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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Nataliee |
| Aufgabe | Bekanntlich besteht das menschliche Genom aus mehreren Milliarden Basen, die vier verschiedene Ausprägungen A (Adenin), T (Thymin), G (Guanin), C (Cytosin) besitzen können. Die moderne Biologie ist in der Lage, Teile der DNA zu lesen, die dann als Sequenzen der genannten Basen dargestellt werden:
. . . ATGGTAAGCCATTGC . . .
a) Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, Sequenzen der Länge n = 500 aus den 4 Basen zu bilden?
b) Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, genau k Positionen unter den Plätzen 1, . . . , 500 auszuwählen (die in einem Modell möglichen Positionen von Mutationen entsprechen)? Was erhalten Sie für k = 1 und k = 2?
c) Es sei bekannt, dass in einem festen Zeitraum der Evolution auf 1000 Basen im Mittel mit einer Mutation einer Base zu rechnen ist (p = 1
1000 ). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit [mm] p_k, [/mm] dass in einer beobachteten Sequenz der Länge n = 500 genau k Mutationen
vorkommen? Vergleichen Sie die Werte [mm] p_0, p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten, die sich mittels einer Poissonapproximation ergeben. |
Hallo,
muß schon so sagen Stochastik ist schon nicht ohne!
Kann mir jemand sagen mit welchen "Werkzeug" ich diese Aufgaben meistern kann und mir ein Einstieg dazu geben?
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Na, Ihr werdet doch einige Werkzeuge an die Hand bekommen haben. Die meisten Wahrscheinlichkeiten enthalten Potenzen und Fakultäten, viele lassen sich unter Zuhilfenahme von Binomialkoeffizienten geschickt darstellen.
Drei verschiedenfarbige Würfel werden geworfen. Wieviele unterschiedliche Ergebnisse sind möglich, wenn auch die Farbe Bedeutung hat? Antwort: [mm] 6^3.
[/mm]
Ein Verein mit 25 Mitglieder wählt einen dreiköpfigen, untereinander gleichberechtigten Vorstand. Wieviele mögliche Zusammensetzungen des Vorstands gibt es? Antwort: [mm] \vektor{25 \\ 3}.
[/mm]
Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn der Vorstand aus einem Vorsitzenden, einem Kassenwart und einem Schriftführer besteht? Antwort: 25*24*23.
Diese Beispiele reichen für die ersten beiden Aufgabenteile. Und vielleicht hast Du dann auch eine Idee, wie Du den dritten Teil angehen kannst.
Viel Erfolg!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 So 09.11.2008 | | Autor: | Nataliee |
| Aufgabe | Aufgabe
Bekanntlich besteht das menschliche Genom aus mehreren Milliarden Basen, die vier verschiedene Ausprägungen A (Adenin), T (Thymin), G (Guanin), C (Cytosin) besitzen können. Die moderne Biologie ist in der Lage, Teile der DNA zu lesen, die dann als Sequenzen der genannten Basen dargestellt werden:
. . . ATGGTAAGCCATTGC . . .
a) Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, Sequenzen der Länge n = 500 aus den 4 Basen zu bilden?
b) Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, genau k Positionen unter den Plätzen 1, . . . , 500 auszuwählen (die in einem Modell möglichen Positionen von Mutationen entsprechen)? Was erhalten Sie für k = 1 und k = 2?
c) Es sei bekannt, dass in einem festen Zeitraum der Evolution auf 1000 Basen im Mittel mit einer Mutation einer Base zu rechnen ist
(p = 1/1000 ). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $ [mm] p_k, [/mm] $ dass in einer beobachteten Sequenz der Länge n = 500 genau k Mutationen
vorkommen? Vergleichen Sie die Werte $ [mm] p_0, p_1 [/mm] $ und $ [mm] p_2 [/mm] $ mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten, die sich mittels einer Poissonapproximation ergeben. |
Hallo reverend,
danke zunähst das hat mir ein Einblick gegeben.
