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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:52 Do 16.08.2007 | | Autor: | Nima |
| Aufgabe | 5 Jäger nehmen gleichzeitig eine Tontaube ins Visier. Zum Glück treffen die 5 Jäger nur mit einer Wahrscheinlichkeit von je 5%, 5%, 10%, 10% und 20 %.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Tontaube nicht getroffen?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Tontaube mindestens 2 Mal getroffen? |
Hallo ihr alle,
könnte mir jemand mit dieser Frage bitte helfen?
Ich habe mir bei Teilaufgabe a) gedacht, dass man den Durchschnitt der Prozente (in diesem Fall 10%) finden sollte und diesen dann von 1 subtrahiert (also zu 90% wird die Tontaube nicht getroffen). Allerdings weiss ich nicht, ob dass so richtig wäre. Auf jeden Fall kann man die Prozente ja nicht addieren, man könnte ja nicht sagen 2 Jäger schiessen auf eine Tontaube, einer mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 %, der andere mit einer von 70 %, also wird sie zu 130 % getroffen....
Aber bei b) konnte ich bisher bei bestem Willen keinen Ansatz finden......
Danke!!!
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Hallo Nima!
> 5 Jäger nehmen gleichzeitig eine Tontaube ins Visier. Zum
> Glück treffen die 5 Jäger nur mit einer Wahrscheinlichkeit
> von je 5%, 5%, 10%, 10% und 20 %.
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> a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Tontaube nicht
> getroffen?
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> b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Tontaube
> mindestens 2 Mal getroffen?
> Hallo ihr alle,
>
> könnte mir jemand mit dieser Frage bitte helfen?
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> Ich habe mir bei Teilaufgabe a) gedacht, dass man den
> Durchschnitt der Prozente (in diesem Fall 10%) finden
> sollte und diesen dann von 1 subtrahiert (also zu 90% wird
> die Tontaube nicht getroffen). Allerdings weiss ich nicht,
> ob dass so richtig wäre. Auf jeden Fall kann man die
> Prozente ja nicht addieren, man könnte ja nicht sagen 2
> Jäger schiessen auf eine Tontaube, einer mit einer
> Wahrscheinlichkeit von 60 %, der andere mit einer von 70 %,
> also wird sie zu 130 % getroffen....
Deine Argumentation ist vollkommen richtig. Mit 'ner Addition kommst du hier nicht weit.
Die Lösung des Problems ist allerdings relativ einfach. Die Fragen sind ja im Grunde aus Sicht einer Tontaube (?!) gestellt  - es geht um das "Überleben" selbiger. Wenn also z.B. Jäger 1 zu 5% die Tontaube trifft, dann hat die Tontaube eine "Überlebenschance" von 95% (der Jäger 1 trifft also nicht. Analog kannst du die "Überlebenschancen" bei den anderen Jägern ermitteln. Wenn du nun davon ausgehst, dass die Tontaube nur dann "überlebt", wenn "Jäger 1 nicht trifft" UND "Jäger 2 nicht trifft" UND "Jäger 3 nicht trifft" UND "Jäger 4 nicht trifft" UND "Jäger 5 nicht trifft", dann ergibt sich, da ja voneinander unabhängige Ereignisse bei der UND-Verknüpfung multipliziert werden, eine gesamte Überlebenswahrscheinlichkeit von: P(X=0)=0,95*0,95*0,9*0,9*0,8=0,58482. (Mit X ist hier die Anzahl der Treffer gemeint.) Die Tontaube überlebt also mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 58,48%.
> Aber bei b) konnte ich bisher bei bestem Willen keinen
> Ansatz finden......
Ist ein wenig komplizierter als a) aber auch lösbar.
Wichtig bei solche Fragen ist immer die Fragestellung. Hier geht es drum zu bestimmen wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass mindestens 2 mal getroffen wird. Es ist also, wenn X wieder die Anzahl der Treffer ist, [mm] P(X\ge2) [/mm] gesucht. Wenn man sich dies genauer vor Augen führt, bedeutet doch "mindestens 2x treffen" genau das gleiche wie NICHT "0x oder 1x treffen". Und genau hier liegt der Trick bei solchen Aufgaben: Man könnte jetzt umständlich die einzelnen Wahrscheinlichkeiten dafür berechnen, dass 2x, 3x, 4x oder 5x getroffen wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Die Tontaube garnicht (X=0) getroffen wird, haben wir bei a) schon berechnet (ca. 58,48%). Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignis' (also mindestens einer trifft) beträgt demanch ca. 41,52%.
Die Wahrscheinlichkeit, dass sie 1x getroffen wird (X=1) beträgt: P(X=1)=0,05+0,05+0,1+0,1+0,2=0,5. Das bedeutet also, dass zu 50% einer der 5 Jäger trifft.
