Wachstumsgleichung < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Do 05.01.2006 | | Autor: | Norman |
| Aufgabe | Zeigen Sie , dass jede Lösung der Wachstumsgleichung N'(t)=k*N(t) die Gestalt [mm] N(t)=c*e^{kt} [/mm] besitzt.
Strategie: Nehmen Sie an , dass N(t) eine beliebige Lösung der Wachstumsgleichung sei. Differenzieren Sie die Funktion zu [mm] f(t)=N(t)*e^{-kt}.
[/mm]
Welchen Schluss lässt das Resultat zu? |
Irgendwie versteh ich nich was die von mir wollen . Ich weis das ich etwas differenzieren soll , bloß was? Soll ich [mm] N(t)=c*e^{kt} [/mm] ableiten??
Das wäre dann [mm] c*k*e^{k*t}
[/mm]
oder muss ich [mm] f(t)=c*e^{k*t}*e^{-k*t} [/mm] ableiten?
Da kommt dann irgendwie 0 raus . Aber ich weis nich wie ich beweisen soll das da 0 rauskommt und was mir das sagt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Do 05.01.2006 | | Autor: | Lolli |
> Zeigen Sie , dass jede Lösung der Wachstumsgleichung
> N'(t)=k*N(t) die Gestalt [mm]N(t)=c*e^{kt}[/mm] besitzt.
> Strategie: Nehmen Sie an , dass N(t) eine beliebige Lösung
> der Wachstumsgleichung sei. Differenzieren Sie die Funktion
> zu [mm]f(t)=N(t)*e^{-kt}.[/mm]
> Welchen Schluss lässt das Resultat zu?
> Irgendwie versteh ich nich was die von mir wollen .
die Gleichung: N'(t) = k* N(t) formst du nach k um.
Dann kannst du die Stammfunktion bilden, denn es gilt ja [mm] \integral {\bruch{f'(x)}{f(x)}} [/mm] = ln |f(x)| . (beim Integrieren nciht den linearen Anteil vergessen --> es wäre hirbei ratsam eine fortlaufende Nummerierung zu benutzen - also [mm] c_{1}, c_{2} [/mm] usw.)
Um ln wegzukriegen wendest du dann e an, so dass dann |f(x)| = ...
Jetzt brauchst du nur noch die Betragsstriche auflösen. Dabei kommst du dann auf die allgemeine Form [mm]N(t)=c*e^{kt}[/mm].
Quintessenz des ganzen ist, dass du mit der gegebenen Differentialgleichung N'(t) = k* N(t) eine weitere Beschreibung für exponentielle Wacvhstums-/Zerfallprozesse gegeben hast.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Sa 01.12.2007 | | Autor: | inuma |
In wiefern wurde bei dieser Antwort die Gleichung
[mm] f(t)=N(t)*e^{-kt}
[/mm]
miteinbezogen.
ODer besser gefragt wie wurde hier die angesprochenden Strategie miteinbezogen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Sa 01.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Strategie der Aufgabe wurde nicht angewendet. sondern eine andere Strategie angewandt.
mit der Strategie:
gesucht eine Lösung der Dgl:
N'(t)=k*N(t) jetzt "rät" man eine Lösung, bzw. jemand anders behauptet er kenne eine nämlich [mm] N_v(t)=C*e^{kt}
[/mm]
Wenn man wissen will, ob das richtig ist, muss man es in die Gleichung einsetzen. da in der N'(t) vorkommt muss man das erst ausrechnen. also die vermutete Funktion ableiten [mm] N_v'=k*C*e^{kt}
[/mm]
jetzt dieses Versuchs N in die gegebene Dgl einsetzen un nachsehen, ob dann links und rechts das gleiche steht!
(stell dir vor, du kannst keine quadr. Gleichungen lösen.
jemand gibt dir [mm] x^2=3x-2 [/mm] und er behauptet x=2 ist ne Lösung. Was machst du? Du setzt ein. dazu musst du erst [mm] 2^2 [/mm] bilden links einsetzen dann 3k-2 bilden rechts einsetzen, wenn dann links und rechts dasselbe steht war die Vermutung richtig- genau so ist ds Verfahren hier!)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Sa 01.12.2007 | | Autor: | inuma |
Hallo,
wie wurde hier das
$ [mm] f(t)=N(t)\cdot{}e^{-kt} [/mm] $
benutz, weil ich hier nirgens ein [mm] e^{-kt} [/mm] sehe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo inuma!
Ich denke mal, dass es sich hierbei ganz oben um einen Tippfehler handelt, und es muss $N(t) \ = \ [mm] N_0*e^{k*t}$ [/mm] heißen (also ohne Minuszeichen im Exponenten).
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Sa 01.12.2007 | | Autor: | inuma |
Laut dem Buch ist es kein Tippfehler
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Sa 01.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hatte leider die Aufgabenstellung nicht gründlich gelesen.
Wenn man f'(t) bildet, sieht man, dass f'(t)=0 wenn N(T) die Differentialgleichung erfüllt.
d.h. f(t)=const, was dann wieder Auf die Lösung [mm] N(t)*e^{-kt}=const
[/mm]
und damit auf [mm] N(t)=Const*e^{kt} [/mm] als einzige Lösung der Dgl führt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 So 02.12.2007 | | Autor: | inuma |
Hallo
wie meist du den Teil:
Wenn man f'(t) bildet, sieht man, dass f'(t)=0 wenn N(T) die Differentialgleichung erfüllt.
Weil die Ableitung von
F(t) = [mm] N(t)*e^{-kt}
[/mm]
ist doch
f'(t)= [mm] N[t)*-k*e^{-kt}
[/mm]
wie kommst du da auf null?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 So 02.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst f(t) nach der Produktregel ableiten! N(t) ist doch keine Zahl!
Gruss leduart
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