Was ist IZ^0? < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Do 11.07.2013 | | Autor: | Marcel |
| Aufgabe | Hallo,
in Lemma 6.8 bei Piontkowski, Müller-Stach
Elementare und algebraische Zahlentheorie
wird von [mm] $\IZ^k$ [/mm] mit $k=0$ gesprochen, also von [mm] $\IZ^0\,.$ [/mm] |
Sehe ich das
richtig, dass in dem dortigen Zusammenhang [mm] $\IZ^0=\{0\}$ [/mm] gilt?
Ansonsten erklärt sich mir die vorangegangene Notation
$0 [mm] \longrightarrow \IZ \stackrel{1}{\longrightarrow} \IZ$
[/mm]
(direkt nach Bemerkung 6.7) auch nicht. (Ich nehme an, dass dort einfach kurz
$0$ statt [mm] $\{0\}$ [/mm] geschrieben wurde.)
Gruß,
Marcel
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Hey Marcel,
ja, mit [mm] $\IZ^0$ [/mm] wird wohl [mm] $\{0\}$ [/mm] gemeint sein, denn deshalb muss man ja keine näheren Gedanken daran verschwenden, dass jede Untergruppe endlich erzeugt ist.
Allerdings sehe ich das nicht (so wie formuliert) als Induktionsanfang, denn dann könnte man den Fall $k=1$ auf den Fall $k=0$ zurückführen.
Es ist viel eher $k=0$ ein Spezialfall und der Induktionsanfang ist die immer verwendete Tatsache, dass [mm] $\IZ$ [/mm] ein Hauptidealbereich ist (also der Fall $k=1$).
Aber so viel zu abzählbar vielen Erbsen...
> $ 0 [mm] \longrightarrow \IZ \stackrel{1}{\longrightarrow} \IZ [/mm] $
Zu deiner anderen Frage: Ja, es ist normal in Sequenzen $0$ statt [mm] $\{0\}$ [/mm] zu schreiben, da uns eigentlich nur die Tatsache existiert, dass (Exaktheit der Sequenz vorausgesetzt) die Abbildung $1$ injektiv ist.
Also statt zu sagen:
Sei $A [mm] \stackrel{f}{\longrightarrow} [/mm] B [mm] \stackrel{g}{\longrightarrow} [/mm] C$ eine exakte Sequenz, $f$ injektiv und $g$ surjektiv schreibt man kürzer einfach
Sei $0 [mm] \longrightarrow [/mm] A [mm] \stackrel{f}{\longrightarrow} [/mm] B [mm] \stackrel{g}{\longrightarrow} [/mm] C [mm] \longrightarrow [/mm] 0$ eine exakte Sequenz.
(Das ganze geht natürlich auch mit nur einer Null an einem Ende, etc.)
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 Do 11.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Schadowmaster,
ich danke Dir! 
> Hey Marcel,
>
> ja, mit [mm]\IZ^0[/mm] wird wohl [mm]\{0\}[/mm] gemeint sein, denn deshalb
> muss man ja keine näheren Gedanken daran verschwenden,
> dass jede Untergruppe endlich erzeugt ist.
Mich hatte es nur irritiert, weil man ja [mm] $A^B:=\{f \colon B \to A\}$ [/mm] definiert (kartesisches Produkt)
und dann speziell [mm] $A^n:=A^{\{1,...,n\}}$ [/mm] für $n [mm] \in \IN$ [/mm] setzt. Der Fall $n=0$ ist
dabei nicht inbegriffen, es hätte aber sein können, dass man dann [mm] $A^\emptyset$ [/mm] meint...
In dem Zusammenhang sah ich da aber keinen Sinn drin!
> Allerdings sehe ich das nicht (so wie formuliert) als
> Induktionsanfang, denn dann könnte man den Fall [mm]k=1[/mm] auf
> den Fall [mm]k=0[/mm] zurückführen.
Ja, ich hätte hier den Induktionsanfang auch eher mit [mm] $k=1\,$ [/mm] gemacht - aber die
ganze Aussage habe ich mir noch nicht genauer betrachtet, insbesondere
nur mal den Beweisanfang überflogen.
