommst Du darauf, dass die Pyramide ein Viereck als Grundfläche hätte? Wenn A, B, C und D in einer Ebene lägen, hättest Du ja gar keine Pyramide! Demnach: Grundfläche ABC, Spitze D!
> Mein eigentliches Problem:
> Wie berechne ich ohne fertig Formel das Volumen, wenn ich
> keine Höhe habe. Ich hoff mir kann da einer helfen. Hab
> schon einiges gefunden im Forum, nur hats mir net so viel
> geholfen...
Also: Ich würde die Aufgabe mit Determinante lösen, also:
[mm] V_{Pyr} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*|det(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}; \overrightarrow{AD})|
[/mm]
Da ich jedoch nicht weiß, ob Du die Determinante überhaupt kennst, ja nicht einmal, welche Grundkenntnisse Du bisher hast
(Wie berechnet Ihr bisher Flächen von Dreiecken im Raum?
Kennst Du Ebenengleichungen in Parameter- und Koordinatenform?
Kannst Du Abstände von Punkten zu Ebenen bestimmen? ...)
ist dies auch zunächst die einzige Hilfe, die ich Dir anbieten kann!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 So 25.02.2007 | | Autor: | Miranda |
HAllo!
Ich berechne zur Zeit die gleiche aufgabe...und war im unterricht krank, von daher hab ich nur aufzeichnungen meiner freundin, die ich werde lesen noch verstehen kann...
also diese det-Form oder was Zwerglein vorgeschlagen hat ist mir völlig fremd...
im heft meiner freundin steht, dass A=1/2 * 2*(gleichschenklicheseite)*sinAlpha90 ist?!
Kann das sein?,,,,
dann ist die aufgabe aber noch nicht gelöst oder?...
müsste man dann nicht noch eine Ebene durch ABC finden um später den abstand von D zu E zu haben?...
Ich bin total verwirrt...gibts keine "anleitung" zum lösen dieser art von aufgaben?...
Bitte helft mir
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Hi, Miranda,
> Ich berechne zur Zeit die gleiche aufgabe...und war im
> unterricht krank, von daher hab ich nur aufzeichnungen
> meiner freundin, die ich werde lesen noch verstehen
> kann...
>
> also diese det-Form oder was Zwerglein vorgeschlagen hat
> ist mir völlig fremd...
>
> im heft meiner freundin steht, dass A=1/2 *
> 2*(gleichschenklicheseite)*sinAlpha90 ist?!
>
> Kann das sein?,,,,
> dann ist die aufgabe aber noch nicht gelöst oder?...
> müsste man dann nicht noch eine Ebene durch ABC finden um
> später den abstand von D zu E zu haben?...
Also ohne die von mir vorgeschlagene Methode funktioniert das Ganze eigentlich nur in Sonderfällen einigermaßen gut!
Und ein solcher Sonderfall liegt hier vor!
Das Dreieck ABC ist - wie man durch Berechnung der Seitenlängen und der Winkel rausfindet - bei C gleichschenklig-rechtwinklig.
Daher kann man den Flächeninhalt so berechnen:
[mm] F_{ABC} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*|CA|*|CB| [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*242 [/mm] = 121
Nun berechnen wir noch die Seitenlängen der Pyramide und erkennen:
|DA| = |DB| = |DC| =, womit im Zusammenhang mit der Tatsache, dass die Grundfläche gleichschenklig rechtwinklig ist, klar wird: Der Punkt D steht senkrecht über der Seitenmitte [AB].
Diese Seitenmitte berechnen wir: M(1 / -1 / 0)
Die Streckenlänge |MD| muss dann die Höhe der Pyramide sein,
und |DM| berechnet sich zu: 11.
Ergo:
[mm] V_{ABC} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*121*11 [/mm] = [mm] \bruch{1331}{3}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 So 25.02.2007 | | Autor: | Miranda |
MHM...ok, viele dank!...
ich hab noch eine ähnliche aufgabe und versuche sie jetzt mal nach dem "schema" zu berechnen...also
:A(1|10|9); B(2|3|-1), C(4|4|4), D(8|1|-4)
...-> wieder ein sonderfall, da sie gleichschenklich sind!
Also:$ [mm] F_{ABC} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}|CA|\cdot{}|CB| [/mm] $ =
[mm] 1/2*\wurzel{70}*\wurzel{70}
[/mm]
so bis hierhin denke ich hab ich das vestanden..doch dann wirds kritisch..was zum beispiel ist M und wiebekomme ich das raus?...
VIELEN DANK für deine liebe Hilfe!
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Hi, Miranda,
> MHM...ok, viele dank!...
> ich hab noch eine ähnliche aufgabe und versuche sie jetzt
> mal nach dem "schema" zu berechnen...also
>
> :A(1|10|9); B(2|3|-1), C(4|4|4), D(8|1|-4)
>
> ...-> wieder ein sonderfall, da sie gleichschenklich sind!
Bist Du sicher?
>
> Also:[mm] F_{ABC}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}\cdot{}|CA|\cdot{}|CB|[/mm] =
> [mm]1/2*\wurzel{70}*\wurzel{70}[/mm]
Also, ich krieg für |CA| = [mm] \wurzel{90} [/mm] und für |CB| = [mm] \wurzel{30} [/mm] raus!
Und: rechtwinklig scheint das Dreieck ABC auch nicht zu sein!
Also: Hier wird's ohne "meine" Formel schwierig!
