Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:22 Do 08.02.2007 | | Autor: | Melli1988 |
| Aufgabe | A) Betrachte die folgenden Ereignisse. Gib jeweils das Gegenereignis an.
1) Von 20 zufällig ausgesuchten Personen haben mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag.
2) Beim fünffachen Werfen eines Würfels wird mindestens einmaleine sechs geworfen.
B) Bei einer Produktionskontrolle wird ein bestimmter Fehler in 10% der Fälle übersehen. Deshalb wird das Produkt von drei verchiedenen Personen kontrolliert. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein unbrauchbares Produkt
1) spätestens bei der zweiten Kontrolle, 2) erst bei der dritte Kontrolle, 3) nicht als unbrauchbar erkannt wird.
... |
A) Ich habe irgendwie ein Problem mit der Aufgabenstellung. Bisher haben wir immer die Wahrscheinlichkeit errechnet. Wie ist das hier gemeint.. Die Aufgabe geht noch weiter, aber ich möchte die anderen selbst versuchen :).
B) Dazu habe ich einen Denkansatz, bin mir aber nicht sicher. Also die Wahrscheinlichkeit, dass ein fehlerhaftes Produkt übersehen wir liegt ja bei 10% also bei 10/100. Wenn nun die erste Person kontrolliert bleibt es dabei. Wenn die zweite Person kontrolliert müsste die Wahrscheinlichkeit eigentlich geringer werden. Ich weiß allerdings nicht ie sich das auf die zahlen äußert...
HILFE :)
Dankeschön
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 Do 08.02.2007 | | Autor: | Yuma |
Hallo Melli,
> A) Betrachte die folgenden Ereignisse. Gib jeweils das
> Gegenereignis an.
> 1) Von 20 zufällig ausgesuchten Personen haben mindestens
> zwei am gleichen Tag Geburtstag.
> 2) Beim fünffachen Werfen eines Würfels wird mindestens
> einmaleine sechs geworfen.
>
> A) Ich habe irgendwie ein Problem mit der
> Aufgabenstellung. Bisher haben wir immer die
> Wahrscheinlichkeit errechnet. Wie ist das hier gemeint..
> Die Aufgabe geht noch weiter, aber ich möchte die anderen
> selbst versuchen :).
Ereignis und Gegenereignis:
Wollen wir bei dem Beispiel von gestern abend bleiben? 
Sei $C$ das Ereignis "man würfelt eine Sechs", also [mm] $C=\{6\}$.
[/mm]
Dann ist das Gegenereignis (wie schreibt ihr das dann?) [mm] $\neg [/mm] C$ "man würfelt keine Sechs", also [mm] $\neg C=\{1,2,3,4,5\}$.
[/mm]
Wahrscheinlichkeiten:
Betrachte mal die Wahrscheinlichkeiten: [mm] $P(C)=\frac{1}{6}$ [/mm] und [mm] $P(\neg C)=\frac{5}{6}=1-P(C)$.
[/mm]
Dass [mm] $P(\neg [/mm] C)=1-P(C)$ ist, ist kein Zufall, sondern eine allgemeine Regel, die für alle Ereignisse $C$ gilt.
Warum macht man das überhaupt?
Es ist manchmal (die erste Aufgabe ist dafür ein gutes Beispiel!) viel einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses auszurechnen und dann einfach von Eins abzuziehen, als direkt die (eigentlich gesuchte) Wahrscheinlichkeit zu bestimmen.
Wie bestimmt man Gegenereignisse?
Nicht immer ist es so einfach wie in obigem Beispiel! Ein (etwas) schwierigeres Beispiel wäre das Gegenereignis zum Ereignis "Beim fünffachen Werfen eines Würfels wird mindestens einmal eine Sechs geworfen." In dem Fall verrate ich es dir mal, damit du siehst, wie der Hase läuft: Das Gegenereignis lautet: "Beim fünffachen Werfen eines Würfels wird keine Sechs geworfen."
Kriegst du die erste Aufgabe jetzt allein hin?
