Wahrscheinlichkeitsraum < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Mo 01.10.2012 | | Autor: | aaaa1 |
Hallo,
kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen?
Welche der folgenden Aussagen ist für jeden Wahrscheinlichkeitsraum (Omega, [mm] \mathcal{A},P) [/mm] und für beliebige Ereignisse A,B [mm] \in \mathcal{A} [/mm] mit P(A)=P(B)=0.6 richtig?
Mein Ansatz:
P(A [mm] \cap [/mm] B) = P(A) + P(B) - P(A [mm] \cup [/mm] B) = 0.6+0.6-P(A [mm] \cup [/mm] B)
so und wie komme ich jetzt von diesem Ausdruck darauf, dass
P(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \ge [/mm] 0.2 die richtige Lsg ist ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 Mo 01.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen?
>
> Welche der folgenden Aussagen ist für jeden
> Wahrscheinlichkeitsraum (Omega, [mm]\mathcal{A},P)[/mm] und für
> beliebige Ereignisse A,B [mm]\in \mathcal{A}[/mm] mit P(A)=P(B)=0.6
> richtig?
>
> Mein Ansatz:
>
> P(A [mm]\cap[/mm] B) = P(A) + P(B) - P(A [mm]\cup[/mm] B) = 0.6+0.6-P(A [mm]\cup[/mm]
> B)
>
> so und wie komme ich jetzt von diesem Ausdruck darauf, dass
>
> P(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\ge[/mm] 0.2 die richtige Lsg ist ?
>
Aus
P(A $ [mm] \cap [/mm] $ B) = P(A) + P(B) - P(A $ [mm] \cup [/mm] $ B) = 0.6+0.6-P(A $ [mm] \cup [/mm] $ B)
folgt
P(A $ [mm] \cup [/mm] $ B) =1,2- P(A $ [mm] \cap [/mm] $ B).
Wegen P(A $ [mm] \cup [/mm] $ B) [mm] \le [/mm] 1 ist also
1,2- P(A $ [mm] \cap [/mm] $ B) [mm] \le [/mm] 1.
Siehst Du es nun ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Mo 01.10.2012 | | Autor: | aaaa1 |
P(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \le [/mm] 1 , ist das ne allgemeine Regel , die ich mir so merken kann? Diese Aufgabe habe ich jetzt verstanden vielen Dank!
Eine ähnliche Aufgabe:
Welcher der folgenden Aussagen ist für jeden Wahrscheinlichkeitsraum (Omega,P) und für die beliebige Ereignisse A,B [mm] \subset [/mm] Omega mit P(A)=0.3 und P(B)=0.6 richtig?
Antwort: [mm] P(B\A) \ge [/mm] 0.3
Wie müsste ich hier rangehen? :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Mo 01.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> P(A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\le[/mm] 1 , ist das ne allgemeine Regel , die
> ich mir so merken kann?
Das musst Du Dir merken !!! Das ist doch das erste, was man lernt: ein Wahrscheinlichkeitsmaß nimmt nur Werte zwischen 0 und 1 an !
> Diese Aufgabe habe ich jetzt
> verstanden vielen Dank!
>
>
> Eine ähnliche Aufgabe:
>
> Welcher der folgenden Aussagen ist für jeden
> Wahrscheinlichkeitsraum (Omega,P) und für die beliebige
> Ereignisse A,B [mm]\subset[/mm] Omega mit P(A)=0.3 und P(B)=0.6
> richtig?
>
> Antwort: [mm]P(B\A) \ge[/mm] 0.3
>
> Wie müsste ich hier rangehen? :/
Im Quelltext sehe ich, dass es lautet: [mm]P(B \setminus A) \ge[/mm] 0.3
Ist [mm] A^c [/mm] das Komplement von A, so gilt:
$B [mm] \setminus [/mm] A= B [mm] \cap A^c.$
[/mm]
Versuchs damit genauso zu machen, wie in der ersten Aufgabe.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Mo 01.10.2012 | | Autor: | aaaa1 |
P(B [mm] \cap [/mm] A) = P(B) + P(A) - P(B [mm] \cup [/mm] A) ,so ?