> Es ist viel eher [mm]k=0[/mm] ein Spezialfall und der
> Induktionsanfang ist die immer verwendete Tatsache, dass
> [mm]\IZ[/mm] ein Hauptidealbereich ist (also der Fall [mm]k=1[/mm]).
> Aber so viel zu abzählbar vielen Erbsen...
>
> > [mm]0 \longrightarrow \IZ \stackrel{1}{\longrightarrow} \IZ[/mm]
>
> Zu deiner anderen Frage: Ja, es ist normal in Sequenzen [mm]0[/mm]
> statt [mm]\{0\}[/mm] zu schreiben, da uns eigentlich nur die
> Tatsache existiert, dass (Exaktheit der Sequenz
> vorausgesetzt) die Abbildung [mm]1[/mm] injektiv ist.
Jetzt müßte ich mal nachgucken, was man genau unter einer Sequenz
versteht. Am Rande tauchte dieser Begriff mal in der L.A. auf, ansonsten
bin ich mir sicher, dass dieser meist in der Kategorientheorie Verwendung
findet?!
Ich lese mir
![[]](/images/popup.gif) das hier
mal gleich in Ruhe durch!
Nebenbei: Hast Du diese Kenntnisse im Bereich der Kategorientheorie?
Bzw. kennst Du gute Grundlagenliteratur dazu?
> Also statt zu sagen:
> Sei [mm]A \stackrel{f}{\longrightarrow} B \stackrel{g}{\longrightarrow} C[/mm]
> eine exakte Sequenz, [mm]f[/mm] injektiv und [mm]g[/mm] surjektiv schreibt
> man kürzer einfach
> Sei [mm]0 \longrightarrow A \stackrel{f}{\longrightarrow} B \stackrel{g}{\longrightarrow} C \longrightarrow 0[/mm]
> eine exakte Sequenz.
> (Das ganze geht natürlich auch mit nur einer Null an
> einem Ende, etc.)
Danke nochmal!!
Gruß,
Marcel
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> Hi Schadowmaster,
>
> ich danke Dir!
>
> > Hey Marcel,
> >
> > ja, mit [mm]\IZ^0[/mm] wird wohl [mm]\{0\}[/mm] gemeint sein, denn deshalb
> > muss man ja keine näheren Gedanken daran verschwenden,
> > dass jede Untergruppe endlich erzeugt ist.
>
> Mich hatte es nur irritiert, weil man ja [mm]A^B:=\{f \colon B \to A\}[/mm]
> definiert (kartesisches Produkt)
> und dann speziell [mm]A^n:=A^{\{1,...,n\}}[/mm] für [mm]n \in \IN[/mm]
> setzt. Der Fall [mm]n=0[/mm] ist
> dabei nicht inbegriffen, es hätte aber sein können, dass
> man dann [mm]A^\emptyset[/mm] meint...
> In dem Zusammenhang sah ich da aber keinen Sinn drin!
Ja, das ist eine Möglichkeit.
Man kann sich das aber auch so klar machen:
[mm] $A^n [/mm] := A [mm] \times [/mm] A [mm] \times [/mm] A [mm] \times \ldots$, [/mm] das kartesische Produkt von $n$ Kopien von $A$ - mit eintragsweisen Verknüpfungen wird dies wieder zu einem Modul/Ring/was auch immer $A$ ist.
Dies entspricht vielleicht ein wenig mehr der Anschauung aus der Schule [mm] ($\IR^2, \IR^3$, [/mm] etc.) und ist in den meisten Fällen isomorph zur Definition über Abbildungen.
In diesem Zusammenhang macht es durchaus Sinn, dass man [mm] $A^0$ [/mm] - also das kartesische Produkt von $0$ Kopien von $A$ - auf die kleinstmögliche Menge setzt; dies ist eben [mm] $\{0\}$, [/mm] da jeder Modul/Ring/etc. ein neutrales Element enthalten muss.
Vergleichen kann man das zB damit, dass eine leere Summe nach Def. gleich $0$ ist und ein leeres Produkt gleich $1$.
> > Zu deiner anderen Frage: Ja, es ist normal in Sequenzen [mm]0[/mm]
> > statt [mm]\{0\}[/mm] zu schreiben, da uns eigentlich nur die
> > Tatsache existiert, dass (Exaktheit der Sequenz
> > vorausgesetzt) die Abbildung [mm]1[/mm] injektiv ist.
