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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Sa 21.03.2009 | | Autor: | athi |
| Aufgabe | In einer Stadt mit 40 000 Einwohnern breitet sich ein Gerücht exponentiell folgendermaßen aus: zum Zeitpunkt t0 ist das Gerücht 100 Personen bekannt und nach drei Tagen kennen schon 2000 Leute die große Neuigkeit.
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Berechne das Wachstumsgesetz!
ich erhalte:
Nx = 100 * [mm] e^{0,999*x}
[/mm]
= 100 * [mm] 2,714^x
[/mm]
stimmt mein Ergebnis?????
danke.
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Du hast die Anzahl bei [mm] t_0=100 [/mm] und Du hast die Anzahl bei [mm] x=t_3=2000, [/mm] dann müsste Deine Formel doch eigentlich lauten:
[mm] M(x)=100*e^{k*x} [/mm] und nach 3 Tagen heißt die Gleichung: [mm] 2000=100*e^{k*3} [/mm] jetzt musst Du nur noch den Wachstumsfaktor k berechnen (M=Anzahl der Wissenden)
Schorsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Sa 21.03.2009 | | Autor: | athi |
für k erhalte ich 0,999
die allg. Formel lautet: Nx = N0 * [mm] e^k*x [/mm] und Nx = [mm] a^x
[/mm]
schreibe ich dann die Lösung dann so an:
Nx = 100 * [mm] e^0,9999*x [/mm] und Nx= 100 * [mm] 2,714^x
[/mm]
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Es gibt tatsächlich 2 Formelarten. Beides sind Exponentialfunktionen...
Die eine hatte ich ja schon in einer meiner Antworten genannt: [mm] f(x)=a*b^x
[/mm]
a=Anfangsmenge bei [mm] t_0, [/mm] b=Wachstumskoeffizient(Basis), x=Exponent der Zeit
[mm] f(x)=100*\wurzel[3]{20}^x
[/mm]
zur Probe kannst Du ja mal x=3 und x=6 nehmen und mit dem Taschenrechner ausrechnen !
Die zweite Formel ist eine allgemeinere:
[mm] m(t))m_0*e^{-k*t}
[/mm]
[mm] m_0=die [/mm] Anfangsmasse, m(t)=Masse zum Zeitpunkt t, -k=Zerfalls- bzw. Wachstumsfaktor, t=Zeit (in diesem Fall in Tagen)
Die Formel für diesen Fall müsste dann so lauten:
[mm] m(t)=100*e^{\bruch{ln(20)}{3}*t}
[/mm]
wenn man t=3 einsetzt, kommt heraus:
[mm] m(3)=100*e^{ln(20)}=100*20=2.000 [/mm] !!!
Für t=6 kommt dann heraus:
[mm] m(6)=100*e^{2*ln(20)}=100*400=40.000 [/mm] also die ganze Stadt !!!
Der [mm] e^{2*ln(20)} [/mm] ist gleich [mm] 20^2 [/mm]
Hoffe, es Dir damit gut erklärt zu haben.
Schorsch
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Hallo Athi, ich glaube, Du lagst richtig...
Die allgemeine Exponentialfunktion lautet ja: [mm] f(x)=a*b^x. [/mm] Du hast f(x), a und x, also heißt die Gleichung: [mm] 2000=100*b^3
[/mm]
Das kannst Du umstellen und erhälst für [mm] b=\wurzel[3]{20}=2.7144...
[/mm]
d.h. Die Wachstumsgleichung für x-Tage lautet: [mm] f(x)=100*\wurzel[3]{20}^x
[/mm]
hoffe, dass dies jemand bestätigen kann, bin da auch nicht so firm...
Schorsch
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Habe nochmal nachgeblättert, hatte schonmal eine ähnliche Aufgabe:
Die allgemeine Formel für Wachstum bzw. Zerfall heißt:
[mm] m(x)=m_0*e^{-k*t}, [/mm] Du kannst aber auch Deine Schreibweise nehmen: [mm] N(x)=N_0*e^{k*x}
[/mm]
Du hast nach 3 Tagen N(3)=2000 und kannst die Gleichung so schreiben:
[mm] 2000=100*e^{k*3} [/mm] wenn Du diese Gleichung nach k auflösen willst, geht das so:
[mm] 2000=100*e^{3k} [/mm] | :100
[mm] 20=e^{3k} [/mm] | logarithmus naturalis ergibt
ln(20)=3k |:3 ergibt [mm] k=\bruch{ln(20}{3}=0.998577425...
[/mm]
Die allgemeine Formel für dieses Wachstum müsste dann lauten:
[mm] N(x)=100*e^{0.9985*x}
[/mm]
Was hälst Du davon ?
Kannst ja mal ausrechnen, in wievielen Tagen es die ganze Stadt weiß ! Dann musst Du nach x auflösen.
Schorsch
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