> B) Bei einer Produktionskontrolle wird ein bestimmter
> Fehler in 10% der Fälle übersehen. Deshalb wird das Produkt
> von drei verschiedenen Personen kontrolliert. Bestimme die
> Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein unbrauchbares Produkt
> 1) spätestens bei der zweiten Kontrolle, 2) erst bei der
> dritte Kontrolle, 3) nicht als unbrauchbar erkannt wird.
>
> B) Dazu habe ich einen Denkansatz, bin mir aber nicht
> sicher. Also die Wahrscheinlichkeit, dass ein fehlerhaftes
> Produkt übersehen wir liegt ja bei 10% also bei 10/100.
> Wenn nun die erste Person kontrolliert bleibt es dabei.
> Wenn die zweite Person kontrolliert müsste die
> Wahrscheinlichkeit eigentlich geringer werden. Ich weiß
> allerdings nicht ie sich das auf die zahlen äußert...
Beginne die Aufgabe von hinten! 
3) ergibt sich doch aus der Produktregel (nennt ihr das so?).
Kannst du die Wahrscheinlichkeit für 2) berechnen?
Die beiden ersten Kontrolleure versagen (Wahrscheinlichkeit dafür?), der dritte schließlich merkt es...
Versuch das mal und schreib uns dann, ob und wo du steckenbleibst, ok?
MFG,
Yuma
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| Aufgabe | Gib das Gegenereignis an:
1. Von 20 zufällig ausgewählten Personen haben mindestens zwei am gleichen Tag Gebrutstag.
2. Beim 5fachen Werfen eines Würfels wird mindestens einmal eine sechs geworfen.
3. Beim 10-fachen Werfen einer Münze tritt höchstens achtmal Wappen auf.
4. Beim 50fachen Werfen einer Münze tritt meihr als einmal 30-mal Zahl auf.
5. Beim 50fachen Werfen einer Münze tritt weniger als 20mal Wappen auf. |
Ok, dann versuche ich mich mal. Muss ich das denn nur wörtlich formulieren oder auch mit Zahlen?
Also bei 1. wäre es doch dann so, dass von diesen 20 ausgewählten Personen keine am gleichen Tag Geburtstag haben?
2. hattest du ja schon gesagt..
3. Beim 10fachen Werfen einer Münze tritt 9-mal Wappen auf?
.. und dann weiß ich es schon wieder nicht mehr. Schreibt man dann einfach mehr statt weniger und weniger statt mehr?
Irgendwie ganz schön kompliziert... Müsste ich das jetzt auch noch mit Zahlen machen. Wirklich komisch, dass ich vor Wahrscheinlichkeitsrechnung Angst hatte ;).
Und mit der Produktregel? Meinst du da die Pfadmultiplikationsregel? (Bei einem mehrstufigen Zufallsversuch ist die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses (eine Pfadesi m Baumdiagramm) gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm.) Dann seh ich aber auch nicht wirklich wie ich da anfangen muss.
Wir haben das Thema seit zwei Unterrichtsstunden und irgendwo hats bei mir noch nicht so richtig klick gemacht :(.
Dankeschön
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Do 08.02.2007 | | Autor: | Yuma |
Hallo Melli,
> Gib das Gegenereignis an:
> 1. Von 20 zufällig ausgewählten Personen haben mindestens
> zwei am gleichen Tag Gebrutstag.
> Also bei 1. wäre es doch dann so, dass von diesen 20
> ausgewählten Personen keine am gleichen Tag Geburtstag
> haben?
Genau ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , oder anders formuliert: Alle 20 Personen haben an unterschiedlichen Tagen Geburtstag.
> 3. Beim 10-fachen Werfen einer Münze tritt höchstens
> achtmal Wappen auf.
> 3. Beim 10fachen Werfen einer Münze tritt 9-mal Wappen
> auf?
Vorsicht! Es kann 9- oder 10-mal Wappen auftreten!
Du könntest auch sagen: Es tritt mindestens 9-mal Wappen auf.
> 4. Beim 50fachen Werfen einer Münze tritt meihr als einmal
> 30-mal Zahl auf.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Hier hast du wohl falsch abgeschrieben... mehr als einmal oder mehr als 30-mal?
> 5. Beim 50fachen Werfen einer Münze tritt weniger als
> 20mal Wappen auf.