>
> Jetzt müßte ich mal nachgucken, was man genau unter einer
> Sequenz
> versteht. Am Rande tauchte dieser Begriff mal in der L.A.
> auf, ansonsten
> bin ich mir sicher, dass dieser meist in der
> Kategorientheorie Verwendung
> findet?!
In der allgemeinsten Form, ja.
Aber zum Beispiel auch in der kommutativen Algebra sind Sequenzen (vor allem zwischen Moduln über kommutativen Ringen) sehr wichtig und es wird viel damit gearbeitet.
Eine Sequenz
[mm] $A_1 \stackrel{f_1}{\longrightarrow} A_2 \stackrel{f_2}{\longrightarrow} A_3 \ldots$ [/mm] ist erstmal nur eine Art und Weise, Mengen und Abbildungen zu schreiben.
Hierbei haben die [mm] $A_i$ [/mm] eine gemeinsame algebraische Struktur (Moduln, Gruppen, etc.) und die [mm] $f_i$ [/mm] sind Homomorphismen dazwischen - und ja, das ist etwas, das man sich in so allgemeiner Form in der Kategorientheorie anguckt.
Die Sequenz heißt exakt, wenn für alle $i>1$ gilt: [mm] $Kern(f_i)=Bild(f_{i-1})$.
[/mm]
Daher bedeutet meine exakte Sequenz aus dem anderen Post halt, dass $f$ injektiv und $g$ surjektiv ist.
> Ich lese mir
>
> das hier
>
> mal gleich in Ruhe durch!
>
> Nebenbei: Hast Du diese Kenntnisse im Bereich der
> Kategorientheorie?
> Bzw. kennst Du gute Grundlagenliteratur dazu?
In die Kategorientheorie habe ich bisher nur kurz im Rahmen der kommutativen Algebra reingeschnuppert und kann dir leider auch kein Buch speziell darüber empfehlen.
Allerdings würde ich dir - solange du Sequenzen nur im Rahmen der Zahlentheorie verwenden möchtest - ein beliebiges Buch zur kommutativen Algebra empfehlen, da sollte alles drin stehen, was du über (exakte) Sequenzen in diesem Zusammenhang brauchst (und noch sehr viel mehr^^).
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Do 11.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > ja, mit [mm]\IZ^0[/mm] wird wohl [mm]\{0\}[/mm] gemeint sein, denn deshalb
> > muss man ja keine näheren Gedanken daran verschwenden,
> > dass jede Untergruppe endlich erzeugt ist.
>
> Mich hatte es nur irritiert, weil man ja [mm]A^B:=\{f \colon B \to A\}[/mm]
> definiert (kartesisches Produkt)
> und dann speziell [mm]A^n:=A^{\{1,...,n\}}[/mm] für [mm]n \in \IN[/mm]
> setzt. Der Fall [mm]n=0[/mm] ist
> dabei nicht inbegriffen,
Natuerlich ist er da inbegriffen: es ist [mm] $\{ 1, \cdots, n \}$ [/mm] fuer $n = 0$ einfach gleich [mm] $\emptyset$, [/mm] womit [mm] $\IZ^0 [/mm] = [mm] \IZ^\emptyset$ [/mm] (bis auf Isomorphie) ist. Und da es genau eine Abbildung von der leeren Menge in eine beliebige andere fest gewaehlte Menge gibt -- naemlich die leere Abbildung -- besteht [mm] $\IZ^0$ [/mm] somit aus genau einem Element, welches gleich dem additiv neutralen sein muss. Deswegen schreibt man fuer das einzige Element aus [mm] $\IZ^0$ [/mm] auch 0.
Und $0$ anstelle [mm] $\{ 0 \}$ [/mm] schreibt man eben auch, weil es kuerzer ist und genauso aussagekraeftig. Mathematiker sind halt faul 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Do 11.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Felix,
> Moin!
>
> > > ja, mit [mm]\IZ^0[/mm] wird wohl [mm]\{0\}[/mm] gemeint sein, denn deshalb
> > > muss man ja keine näheren Gedanken daran verschwenden,
> > > dass jede Untergruppe endlich erzeugt ist.
