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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Mi 29.10.2008 | | Autor: | xxxx |
| Aufgabe | Es seien (Ω, F, P) ein Wahscheinlichkeitsraum, I ≠ [mm] \emptyset [/mm] eine abzählbare Indexmenge und [mm] A_{i} \in [/mm] F fuer alle i [mm] \in [/mm] I.
Man zeige:
fuer alle j [mm] \in [/mm] I gilt [mm] P(A_{j}) [/mm] = 1 [mm] \gdw P(\bigcap_{i \in I}^{} A_{i}) [/mm] = 1 |
Um ganz ehrlich zu sein, habe ich keine Ahnung wie ich hier anfangen soll.
Denn eigentlich bedeutet dies ja nur, dass die Wahrscheinlichkeiten von allen [mm] A_i [/mm] immer 1 sein muss, aber wie kann ich das zeigen... irgendwie blick ich da nicht so ganz durch, wäre echt super nett, wenn mir jemand einen kleinen Tipp geben könnte...
lg xxxx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Do 30.10.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin xxx,
[mm] "$\Leftarrow$": [/mm] Wegen [mm] $\bigcap_{i \in I}^{} A_{i}\subset A_j$ [/mm] folgt [mm] $1=P(\bigcap_{i \in I}^{} A_{i})\le P(A_j)\le [/mm] 1$.
[mm] "$\Rightarrow$": [/mm] Ich meine, man schafft das mit der
![[]](/images/popup.gif) Bonferroni-Ungleichung. Hab's etwas eilig ...
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 Fr 31.10.2008 | | Autor: | xxxx |
hey,
danke schön, ich denke das macht Sinn... glaube auf jedenfall das ich das verstanden habe... ^^
vielen lieben Dank
xxxx
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Damn88 |
Hey,
ich hänge gerade vor der selben Aufgabe und komm noch nicht ganz klar..
Die Rückrichtung versteh ich ja schon mal ;) Vielen Dank :)
So Vorraussetzungen für [mm] "\Rightarrow" [/mm] sind nun:
[mm] \forall [/mm] j [mm] \in [/mm] I: [mm] P(A_j) [/mm] =1
[mm] \forall [/mm] j [mm] \in [/mm] I: [mm] \bigcap_{i\in I}A_i \subset A_j
[/mm]
[mm] \forall [/mm] j [mm] \in [/mm] I: [mm] A_j \subset \bigcup_{i \in I}A_i
[/mm]
=> [mm] \forall [/mm] j [mm] \in [/mm] I: 1= [mm] P[A_j] \le P[\bigcup_{i \in I}A_i] \le [/mm] 1
=> [mm] P[\bigcup_{i \in I}A_i] [/mm] = 1
So.. ich will aber ja beweisen, dass gilt: [mm] P[\bigcap_{i \in I}A_i] [/mm] = 1
Wir hatten in der Vorlesung die Formel:
P[A [mm] \cap [/mm] B] = P[A]+P[B] - P[A [mm] \cup [/mm] B]
Gilt diese Formel denn auch allgemein?
Also:
[mm] P[\bigcap_{i \in I}A_i] [/mm] = [mm] \summe_{i\in I} P[A_i] [/mm] - [mm] P[\bigcup_{i \in I}A_i] [/mm] ??
Dann würde hier doch gelten:
[mm] P[\bigcap_{i \in I}A_i] [/mm] = [mm] \summe_{i\in I} P[A_i] [/mm] - [mm] P[\bigcup_{i \in I}A_i] [/mm]
= [mm] \summe_{i\in I} [/mm] 1 - 1
was jedoch nicht eins wäre.. :(
Kann mir vielleicht jemand helfen?
Die Bonferroni-Ungleichung sagt mir leider nichts!
Vielen Dank!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Sa 01.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Damn88,
die Behauptung ist aequivalent mit [mm] $P(\bigcup_{i \in I}\overline{A}_{i})=0$.