Daraus lässt sich ableiten, dass zu 8,48% [mm] (P(X\ge2)=P(X=1)-P(X\le1)=0,5-0,4152=0,0848) [/mm] mindestens zwei der Jäger die kleine Tontaube treffen.
> Danke!!!
Bitte! 
Gruß,
Tommy
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:27 Fr 17.08.2007 | | Autor: | Somebody |
> Hallo Nima!
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> > 5 Jäger nehmen gleichzeitig eine Tontaube ins Visier. Zum
> > Glück treffen die 5 Jäger nur mit einer Wahrscheinlichkeit
> > von je 5%, 5%, 10%, 10% und 20 %.
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> > a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Tontaube nicht
> > getroffen?
> >
> > b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Tontaube
> > mindestens 2 Mal getroffen?
> Die Wahrscheinlichkeit, dass sie 1x getroffen wird (X=1)
> beträgt: P(X=1)=0,05+0,05+0,1+0,1+0,2=0,5.
Dies kann ich nicht glauben. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie genau ein Mal getroffen wird, ist doch die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Jäger trifft, aber alle anderen nicht, oder der zweite Jäger trifft, aber alle anderen nicht, oder der dritte Jäger trifft, aber alle anderen nicht, oder ...
Dies wäre also
[mm]\mathrm{P}(X=1)=0.05\cdot 0.95\cdot 0.9\cdot 0.9\cdot 0.8 + 0.05 \cdot 0.95\cdot 0.9\cdot 0.9\cdot 0.8+ 0.01\cdot 0.95\cdot 0.95\cdot 0.9\cdot 0.8 + 0.01\cdot 0.95\cdot 0.95\cdot 0.9\cdot 0.8+0.02\cdot 0.95\cdot 0.95\cdot 0.9\cdot 0.9[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:08 So 19.08.2007 | | Autor: | Nima |
Hallo!
Vielen Dank für die ausführliche Antwort, habe alles verstanden. Wie würde man aber die folgenden Fragen lösen können:
,,Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Tontaube genau 2 mal getroffen?''
,,Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Tontaube mindestens 3 mal getroffen?''
Vielen Dank für die Hilfe!
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> Hallo!
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> Vielen Dank für die ausführliche Antwort, habe alles
> verstanden. Wie würde man aber die folgenden Fragen lösen
> können:
> ,,Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Tontaube genau 2
> mal getroffen?''
Da die Jäger (teilweise) verschiedene Trefferwahrscheinlichkeiten haben, gibt es vermutlich keine wirklich elegante Möglichkeit, diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen: man wird die verschiedenen möglichen Fälle ("der erste und der zweite Jäger treffen, aber die drei anderen nicht", "der erste und der dritte Jäger treffen, aber die drei anderen nicht", ...) durchgehen, deren Wahrscheinlichkeiten berechnen und am Ende zusammenzählen müssen.
Hätten die Jäger jedoch alle dieselbe Trefferwahrscheinlichkeit, sagen wir $p$, dann würde für die Anzahl $X$ der Treffer gelten:
[mm]\mathrm{P}(X=K)=\binom{5}{k} p^k (1-p)^{n-k}[/mm]
Das heisst: die Zahl der Treffer wäre "binomialverteilt".
Grund: Es gibt genau [mm] $\binom{5}{k}$ [/mm] Möglichkeiten, aus den 5 Jägern die $k$ Jäger auszuwählen, die getroffen haben (bzw. die $n-k$ die nicht getroffen haben). Die Wahrscheinlichkeit, dass die diese ausgewählten Jäger treffen, die anderen aber nicht, ist dann (wegen der Unabhängigkeit des Treffens/Nicht-Treffens) gerade das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten, also [mm] $p^k$ [/mm] für die $k$ Jäger, die treffen, und [mm] $(1-p)^{n-k}$ [/mm] für diejenigen $n-k$ Jäger, die nicht treffen.
> ,,Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Tontaube
> mindestens 3 mal getroffen?''
Siehe oben: Wären die Trefferwahrscheinlichkeiten aller Jäger dieselben, hätte man einfach die Binomialverteilung entsprechend aufzusummieren:
[mm]\begin{array}{lcll}
\mathrm{P}(X\geq 3) &=& \mathrm{P}(X=3)+\mathrm{P}(X=4)+\mathrm{P}(X=5)\\[.2cm]
&=& \binom{5}{3}p^3(1-p)^2+\binom{5}{4}p^4(1-p)^1+\binom{5}{5}p^5(1-p)^0
\end{array}[/mm]
Da aber die Trefferwahrscheinlichkeiten bei dieser Aufgabe (teilweise) verschieden sind, wird man wieder ein mühsames (und fehleranfälliges) Aufzählen aller möglichen Fälle und Aufsummieren deren Wahrscheinlichkeiten durchführen müssen.
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