Volumenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Kroni |
| Aufgabe | | Gegeben sei ein Kreiskegel. Berechnen Sie den Schwerpunkt und das Trägheitsmoment. |
Hi,
es geht hier um ein Problem aus der Physik. Das ist aber eigentlich bei mir momentan eher ein mathematische Problem.
Ich komme zwar auf das gewünschte Ergebnis, habe aber auch einen anderen Weg versucht, der nicht klappt. Und ich weiß nicht, warum der Weg nicht klappt.
Zunächst zum Schwerpunkt. Dieser ist für homogene Körper so definiert:
[mm] $\frac{1}{V}*\int_{V}\vec{r}dV$
[/mm]
Gut. Wenn ich meinen Kreiskegel so lege, dass auf der x-Achse die Kreisfläche "steht", dann bekomme ich für die Seitenkante des Kegels folgendes Funktion heraus, die den Radius des Kreises in Abhängigkeit von der Höhe z beschreibt:
[mm] $r(z)=R-\frac{R}{h}*z$, [/mm] wobei h die Höhe des Kegels ist.
Nun, dann habe ich mir überlegt: Aufgrund der Symmetrie muss der Schwerpunkt des Kegels auf der z-Achse liegen. Dann kann ich jedes Volumenelemnt aus Kreisen darstellen, mit dem Flächeinhalt [mm] $A(z)=\pi*r(z)^2$, [/mm] und einer infinitesimalen Höhe z.
Also gilt: [mm] dV=\pi*r(z)^2*dz.
[/mm]
Für [mm] \vec{r}, [/mm] das unter dem Integral steht, kann ich dann z einsetzetn, da ich weiß, dass x=y=0 gilt. Dann steht dort also:
[mm] $\frac{1}{V}*\int_0^h \pi*z*r(z)^2dz$
[/mm]
Wenn ich das dann ausrechne, komme ich auf [mm] $r_z=\rac{1}{4}h$, [/mm] welches auch dem Literaturwert entspricht. Soweit so gut.
Nun, wenn ich das Trägheitsmoment berechnen will, benutze ich die Formel
[mm] $I=\rho*\int_{V} [/mm] r^2dV$, wobei r nun den Abstand zur Drehachse, die in meinem Fall gleich der z Achse ist, angibt.
Nun, jetzt spalte ich mein dV in Zylinderkoordianten auf in [mm] $dV=rd\phi [/mm] * dr * dz$
Wenn ich dann integriere bekomme ich ein Dreifachintegral. Das Integral schaut dann so aus:
[mm] $I=\rho*\int_{0}^{2\pi}d\phi [/mm] * [mm] \int_{0}^{h}\int_{0}^{R-\frac{R}{h}*z}r^3dr [/mm] dz$
Die obere Grenze vom dr habe ich aus meiner Funktion r(z), denn ich darf ja den Abstand zur Drehachse nur bis dahin integrieren, wo auch mein r ist, und das ist ja nunmal durch den Kegel beschränkt. Das [mm] r^3 [/mm] kommt einmal durch das [mm] r^2, [/mm] das schon von Anfang an im Integral steht, und das [mm] r^3 [/mm] dann durch die nochmalige Multiplikation mit dem [mm] rd\phi.
[/mm]
Wenn ich die Integration ausführe, komme ich auch auf [mm] $I=\frac{3}{10}MR^2$, [/mm] was auch für das Trägheitsmoment stimmt.
Nun zu meiner eigentlichen Frage:
Diese Art der Integration von oben für das Trägheitsmoment müsste ich doch eigentlichauch auf die Bestimmung des Schwerpunktes übertragen können, um [mm] \vec{r_s} [/mm] zu bestimmen.
Wenn ich dann das Integral genauso ansetzte, nämlich bei der Formel für [mm] r_s [/mm] mein dV aufteile in [mm] $dV=rd\phi [/mm] dr dz$, dann kommt dort erstmal folgendes raus:
[mm] $r_s=\frac{1}{V}*\int_{0}^{2\pi}d\phi*\int_{0}^{h}\int_{0}^{R-\frac{R}{h}z}r^2drdz$
[/mm]
Und wenn ich dann erst das Integral nach r auflöse, dann nach dz dann kommt dort folgendes raus:
[mm] r_s=1/2 [/mm] r
Das ist aber offensichtlich nicht gleich 1/4 h.