[/mm]
Setze [mm] $B_1:=\overline{A}_{i_1}$, $B_2:=\overline{A}_{i_2}\setminus \overline{A}_{i_1}$,$B_3:=\overline{A}_{i_3}\setminus (\overline{A}_{i_1}\cup \overline{A}_{i_2})$,\dots,$B_{n+1}:=\overline{A}_{i_{n+1}}\setminus (\overline{A}_{i_1}\cup\dots\cup \overline{A}_{i_n})$, \dots
[/mm]
Es gilt [mm] $P(B_k)=0$ [/mm] wegen [mm] 0\le P(B_k)\le P(\overline{A}_k)=0$. [/mm] Ferner sind die
Ereignisse [mm] $B_1,B_2,B_3,\dots$ [/mm] disjunkt. Nach den Kolmogorowschen Axiomen folgt
[mm] $P(\bigcup_{i \in I}\overline{A}_{i})=P\bigcup_{i=1}^\infty B_{i})=\sum_{i=1}^\infty P(B_i)=0$
[/mm]
vg Luis
PS: Ich sehe, dass du anscheinend Mathe studierst. Wie lange hast du dich mit der Aufgabe beschaeftigst? Mein Rat: Du musst dich in solche Aufgaben etwas mehr hineinknien... Es ist ein suesses Gift, sich die Aufgaben im MR vorrechnen zu lassen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Sa 01.11.2008 | | Autor: | SpoOny |
Hallo luis,
Danke erstmal, dass du dir Zeit nimmst hier zu antworten.
ich stelle auch hin und wieder fragen im MR, allerdings mag ich lieber Tips, als es mir vorrechnen zu lassen. Es liegt ja auch immer an dem, der Fragen beantwortet, wie weit einem "geholfen" wird.
Ich sitze auch an der Aufgabe.
Mit deiner Antwort kann ich leider nicht viel anfangen.
ich will es auch über P(A [mm] \cap [/mm] B)=P(A) + P(B) - P(A [mm] \cup [/mm] B) machen.
Geht das denn nicht?
dachte mir mir für i [mm] \in [/mm] I mit Induktion nach I
|I|=2
[mm] P(A_{1} \cap A_{2})=\overbrace{P(A_{1})}^{=1 ,n. Vor.} [/mm] + [mm] \overbrace{P(A_{2})}^{=1 ,n. Vor.}- \overbrace{P(A_{1} \cup A_{2})}^{=1 (siehe Damn)}
[/mm]
[mm] P(A_{1} \cap A_{2})=1+1 [/mm] - 1
[mm] P(A_{1} \cap A_{2})=1
[/mm]
dann |I|= n+1
[mm] P(A_{1} \cap [/mm] ... [mm] \cap A_{n+1})= [/mm]
hier weiß ich nicht, wie ich es mathematisch korrekt aufschreibe....
bzw. Induktionsvorausetzung einbringe.
[mm] P(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i} \cap A_{n+1})=P(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}) +P(A_{n+1}) [/mm] - [mm] P(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i} \cup A_{n+1})
[/mm]
[mm] P(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i} \cap A_{n+1})= [/mm] 1 + 1 - 1
Kann man das so machen??
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Sa 01.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Du hast Folgendes bewiesen: Ist [mm] $I=\{i_1,\dots,i_n\}$ [/mm] eine Indexmenge
mit [mm] $n\in\IN$ [/mm] Elementen und ist [mm] $\{A_{i_1},\dots,A_{i_n}\}$ [/mm] eine Menge von
Ereignissen mit [mm] $1=P(A_{i_1})=\dots=P(A_{i_n})$, [/mm] so gilt [mm] $P(\bigcap_{k=1}^{n}A_{i_j})=1$.
[/mm]
Die urspruengliche Behauptung ist aber allgemeiner, denn sie bezieht sich
auch auf unendliche Indexmengen I.
vg Luis
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