Vorzeichen stimmt nicht < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Flächenstück wird begrenzt durch die Y-Achse, die Funktion $y=a$ und die Parabel [mm] $y=\frac{x^2}{a}$.
[/mm]
Aus diesem Rotationsparaboloid soll durch eine mittige Bohrung die Hälfte des Volumens entfernt werden, Wie ist der Radius der Bohrung dafür zu wählen? |
meine Überlegung sieht folgendermaßen aus:
ich erhalte insgesamt 3 Flächenstücke [mm] $V_1, V_2, V_3$
[/mm]
[mm] $V_1$ [/mm] rechteckiges Flächenstück der Bohrung
[mm] $V_3$ [/mm] Die Endkappe die Abfällt wenn man von der stumpfen Seite her bohrt
[mm] $V_2$ [/mm] Das Zu erzeugende Werkstück
Mein Problem ist das ich für die Berechnung der Gesamtfläche [mm] $2\pi\cdot(-\frac{x^3}{4})$ [/mm] erhalte. davon glaube ich das das falsch ist da eine Fläche positiv sein muss.
Meine Rechnung dazu:
[mm] $V_g=2\pi\int_{0}^{a}x\cdot(a-\frac{x^2}{a})dx
[/mm]
[mm] $V_g=2\pi(a\int_{0}^{a}xdx-\frac{1}{a}\int_{0}^{a}x^3dx)$
[/mm]
[mm] $V_g=2\pi(\left[\frac{ax^2}{2}-\frac{ax^3}{4a}\right]_{0}^{a})$
[/mm]
[mm] $V_g=2\pi(-\frac{a^3}{2}+\frac{a^3}{4})$
[/mm]
[mm] $V_g=2\pi(-\frac{2a^3}{4}+\frac{a^3}{4})$
[/mm]
[mm] $V_g=2\pi\cdot(-\frac{x^3}{4})$
[/mm]
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Hallo!
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> [mm]V_g=2\pi(\left[\frac{ax^2}{2}-\frac{ax^3}{4a}\right]_{0}^{a})[/mm]
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> [mm]V_g=2\pi(-\frac{a^3}{2}+\frac{a^3}{4})[/mm]
Es heißt "obere minus untere grenze", dann passt es.
Allerdings verstehe ich nicht, was du mit den unterschiedlichen Volumen willst. Da wird von oben nach unten entlang der y-Achse durchgebohrt, das Volumen danach ergibt sich, indem du die untere Integrationsgrenze entsprechend wählst.
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