> Drei verschiedenfarbige Würfel werden geworfen. Wieviele
> unterschiedliche Ergebnisse sind möglich, wenn auch die
> Farbe Bedeutung hat? Antwort: [mm]6^3.[/mm]
a) Bei jeder Position gibt es 4 Möglichkeiten und somit
Sei A, Sequenzen der Länge n = 500 aus den 4 Basen zu bilden.
[mm] |A|=4^{500}
[/mm]
> Ein Verein mit 25 Mitglieder wählt einen dreiköpfigen,
> untereinander gleichberechtigten Vorstand. Wieviele
> mögliche Zusammensetzungen des Vorstands gibt es? Antwort:
> [mm]\vektor{25 \\ 3}.[/mm]
b)
Sei [mm] B_1 [/mm] genau enie Positionen unter den Plätzen 1, . . . , 500 auszuwählen.
Dann ist [mm] |B_1 [/mm] | = [mm]\vektor{500 \\ 1}.[/mm]
Sei [mm] B_2 [/mm] genau zwei Positionen unter den Plätzen 1, . . . , 500 auszuwählen.
Dann ist [mm] |B_2 [/mm] | = [mm]\vektor{500 \\ 2}.[/mm]
c)
Also wenn bei 1000 Basen mit einer Permutation zu rechnen ist dann gilt,
[mm] p_0 [/mm] =0
[mm] p_1 [/mm] =1/2
[mm] p_2 [/mm] =1/4
gruss Nataliee
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a)
Richtig.
Es sei denn, die Sequenz kann von vorn und hinten gelesen werden, dann ist die Lösung deutlich komplizierter. So verstehe ich die Aufgabe zwar nicht, aber wer weiß?
Dann müsstest Du noch bestimmen, wieviele Sequenzen Palindrome sind, also von vorn und hinten gelesen gleich. Antwort: [mm] 4^{250}.
[/mm]
Dann gäbe es insgesamt [mm] \bruch{1}{2}*(4^{500}-4^{250})+4^{250}=\bruch{1}{2}*(4^{500}+4^{250}) [/mm] verschiedene Sequenzen.
b) Auch richtig.
[mm] \vektor{500 \\ 1}=500
[/mm]
[mm] \vektor{500 \\ 2}=\bruch{500*499}{1*2}=124750
[/mm]
c) Das ist deutlich schwieriger zu lösen...
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau k Basen aus n mutieren, ist [mm] \vektor{n \\ k}*(\bruch{1}{1000})^k*(\bruch{999}{1000})^{n-k}=\vektor{n \\ k}*\bruch{999^{n-k}}{1000^n}
[/mm]
Versuch mal, diese Formel zu begründen. Wofür steht der Binomialkoeffizient? Wofür die Glieder [mm] \bruch{1}{1000}, [/mm] und wofür die [mm] \bruch{999}{1000}?
[/mm]
Im übrigen ist die Aufgabe nicht ganz sauber gestellt. Es liest sich ein bisschen so, als sei das angegebene p die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine Base aus 1000 mutiert. Dann müsste, unter Zuhilfenahme obiger Formelstruktur, die Mutationswahrscheinlichkeit m für jede beliebige einzelne Base die folgende Gleichung erfüllen:
[mm] \vektor{1000 \\ 1}*(m*(1-m)^{999})=1000*(m*(1-m)^{999})=p
[/mm]
Versuch mal, m abzuschätzen. Dabei hilft die Substitution m*=(1-m)
Das scheint nicht gemeint zu sein, aber es ist doch eine Formulierungsungenauigkeit.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:19 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Nataliee |
Morgen,
> c)
> ist [mm]\vektor{n \\ k}*(\bruch{1}{1000})^k*(\bruch{999}{1000})^{n-k}=\vektor{n \\ k}*\bruch{999^{n-k}}{1000^n}[/mm]
>
> Versuch mal, diese Formel zu begründen. Wofür steht der
> Binomialkoeffizient?
Ich wähle k Basen aus n,
>Wofür die Glieder [mm]\bruch{1}{1000},[/mm] und
*die Wahrscheinlichkeit pro k,
> wofür die [mm]\bruch{999}{1000}?[/mm]
* dei Wahrscheinlichkeit der restlichen n.
