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| Aufgabe | Ein Verein plant eine Wohltätigkeitsveranstaltung in einem Saal, der 1000 Personen fasst. Jeder Teilnehmer der Veranstaltung erhält für seinen Eintrittspreis 10 Lose. Die insgesamt 10000 Lose sind von 0000 bis 9999 durchnummeriert.
a. Die Veranstalter haben insgesamt 500 Preise ausgesetzt. Zwei alternative Ziehungsver-fahren für die Gewinnnummern stehen zur Auswahl:
a.1 Die Gewinnnummern werden mit Hilfe eines Glücksrades ermittelt. (Folglich kann jede Losnummer mehrmals gewinnen.)
Berechnen Sie für dieses Verfahren die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Teilnehmer der Veranstaltung erwarten darf, wenigstens einen Preis zu gewinnen.
a.2 Die Gewinnnummern werden aus einer Lostrommel ohne Zurücklegen gezogen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Teilnehmer der Veranstaltung bei diesem Verfahren wenigstens einen Preis gewinnt, beträgt ca. 40%. Geben Sie den passenden Term an, der zu diesem Ergebnis führt, begründen Sie Ihren Ansatz und berechnen Sie den genauen Wert. |
Hallo,
ich habe versucht diese Aufgabe zu lösen. Es ist eine alte Abituraufgabe und da ich auch in einer Woche Prüfungen habe, habe ich versucht Prüfungsaufgaben zu lösen. Allerdings weiß ich bei dieser Aufgabe nicht wie man auf die Lösung kommen soll.
DIe Lösung lautet:
a1
Ereignis E: Person gewinnt mind. einen Preis
Gegenereignis E: Person gewinnt keinen Preis
Wahrscheinlichkeit, bei einer Drehung einen Preis zu gewinnen:
Berechnung mit Pfadregeln (Baumdiagramm)
P(E) = 1 – 0,999^500 ≈ 0,3936
p= 10/10000 = 0,001
Was davon ist denn jetzt das Ergebnis? Die 0,001 oder die 0,3936? Könnte mir jemand erklären wo die diese Rechnung hernehmen? Wo kommen die 0,999 her?
Es wäre nett, wenn mir jemand ausführlich erklären würde wie das geht. Ich dachte man müsse ganz normal die Formel für geordnete Stichprobe mit zurücklegen nehmen, aber dann kommt auf meinem Taschenrechner immer Error, da scheinbar die Zahl zu groß ist.
Liebe Grüße
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Hi, BlackSalad,
> Ein Verein plant eine Wohltätigkeitsveranstaltung in einem
> Saal, der 1000 Personen fasst. Jeder Teilnehmer der
> Veranstaltung erhält für seinen Eintrittspreis 10 Lose.
> Die insgesamt 10000 Lose sind von 0000 bis 9999
> durchnummeriert.
> a. Die Veranstalter haben insgesamt 500 Preise ausgesetzt.
> Zwei alternative Ziehungsver-fahren für die Gewinnnummern
> stehen zur Auswahl:
> a.1 Die Gewinnnummern werden mit Hilfe eines Glücksrades
> ermittelt. (Folglich kann jede Losnummer mehrmals
> gewinnen.)
> Berechnen Sie für dieses Verfahren die
> Wahrscheinlichkeit, mit der ein Teilnehmer der
> Veranstaltung erwarten darf, wenigstens einen Preis zu
> gewinnen.
> a.2 Die Gewinnnummern werden aus einer Lostrommel ohne
> Zurücklegen gezogen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
> ein Teilnehmer der Veranstaltung bei diesem Verfahren
> wenigstens einen Preis gewinnt, beträgt ca. 40%. Geben Sie
> den passenden Term an, der zu diesem Ergebnis führt,
> begründen Sie Ihren Ansatz und berechnen Sie den genauen
> Wert.
> DIe Lösung lautet:
>
> a1
>
> Ereignis E: Person gewinnt mind. einen Preis
> Gegenereignis E: Person gewinnt keinen Preis
> Wahrscheinlichkeit, bei einer Drehung einen Preis zu
> gewinnen:
> Berechnung mit Pfadregeln (Baumdiagramm)
> P(E) = 1 – 0,999^500 ≈ 0,3936
>
> p= 10/10000 = 0,001
>
>
>
> Was davon ist denn jetzt das Ergebnis? Die 0,001 oder die 0,3936?
Letzteres!
Es handelt sich bei dieser Aufgabe ja um eine Bernoulli-Kette (Binomialverteilung).
Hierzu benötigt man die Kettenlänge n und die Trefferwahrscheinlichkeit p.
Da jeder Teilnehmer 10 Lose hat und insgesamt 10000 Lose vorhanden sind,
hat jeder Teilnehmer pro Ziehung eine Chance von 10 : 10000 = 0,001
für einen Gewinn - demnach natürlich 0,999 für eine "Niete".
Da insgesamt 500 mal gezogen wird, beträgt die Kettenlänge n=500.
Es liegt also eine B(500; 0,001)- verteilte Zufallsgröße vor.
Bei Frage a geht es ja nun um "mindestens einen" Gewinn.
Direkt berechnet hieße das: 1 Gewinn oder 2 Gewinne oder 3 Gewinne oder ...
Das kann man kaum so durchführen!
Daher nimmt man in einem solchen Fall zunächst das Gegenereignis her:
Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommt der Teilnehmer bei 500maligem Ziehen
KEINEN einzigen Gewinn?
Naja: P(kein Gewinn) = [mm] \vektor{500 \\ 0}*0,001^{0}*0,999^{500} [/mm] = [mm] 0,999^{500} [/mm] = 0,6064.
Demnach erhält er mit einer Wahrsch. von 1 - 0,6064 = 0,3936
mindestens einen Gewinn.
mfG!
Zwerglein
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