Ich versteh nicht wie ich an diese Aufgaben rangehen muss, wenn ich keine Lösung hätte , könntest du mir das noch einmal allg. erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Mo 01.10.2012 | | Autor: | fred97 |
>
> P(B [mm]\cap[/mm] A) = P(B) + P(A) - P(B [mm]\cup[/mm] A) ,so ?
>
> Ich versteh nicht wie ich an diese Aufgaben rangehen muss,
> wenn ich keine Lösung hätte , könntest du mir das noch
> einmal allg. erklären?
äähhmm.... Da kommich nicht mit ..
Ich kann mich nur wiederholen:
Aus
P(A $ [mm] \cap [/mm] $ B) = P(A) + P(B) - P(A $ [mm] \cup [/mm] $ B) = 0.6+0.6-P(A $ [mm] \cup [/mm] $ B)
folgt
P(A $ [mm] \cup [/mm] $ B) =1,2- P(A $ [mm] \cap [/mm] $ B).
Wegen P(A $ [mm] \cup [/mm] $ B) $ [mm] \le [/mm] $ 1 ist also
1,2- P(A $ [mm] \cap [/mm] $ B) $ [mm] \le [/mm] $ 1.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Mo 01.10.2012 | | Autor: | aaaa1 |
Hm, okay dann hier die gleiche Aufgabe mit anderen Zahlen:
P(A)=P(B)=0.3
Rechnung: P(A)+P(B)-P(A [mm] \cap [/mm] B) = 0.6 - P(A [mm] \cap [/mm] B)
jetzt würde ja wieder P(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \le [/mm] 1 folgen:
P(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \ge [/mm] 0.4
aber die richtige Lösung lautet: P(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \le [/mm] 0.6
warum klappt das hier nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Mo 01.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hm, okay dann hier die gleiche Aufgabe mit anderen Zahlen:
>
> P(A)=P(B)=0.3
>
> Rechnung: P(A)+P(B)-P(A [mm]\cap[/mm] B) = 0.6 - P(A [mm]\cap[/mm] B)
>
> jetzt würde ja wieder P(A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\le[/mm] 1 folgen:
>
> P(A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\ge[/mm] 0.4
>
> aber die richtige Lösung lautet: P(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\le[/mm] 0.6
> warum klappt das hier nicht?
Nicht jede Aufgabe kann mit dem gleichen DSchema F gelöst werden.
P(A [mm]\cap[/mm] B)=P(A)+P(B)-P(A [mm]\cup[/mm] B) [mm] \le [/mm] P(A)+P(B)=0,6
(diesmal, weil P(A [mm]\cup[/mm] B) [mm] \ge [/mm] 0)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Mo 01.10.2012 | | Autor: | aaaa1 |
Ich werde es glaube ich nie verstehen, dennoch Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mo 01.10.2012 | | Autor: | aaaa1 |
Ich hasse es eine Aufgabe nicht verstehen zu können, aber ich glaube jetzt habe ichs:
Du hattest ja geschrieben:
P(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \ge [/mm] 0 , daraus folgt:
0.6 - P(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \ge [/mm] 0
P(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \le [/mm] 0.6
und genau da sollte ich hin, stimmt jetzt so, oder??
Und bei dieser Aufgabe, wo P(A)=P(B)=0.2 gilt:
0.4 - P(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \ge [/mm] 0
P(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \le [/mm] 0.4
(jedoch gibt es hier keine Antwortmöglichkeit mit meiner Lsg, also müsste das falsch sein-.-)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Di 02.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
einfach nochmal kurz (den Rest überlasse ich Fred):
> Ich hasse es eine Aufgabe nicht verstehen zu können, aber
Fred hat's schonmal gesagt:
Ist [mm] $(\Omega,\mathcal{A},P)$ [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum, so gilt
insbesondere, dass [mm] $P\,$ [/mm] eine Abbildung $P: [mm] \mathcal{A} \to [/mm] [0,1]$
ist. Das heißt
$$0 [mm] \le [/mm] P(E) [mm] \le [/mm] 1 [mm] \text{ für alle }E \in \mathcal{A}\,.$$
[/mm]
Soweit ich mich erinnere, hat Fred bisher nur daran erinnern müssen.
