W'dichte und verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 So 06.06.2010 | | Autor: | bestduo |
Hallo,
ich soll W'dichte und verteilungsfkt. von min(X,Y) bestimmen.
X,Y sind auf {1,...,m} unabhängig u. diskret gleichverteilt.
meine Verteilungsfkt. sieht so aus:
0 für x<1
1/m für [mm] 1\le [/mm] x < 2
2/m für [mm] 2\le [/mm] x < 3
usw bis
1 für m [mm] \le [/mm] x
wäre das richtig?
und meine Dichte:
1/m für x=1
1/m für x=2
usw bis
1/m für x=m
0 für x [mm] \not\in [/mm] Träger (Träger habe ich schon vorher bestimmt)
weiss nich ob ich das mit der Dichte richtig verstanden habe..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 So 06.06.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> ich soll W'dichte und verteilungsfkt. von min(X,Y)
> bestimmen.
> X,Y sind auf {1,...,m} unabhängig u. diskret
> gleichverteilt.
>
> meine Verteilungsfkt. sieht so aus:
> 0 für x<1
> 1/m für [mm]1\le[/mm] x < 2
> 2/m für [mm]2\le[/mm] x < 3
> usw bis
> 1 für m [mm]\le[/mm] x
>
> wäre das richtig?
>
> und meine Dichte:
>
> 1/m für x=1
> 1/m für x=2
> usw bis
> 1/m für x=m
> 0 für x [mm]\not\in[/mm] Träger (Träger habe ich schon vorher
> bestimmt)
>
> weiss nich ob ich das mit der Dichte richtig verstanden
> habe..
>
Hallo,
das ist ja alles ganz schön, geht aber am Kern der Aufgabe vorbei.
Nehmen wir mal an, du würfelst zweimal. Deine Zufallsgröße ist die kleinere der beiden dabei gewürfelten Zahlen.
Bei den 36 möglichen Wurfpaaren ist
- die 1 elfmal die kleineste
- die 2 neunmal die kleineste
- die 3 siebenmal die kleineste
...
..., die 6 ist nur einmal (im Wurf 6;6) das Minimum.
Diese Überlegung musst du aus dem konkreten Fall n=6 heraus verallgemeinern.
Gruß Abakus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:18 Di 08.06.2010 | | Autor: | bestduo |
ok vielen dank,
dies gilt aber nur für die Dichte oder? die Verteilungsfkt wäre doch so ok??
Grüße
bestduo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 10.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Di 08.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo,
> ich soll W'dichte und verteilungsfkt. von min(X,Y)
> bestimmen.
> X,Y sind auf {1,...,m} unabhängig u. diskret
> gleichverteilt.
>
> meine Verteilungsfkt. sieht so aus:
> 0 für x<1
> 1/m für [mm]1\le[/mm] x < 2
> 2/m für [mm]2\le[/mm] x < 3
> usw bis
> 1 für m [mm]\le[/mm] x
>
> wäre das richtig?
>
> und meine Dichte:
>
> 1/m für x=1
> 1/m für x=2
> usw bis
> 1/m für x=m
> 0 für x [mm]\not\in[/mm] Träger (Träger habe ich schon vorher
> bestimmt)
>
> weiss nich ob ich das mit der Dichte richtig verstanden
> habe..
>
Du hast also zwei ZVe X,Y: [mm] \Omega \to M:=\{1,2,...,m\}, [/mm] welche gleichverteilt und unabhängig sind, d.h. die gemeinsame Verteilungfunktion ist [mm] F_{X,Y}(s,t)=F_X(s)F_Y(t). [/mm] Es ist [mm] F_X(s)=\integral_\Omega 1_{\{X\le s\}}(\omega)dP(\omega)=\integral_{X(\Omega)} 1_{(-\infty, s]}(x))dP_X(x)=\integral_M 1_{(-\infty, s]}(x))\frac{1}{m}d\mu=1/m\summe_{x\in M}1_{(-\infty, s]}(x)
[/mm]
wobei mit [mm] \mu:A\subseteq M\mapsto\mu(A)=\operatorname{card}(A) [/mm] das Zählmaß auf M gemeint ist.
Wenn man [mm] \opratorname{min(a,b)} [/mm] mit [mm] a\wedge [/mm] b abkürzt ist für [mm] Z=X\wedge [/mm] Y
[mm]F_Z(u)=\integral_\Omega 1_{\{Z\le u\}}dP=\integral_\Omega 1_{\{X\wedge Y\le u\}}dP=\integral_\Omega 1_{(-\infty, u]}(X(\omega) \wedge Y(\omega))dP(\omega)[/mm]
[mm]=\integral_{X(\Omega)\times Y(\Omega)} 1_{(-\infty, u]}(x\wedge y)dP_{X,Y}(x,y)=\integral_{M^2}1_{(-\infty, u]}(x\wedge y)dF_X(x)dF_Y(y)[/mm]
oder wenn man mit [mm] \mu [/mm] wieder obiges Zählmaß bezeichnet:
[mm]=\frac{1}{m^2}\integral_{M^2}1_{(-\infty, u]}(x\wedge y)d\mu(x)d\mu(y)=\frac{1}{m^2}\summe_{x\in M}\summe_{y\in M}1_{(-\infty,u]}(x\wedge y)[/mm]
Diese Verteilungsfunktion ist differenzierbar auf [mm] \IR\backslash [/mm] M (mit einem Ableitungswert von null) und macht auf M Sprünge. Sie ist also jeweils konstant zwischen zwei benachbarten Zahlen aus M und vor der ersten und letzten Zahl aus M. Mit der Dichte ist die Sprunghöhe an den Stellen aus M gemeint, wenn man damit eine Dichte gegen das Zählmaß meint, denn eine Dichte gegen das Lebesguemaß gibt es nicht:
[mm] F_Z(i)-F_Z(i-)=F_Z(i)-F_Z(i-1), [/mm] i=1,2,...,m
[mm]F_Z(i)=\frac{1}{m^2}\summe_{x\in M}\summe_{y\in M}1_{(-\infty,i]}(x\wedge y)[/mm]
Nun ist [mm] 1_{(-\infty,i]}(x\wedge y)=1_{(-\infty,i]}(x)+1_{(-\infty,i]}(y)-1_{(-\infty,i]}(x)*1_{(-\infty,i]}(y)
[/mm]
Deswegen ist
[mm] F_Z(i)=\frac{1}{m^2}\summe_{x\in M}\summe_{y\in M}1_{(-\infty,i]}(x\wedge y)=\frac{2mi-i^2}{m^2}
[/mm]
Und
[mm] F_Z(i)-F_Z(i-)=\frac{2mi-i^2-(2m(i-1)-(i-1)^2)}{m^2}=\frac{2mi-i^2-2mi+2m+i^2-2i+1}{m^2}=\frac{2(m-i)+1}{m^2}
[/mm]
Ohne Gewähr, hab's nur runtergeschrieben und nicht nachgeprüft...
LG
gfm
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