Es muss halt mehr als 20-mal oder genau 20-mal Wappen auftreten!
> Ok, dann versuche ich mich mal. Muss ich das denn nur
> wörtlich formulieren oder auch mit Zahlen?
Nur wörtlich! Um es knüppelhart mathematisch auszudrücken, bräuchtest du noch Zufallsvariablen... aber das hattet ihr bestimmt noch nicht!
> .. und dann weiß ich es schon wieder nicht mehr. Schreibt
> man dann einfach mehr statt weniger und weniger statt
> mehr?
Im Prinzip schon, aber du musst aufpassen: Das Gegenereignis zu "weniger als 5" ist nicht "mehr als 5", sondern "5 oder mehr als 5".
> Irgendwie ganz schön kompliziert... Müsste ich das jetzt
> auch noch mit Zahlen machen. Wirklich komisch, dass ich vor
> Wahrscheinlichkeitsrechnung Angst hatte ;).
Wie gesagt, nur mit Worten!
Und Angst brauchst du vor der Stochastik wirklich nicht zu haben...
> Und mit der Produktregel? Meinst du da die
> Pfadmultiplikationsregel?
Ja genau, ich wusste nicht genau, wie ihr das nennt!
Wir fangen mal mit 3) an:
Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Kontrolleur versagt, ist 10%.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Kontrolleur versagt, ist 10%.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der dritte Kontrolleur versagt, ist 10%.
Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie alle drei versagen: [mm] $0,1\cdot 0,1\cdot [/mm] 0,1$ (Pfadmultiplikationsregel!)
Wie wäre es bei 2)?
Was muss passieren, damit ein defektes Teil erst vom dritten Kontrolleur entdeckt wird?
Naja, der erste muss versagen, der zweite muss versagen und der dritte muss es entdecken. Was sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten dafür? Dann wieder die Pfadmultiplikationsregel anwenden!
Versuch mal, ob du nun weiterkommst.
Ansonsten meld' dich nochmal, ok?
MFG,
Yuma
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Super! Die erste Aufgabe ist klar. Dankeschön :).
Zur zweiten.
Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei versagen ergibt somit 0,1%.
Wenn der dritte den Fehler entdecken soll muss ich doch 10/100*10/100*90/100 rechnen?! Das ergibt 9/1000 also doch etwa 0,9%.
Und wenn der zweite den Fehler entdecken soll muss ich 10/100*90/100*90/100 rechnen. Das ergibt 81/1000, also etwa 8,1%.
Ist das so korrekt? Oder hab ich wieder irgendwie nen Fehler reingebaut?
Dankeschöön :) Das ist echt super lieb
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Do 08.02.2007 | | Autor: | Yuma |
Hallo Melli,
> Super! Die erste Aufgabe ist klar. Dankeschön :).
Gern geschehen!
> Zur zweiten.
> Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei versagen ergibt
> somit 0,1%.
Genau!
> Wenn der dritte den Fehler entdecken soll muss ich doch
> 10/100*10/100*90/100 rechnen?! Das ergibt 9/1000 also doch
> etwa 0,9%.
Genauer müsst man sagen, dass erst der dritte Kontrolleur den Fehler entdecken soll. Das Ergebnis stimmt!
> Und wenn der zweite den Fehler entdecken soll muss ich
> 10/100*90/100*90/100 rechnen. Das ergibt 81/1000, also etwa
> 8,1%.
Nein, es geht darum, dass spätestens bei der zweiten Kontrolle der Fehler entdeckt wird!! D.h. dieser Fall tritt auch ein, wenn z.B. schon der erste Kontrolleur den Fehler findet.
Du musst hier die Wahrscheinlichkeiten addieren, nämlich dafür, dass 1. der erste Kontrolleur den Fehler entdeckt, und 2. der erste Kontrolleur ihn nicht entdeckt und der zweite ihn entdeckt.
Kriegst du das hin?
MFG,
Yuma
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Dann müsste ich doch 90/100+10/100*90/100 rechnen? Also wäre das Ergebnis wohl 99%.
Ist das richtig? Wär ja ganz schön wahrscheinlich :P..
Dankeschöön!
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