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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 Di 27.12.2005 | | Autor: | Bina02 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit f(x) =0 für x<3 und f(x) = 2e^-2(x-3) für
x [mm] \ge [/mm] 3
a) Zeigen sie, dass f eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist.
b) Bestimmen sie F (x), E(X) und [mm] D^2(X)
[/mm]
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Hallo noch einmal ihr Lieben! :)
Also DIESE Aufgabe ist wirklich ein harter Brocken für mich an dem ich schon seid über einer Woche sitze und nicht weiter komme.
Für a) weiß ich ja die Bedingungen die eine Wahrscheinlichkeitsverteilung erfüllen muss, sprich:
1. f(x) [mm] \ge [/mm] 0 für alle x
2. [mm] \integral_{ -\infty}^{ \infty} [/mm] {f(x) dx} = 1
- Doch wie ich das genau zeigen soll, ist mir nicht so klar.
Hab zwar was mit cos aufgeschrieben, aber das ist sicherlich total falsch (also mit Integral von pi/2 bis -pi/2 und dann f(x) = 1/2 cos x. *SEUFZ*
bei b) hab ich auch nur die allgemeinen Formeln, aber der Bezug zu der Aufgabe kommt bei mir nicht zustande. Ist wie zugenagelt.
Hoffe wirklich das mir jemand hier helfen und erklären kann. Will es ja auch verstehen.
TAUSEND DANK IM VORAUS!!!
Lg, Sabrina
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Hi, Bina,
> Gegeben ist die Funktion f mit f(x) =0 für x<3 und f(x) =
> 2e^-2(x-3) für
> x [mm]\ge[/mm] 3
Dein Funktionsterm lautet vermutlich so: f(x) = [mm] 2*e^{-2(x-3)}, [/mm] stimmt's?
> a) Zeigen sie, dass f eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
> ist.
>
> b) Bestimmen sie F (x), E(X) und [mm]D^2(X)[/mm]
>
> Für a) weiß ich ja die Bedingungen die eine
> Wahrscheinlichkeitsverteilung erfüllen muss, sprich:
>
> 1. f(x) [mm]\ge[/mm] 0 für alle x
Das ist leicht nachgewiesen, da jede Exponentialfunktion >0 ist.
> 2. [mm]\integral_{ -\infty}^{ \infty}[/mm] {f(x) dx} = 1
>
Hier brauchst Du nur [mm] \integral_{3}^{ \infty}{2*e^{-2(x-3)}dx} [/mm] zu berechnen,
da links von 3 der Funktionsterm f(x)=0 gesetzt worden ist.
Als Stammfunktion bekommst Du schon mal: F(x) = [mm] -e^{-2(x-3)} [/mm] (+c)
Das uneigentliche Integral bestimmst Du nun mit Grenzwertrechnung:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}[-e^{-2(x-3)} ]_{3}^{k}
[/mm]
= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}(-e^{-2(k-3)}) [/mm] + 1 = 0 + 1 = 1.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 So 26.03.2006 | | Autor: | Seth79 |
Hi,
ich bin neu hier also entschuldigt eventuelle Fehler! 
Ich sitze genau an der selben Aufgabe und konnte Dank euch die erste Aufgabe lösen und auch verstehen. Allerdings verging mir meine Hochmut als ich mich an b.) wagte. F (x) ist klar aber ich beisse mir die Zähne an E(X) [mm] D^{2}(X) [/mm] aus. Würde mich freuen wenn mir dabei jemand helfen könnte.
Ciao
Seth
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:27 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Seth,
also für den Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable X mit Dichte
f(x) brauchst du nur
[mm] E(X)=\integral_{-\infty}^{\infty}{xf(x)dx}
[/mm]
ausrechenen, (Hättest du auch einfach![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen können, einfach Erwartungswert in Google eingeben)
also
[mm] \integral_{3}^{ \infty}{2x\cdot{}e^{-2(x-3)}dx} [/mm] einfach partiell Integrieren.
Ich weiss aber leider nicht, was mit [mm] D^2(X) [/mm] gemeint ist.
L G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Seth79 |
Hi,
also [mm] D^{2}(X) [/mm] wird bei uns als Streuung von X bezeichnet.
Grüße
Seth
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Seth79 |
Hi,
so ich hab jetzt mein ganzes Integralwissen in die Schale geworfen
und das ist dabei rausgekommen:
E(X) = [mm] \integral_{3}^{\infty}{2x*e^{-2(x-3)} dx} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2} e^{6-2x} [/mm] (2x + 1)
Sollte das völlig falsch und absoluter Schwachsinn sein bitte bringt
es mir schonend bei ich bin sensibel!
Grüße
Seth
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Hi, Seth,
> E(X) = [mm]\integral_{3}^{\infty}{2x*e^{-2(x-3)} dx}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{2} e^{6-2x}[/mm] (2x + 1)
Die Stammfunktion stimmt, aber das Ergebnis ist ja eine Zahl!
Du musst die Grenzen noch einsetzen (bei [mm] \infty [/mm] kannst Du mit Grenzwert rechnen!). Ich krieg übrigens 3,5 raus!
Und in diesem Link findest Du dann auch noch die Formel für die Varianz:
http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Stochastik
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Di 28.03.2006 | | Autor: | Seth79 |
Hi,
das passt ja 3,5 hab ich auch raus!
Also laut Aufzeichnungen von meinem Lehrer ist die Formel für die Streuung folgende:
D^2X = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} x^2 [/mm] f(x) dx - [mm] E(X)^2
[/mm]
also:
D^2X = [mm] \integral_{3}^{\infty} x^2 e^{-2(x-3)} [/mm] - [mm] 3,5^2 [/mm] =
- [mm] \bruch{1}{4} e^{6-2x} (2x(x+1)+1)_{3}^{\infty} [/mm] = 2,75
Stimmt das?
Viele Grüße und nochmal vielen Dank für die geleistete Hilfe
Seth
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Hi, Seth,
komm' leider erst jetzt dazu, mir die Sache näher anzuschauen.
> das passt ja 3,5 hab ich auch raus!
Na, dann wird das ja hoffentlich stimmen!
> Also laut Aufzeichnungen von meinem Lehrer ist die Formel
> für die Streuung folgende:
>
> D^2X = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty} x^2[/mm] f(x) dx - [mm]E(X)^2[/mm]
>
> also:
>
> D^2X = [mm]\integral_{3}^{\infty} x^2 e^{-2(x-3)}[/mm] - [mm]3,5^2[/mm] =
> - [mm]\bruch{1}{4} e^{6-2x} (2x(x+1)+1)_{3}^{\infty}[/mm] = 2,75
>
> Stimmt das?
Beim Integral (f(x)) hast Du eine 2 vergessen!
Daher: [mm] \integral_{3}^{\infty}x^2*2e^{-2(x-3)}dx [/mm] - [mm] 3,5^{2}
[/mm]
= - [mm] \bruch{1}{2} e^{6-2x} (2x(x+1)+1)_{3}^{\infty} [/mm] - [mm] 3,5^{2}
[/mm]
(wobei Du das eigentlich als Grenzwert schreiben müsstest - aber sei's drum!)
= 12,5 - 12,25 = 0,25.
Demnach wäre [mm] \sigma [/mm] = 0,5.
Rechne noch mal nach!
mfG!
Zwerglein
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