Nun ist hier meine Frage: Warum kommst hier nicht das richtige heraus?!
Was genau mache ich falsch, wenn ich [mm] r_s [/mm] berechnen will, und dann den obigen Ansatz wähle, und was genau ist daran "anders", wenn ich für dV annehme, dass ich Kreisscheiben habe,und dazu dann noch die Höhe dz draufmultipliziere, wie ich das im ersten Ansatz gemacht habe, und dort richtigerweise 1/4h herausbekomme?
Bis hierhin schonmal vielen Dank für das Durchlesen.
Würde mich über eine Antwort freuen, weil es mich sehr interessiert, warum und wieso der eine Ansatz richtig ist und der andere falsch.
Ich meine, es kann daran liegen, weil ich bei der Berechnugn des Schwerpunktes als r einen Vektor habe, aber den müsste ich doch dann auch in Zylinderkoordianten so aufspalten können?!
LG
Kroni
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Hallo
Zuerst mal die Transformationsgesetze:
[mm]x=p\cdot \cos(\phi)[/mm][mm] \newline
[/mm]
[mm]y=p \sin(\phi)[/mm][mm] \newline
[/mm]
[mm]z=h[/mm].
Nach deiner Vorrausetzung ist [mm]x=y=0[/mm], also [mm]p=0[/mm].
Also gilt [mm]z=h[/mm], also sind die Integrale identisch, mit
[mm]\mathrm{d}V=\pi r(z)^2\matrhm{d}z[/mm], da wie beim "kartesischen" Integral, wo [mm]\mathrm{d}x[/mm] und [mm]\mathrm{d}y[/mm] wegfallen auch [mm]\mathrm{d}\phi[/mm] und [mm]\mathrm{d}r[/mm] beim "zylindrischen" Integral wegfallen. Nach [mm]z=h[/mm] sind diese zwei Koordiantensysteme in ihrer dritten Koordinate indentische und damit auch das Element [mm]\mathrm{d}z=\mathrm{d}h[/mm] (dann auch das Integral).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, das erklärt, warum ich mit meinem ersten Ansatz mit den Kreiselementen richtig lag.
Aber warum funktioniert meine letzte Rechnung nicht, wo ich dann mit den angegebenen Grenzen integriere. Das verstehe ich nicht, warum das nicht funktioniert.
Letztendlich müsste dann doch auch bei meiner ersten Frage das letzte Integral funktionieren?!
LG
Kroni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Mi 28.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Kroni
Du hast in deinem Integral für den Schwerpunkt doch einen Vektor stehen.d.h. eigentlich sind das 3 Integrale für die jeweiligen Komponenten von [mm] \vec{r}
[/mm]
du gehst aber so vor als stünde da der Betrag von r.da steht aber da du die z Komponente suchst z
2. versteh ich nicht, wie du, nach der Integration nach r nocch ein r in der Gleichung hast?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das R steht da noch nach der Integration nach r, weil das große R dein Radius unten am Kegelboden meint. Daher steht dann da hinterher noch ein großes R.
Okay, also müsste ich für den Vektor r x y und z einsetzen, so dass ich dann natürlich auch die Grenzen, die ich für mein R dort eingestzt habe, völlig falsch sind?!
D.h. meine Aufteilung von dV in r [mm] d\phi [/mm] dr dz ist dann auch nicht mehr so korrekt?!
Gut, da würde einiges Erklären.
LG und danke für eure Antworten, leduart und kantenkoenig!
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Mi 28.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie du dein dV schreibst, als dxdydz oder in Zylinder oder Polarkoordinaten ist egal!
du musst nur aufpassen wie du dein [mm] \vec{r} [/mm] schreibst der hat in Zylinderkoord. aufjeden Fall z und sicher nicht r stehen.
Wenn du damit dein Integral durchführst müsste es richtig werden.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hallo leduart,
danke für deine Antwort. Habe es nun auch auf diese Art und Weise heraus. Habe wirklich nicht beachtet, dass r einmal dann ein Vektor ist, und einmal ein Absoluter Abstand.
Danke dir =)
LG
Kroni
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