[mm] p_k [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k}*\bruch{999^{n-k}}{1000^n}
[/mm]
[mm] p_0 [/mm] = [mm] \vektor{500 \\ 0}*\bruch{999^{500}}{1000^{500}} [/mm] = [mm] \bruch{999^{500}}{1000^{500}}
[/mm]
[mm] p_1 [/mm] = [mm] \vektor{500 \\ 1}*\bruch{999^{499}}{1000^{500}} [/mm] = [mm] 500*\bruch{999^{499}}{1000^{500}}
[/mm]
[mm] p_2 [/mm] = [mm] \vektor{500 \\ 2}*\bruch{999^{498}}{1000^{500}} [/mm] = 124750 * [mm] \bruch{999^{498}}{1000^{500}}
[/mm]
Mir wird nicht ganz klar was mit der Poissonapproximation gemeint ist.
Kannst du das erklären bzw. an einem k zeigen?
Hab Poisson jetzt im Buch nachgeschlagen:
[mm] X\sim Po(\lambda)
[/mm]
P(X=k) = [mm] e^{-\lambda}*\bruch{\lambda^{k}}{k!}
[/mm]
k ist ja klar aber was mach ivh mit dem [mm] \lambda?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:34 Di 11.11.2008 | | Autor: | Nataliee |
Bin noch an einer Antwort interessiert.
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Schau zum Thema Poisson-Approximation mal ![[]](/images/popup.gif) hier nach. Das ist eine vergleichbare Aufgabe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Di 11.11.2008 | | Autor: | Nataliee |
Hi reverend,
damit müßte es klappen:
Mutation einer Base bei 1000 Basen [mm] \bruch{1}{1000}, [/mm] also
Mutation einer Base bei 500 Basen [mm] \bruch{0,5}{500}, [/mm] also
mit
$ [mm] X\sim Po(\lambda) [/mm] $
P(X=k) = $ [mm] e^{-\lambda}\cdot{}\bruch{\lambda^{k}}{k!} [/mm] $
und
[mm] \lamda= [/mm] n*p = [mm] 500*\bruch{0,5}{500}=\bruch{1}{2}
[/mm]
Poisson-Aptoximation :
$ [mm] p_k [/mm] $ = [mm] e^{-\lambda}\cdot{}\bruch{\lambda^{k}}{k!} [/mm]
$ [mm] p_0 [/mm] $ = [mm] e^{-\bruch{1}{2}}\cdot{}\bruch{\bruch{1}{2}^{0}}{0!}=e^{-\bruch{1}{2}}=0.606530659
[/mm]
$ [mm] p_1 [/mm] $ = [mm] e^{-\bruch{1}{2}}\cdot{}\bruch{\bruch{1}{2}^{1}}{1!}=\bruch{1}{2}*e^{-\bruch{1}{2}}=0.30265329
[/mm]
$ [mm] p_2 [/mm] $ = [mm] e^{-\bruch{1}{2}}\cdot{}\bruch{\bruch{1}{2}^{2}}{2!}=\bruch{1}{8}*e^\bruch{1}{2}=0.075816332
[/mm]
Im Vergleich
$ [mm] p_k [/mm] $ = $ [mm] \vektor{n \\ k}\cdot{}\bruch{999^{n-k}}{1000^n} [/mm] $
$ [mm] p_0 [/mm] $ = $ [mm] \vektor{500 \\ 0}\cdot{}\bruch{999^{500}}{1000^{500}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{999^{500}}{1000^{500}} [/mm] $
$ [mm] p_1 [/mm] $ = $ [mm] \vektor{500 \\ 1}\cdot{}\bruch{999^{499}}{1000^{500}} [/mm] $ = $ [mm] 500\cdot{}\bruch{999^{499}}{1000^{500}} [/mm] $
$ [mm] p_2 [/mm] $ = $ [mm] \vektor{500 \\ 2}\cdot{}\bruch{999^{498}}{1000^{500}} [/mm] $ = 124750 * $ [mm] \bruch{999^{498}}{1000^{500}} [/mm] $
Die Approximation ist wohl gelungen.
Danke für die Hilfe!
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