Kennst Du wenigstens schon "Skalarprodukt" und "Vektorprodukt"?
Und natürlich: wozu man's braucht?
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 So 25.02.2007 | | Autor: | Miranda |
ja, habe ich beides schon gehört^^.-..
ich hab nochmal nachgerechnet, du hast recht ich hatte AC und CA genommen...oje...und wie soll man das denn nun lösen? ...
Das ist ja noch komkplizierter als die andere aufgabe?!
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Hi, Miranda,
also: wenn Du Kreuz- und Skalarprodukt kennst, dann rechne halt so:
V = [mm] \bruch{1}{6}* |(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \circ \overrightarrow{AD}|
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:56 So 25.02.2007 | | Autor: | Miranda |
mhm..ok..aber ist dass denn nicht mir Det?...
ich habe jetzt V= 242,34LE/FE
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 So 25.02.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Miranda,
> mhm..ok..aber ist das denn nicht mir Det?...
Im Grunde ja! Aber anders würd' ich so eine Aufgabe sowieso NIEMALS lösen!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 So 25.02.2007 | | Autor: | Miranda |
mhm...ich versteh das nicht, was genau ist dieses Det ,, ich war zwar (wie erwähnt einen Tag krank) aber davon hab ich noch nie etwas gehört...ist das nicht irgendwie anders lösbar?....sonst muss sich unsre lehrerin mächtig vertan haben....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 So 25.02.2007 | | Autor: | Miranda |
Hallöchen... ich bins nochmal...habe jetzt erfahren, dass ich die aufabe morgen meiner lehrerin auch noch abgeben muss (hat sie erstmal am sonntag in einer Rund-e-mail geschrieben *ggRR*)....
also muss ich das, egal wie rausbekommen...also noch mal ganz von vorne....ABCD sind gegeben
mit A(1|10|9) B(2|3|-1) C(4|4|4) und D (8|1|-4)
und die (egentlich einfache *heul*) Aufgabe ist:
Berechne das Volumen....
Bitte, ich flehe euch an, helft mir ....ich hab wirklich keine ahnung...und jetzt muss ich das auch noch abgeben*heul*
Was für ein Sonntag....^^
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Hi, Miranda,
kann Dir jetzt auch nur über "meinen" Lösungsweg weiterhelfen:
[mm] \vektor{1 \\ -7 \\ -10} \times \vektor{3 \\ -6 \\ 5} [/mm] = [mm] \vektor{-95 \\ -35 \\ 15}
[/mm]
[mm] \vektor{-95 \\ -35 \\ 15} \circ \vektor{7 \\ -9 \\ -13} [/mm] = -545
V = [mm] \bruch{1}{6}*|-545| [/mm] = [mm] \bruch{545}{6}
[/mm]
(Saublöde Zahlen! Rechne lieber nach!)
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 15:36 So 10.02.2008 | | Autor: | reefton |
> Hi, Miranda,
>
> kann Dir jetzt auch nur über "meinen" Lösungsweg
> weiterhelfen:
>
> [mm]\vektor{1 \\ -7 \\ -10} \times \vektor{3 \\ -6 \\ 5}[/mm] =
> [mm]\vektor{-95 \\ -35 \\ 15}[/mm]
>
> [mm]\vektor{-95 \\ -35 \\ 15} \circ \vektor{7 \\ -9 \\ -13}[/mm] =
> -545
>
> V = [mm]\bruch{1}{6}*|-545|[/mm] = [mm]\bruch{545}{6}[/mm]
>
> (Saublöde Zahlen! Rechne lieber nach!)
>
> mfG!
> Zwerglein
Zwerglein du hast dich ein wneig verrechnet...richtiges ergebnis is [mm]\bruch{1}{6}*|145|[/mm] = [mm]\bruch{145}{6}[/mm]
dein fehler liegt hier [mm]\vektor{3 \\ -6 \\ 5}[/mm]
dort müsste auch ein - vor der fünf stehen da nämlich 4-9 =-5 ergibt^^
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Hallo Miranda,
> HAllo!
>
> Ich berechne zur Zeit die gleiche aufgabe...und war im
> unterricht krank, von daher hab ich nur aufzeichnungen
> meiner freundin, die ich werde lesen noch verstehen
> kann...
>
> also diese det-Form oder was Zwerglein vorgeschlagen hat
> ist mir völlig fremd...
>
> im heft meiner freundin steht, dass A=1/2 *
> 2*(gleichschenklicheseite)*sinAlpha90 ist?!
>
> Kann das sein?,,,,
> dann ist die aufgabe aber noch nicht gelöst oder?...
> müsste man dann nicht noch eine Ebene durch ABC finden um
> später den abstand von D zu E zu haben?...
>
> Ich bin total verwirrt...gibts keine "anleitung" zum lösen
> dieser art von aufgaben?...
doch!
berechne die Grundfläche: [mm] Flaeche=\frac{1}{2}\wurzel{((b - a)^2*(c - a)^2 - ((b - a)*(c - a))^2)}
[/mm]
mit a, b, c sind die Ortsvektoren der gegebenen Punkte. [die Pfeile sind mir gerade zu lästig..]
solltest du auch in deiner Formelsammlung finden...
berechne die Höhe der Pyramide mit der Hesse'schen Normalenform für die von A,B und C aufgespannte Ebene.
berechne das Volumen = 1/3·Fläche·Höhe = 1/3 * 121*11 (bitte nachrechnen!)
Gruß informix
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