Natürlich solltest Du auch wissen, dass $A,B [mm] \in \mathcal{A} \Rightarrow [/mm] A [mm] \cap [/mm] B, A [mm] \setminus [/mm] B=A [mm] \cap B^c, [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \in \mathcal{A}$ [/mm] etc. pp..
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Di 02.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
doch noch kurz:
> Ich hasse es eine Aufgabe nicht verstehen zu können, aber
> ich glaube jetzt habe ichs:
es war [mm] $P(A)=P(B)=0.3\,.$
[/mm]
> Du hattest ja geschrieben:
>
> P(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\ge[/mm] 0 , daraus folgt:
>
> 0.6 - P(A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\ge[/mm] 0
>
> P(A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\le[/mm] 0.6
>
> und genau da sollte ich hin, stimmt jetzt so, oder??
na, ich rechne es mal ein wenig ausführlicher vor:
Es muss sowohl $0 [mm] \le [/mm] P(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \le [/mm] 1$ als auch $0 [mm] \le [/mm] P(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \le [/mm] 1$
gelten. In übertriebener Weise schreiben wir mal alles auf, was daraus
folgt, aber zuvor schreiben wir etwas, dass wir wissen:
Wissen: Es gilt
$$P(A [mm] \cup [/mm] B)+P(A [mm] \cap B)=P(A)+P(B)\,.$$
[/mm]
Rechterhand wissen wir, dass [mm] $P(A)+P(B)=0.6\,$ [/mm] ergibt. Deswegen muss
gelten:
$$P(A [mm] \cup [/mm] B)+P(A [mm] \cap B)=0.6\,.$$
[/mm]
Setze $x:=P(A [mm] \cap [/mm] B)$ und $y:=P(A [mm] \cup B)\,.$ [/mm] Es gilt also
$$x+y=0.6$$
Weil [mm] $P\,$ [/mm] ein W'Maß sein soll, folgt $0 [mm] \le x,y\,.$ [/mm] Daraus folgt $y [mm] \le [/mm] 0.6$
und $x [mm] \le 0.6\,.$ [/mm] Man kann also eigentlich beides fordern:
Es ist egal, ob man $0 [mm] \le [/mm] x=P(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \le [/mm] 0.6$ oder $0 [mm] \le [/mm] y=P(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \le [/mm] 0.6$
fordert, sofern man immer $0 [mm] \le [/mm] x,y$ fordert.
Kurzgesagt: Ist $s:=x+y$ mit $0 [mm] \le [/mm] x:=P(A [mm] \cap [/mm] B)$ und $0 [mm] \le [/mm] y:=P(A [mm] \cup [/mm] B)$ und
ist $0 [mm] \le [/mm] s [mm] \le 1\,,$ [/mm] so fordert man eine der beiden Bedingungen
$$x [mm] \le [/mm] s [mm] \text{ oder }y \le s\,.$$
[/mm]
Analog erhältst Du für $s > [mm] 1\,,$ [/mm] dass
$$x [mm] \ge [/mm] s-1$$
oder
$$y [mm] \ge [/mm] s-1$$
sinnige Forderungen sind. Und klar ist, dass durch jeweils eine dieser Forderungen schon automatisch $x,y > 0$ erfüllt sein muss!
P.S.
Irgendwie habe ich allerdings das Gefühl, dass ich hier etwas nicht bedacht
oder übersehen habe. Vielleicht ist das tatsächlich so, und jmd., der/die
das hier liest und sieht, was ich übersehen oder nicht bedacht habe, kann
mich nochmal drauf hinweisen. Ich denke an sowas wie das Wissen, dass man bei W'Maßen auch hat
$$0 [mm] \le [/mm] P(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \le P(A),\,P(B) \le [/mm] P(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \le 1\,.$$
[/mm]
Vielleicht braucht man davon aber doch auch nur das oben erwähnte...
Gruß,
Marcel
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