> >
> > Mich hatte es nur irritiert, weil man ja [mm]A^B:=\{f \colon B \to A\}[/mm]
> > definiert (kartesisches Produkt)
> > und dann speziell [mm]A^n:=A^{\{1,...,n\}}[/mm] für [mm]n \in \IN[/mm]
> > setzt. Der Fall [mm]n=0[/mm] ist
> > dabei nicht inbegriffen,
>
> Natuerlich ist er da inbegriffen: es ist [mm]\{ 1, \cdots, n \}[/mm]
> fuer [mm]n = 0[/mm] einfach gleich [mm]\emptyset[/mm],
das ist klar: Ich meinte, dass (bei mir, und bei der Definition, wo dies
auftaucht) halt $0 [mm] \notin \IN$ [/mm] ist und damit das Geschriebene so erstmal nicht für $n=0$ gilt.
> womit [mm]\IZ^0 = \IZ^\emptyset[/mm]
> (bis auf Isomorphie) ist. Und da es genau eine Abbildung
> von der leeren Menge in eine beliebige andere fest
> gewaehlte Menge gibt -- naemlich die leere Abbildung --
> besteht [mm]\IZ^0[/mm] somit aus genau einem Element, welches gleich
> dem additiv neutralen sein muss. Deswegen schreibt man fuer
> das einzige Element aus [mm]\IZ^0[/mm] auch 0.
Okay, das leuchtet ein! Man identifiziert halt einfach $0 [mm] \in \{0\}$ [/mm] mit der leeren Abbildung
$f [mm] \colon \varnothing \to \IZ\,.$
[/mm]
> Und [mm]0[/mm] anstelle [mm]\{ 0 \}[/mm] schreibt man eben auch, weil es
> kuerzer ist und genauso aussagekraeftig. Mathematiker sind
> halt faul
Ist mir bekannt. Mir ging's nur drum, dass ich das richtig sehe. Viele Autoren
erwähnen es wenigstens einmal, und weil Müller-Stach und Piontkowski
ähnliches an anderen Stellen erwähnten, wunderte mich nur, dass es hier
dazu keinen Hinweis gab. Aber eventuell hatte ich den vorher überlesen
oder er steht im Anhang!
Irritieren tut mich immer noch etwas: [mm] $R\,$ [/mm] wird in dem Buch ja als Matrix
beschrieben. (Siehe Bemerkung 6.7.)
Müßte dann strenggenommen nicht anstatt
$0 [mm] \stackrel{}{\longrightarrow} \IZ \stackrel{1}{\longrightarrow} \IZ$
[/mm]
dort
[mm] $\{0\} \stackrel{(0)}{\longrightarrow} \IZ \stackrel{(1)}{\longrightarrow} \IZ$
[/mm]
stehen? (Wenn man alles penibelst genau notiert?)
Wobei hier [mm] $\IZ^0=\{0\}$ [/mm] verwendet wird - und die Null in der Menge rechterhand
mit der leeren Abbildung [mm] $\varnothing \to \IZ$ [/mm] zu identifizieren wäre.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Do 11.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Marcel,
> > > > ja, mit [mm]\IZ^0[/mm] wird wohl [mm]\{0\}[/mm] gemeint sein, denn deshalb
> > > > muss man ja keine näheren Gedanken daran verschwenden,
> > > > dass jede Untergruppe endlich erzeugt ist.
> > >
> > > Mich hatte es nur irritiert, weil man ja [mm]A^B:=\{f \colon B \to A\}[/mm]
> > > definiert (kartesisches Produkt)
> > > und dann speziell [mm]A^n:=A^{\{1,...,n\}}[/mm] für [mm]n \in \IN[/mm]
> > > setzt. Der Fall [mm]n=0[/mm] ist
> > > dabei nicht inbegriffen,
> >
> > Natuerlich ist er da inbegriffen: es ist [mm]\{ 1, \cdots, n \}[/mm]
> > fuer [mm]n = 0[/mm] einfach gleich [mm]\emptyset[/mm],
>
> das ist klar: Ich meinte, dass (bei mir, und bei der
> Definition, wo dies
> auftaucht) halt [mm]0 \notin \IN[/mm] ist und damit das Geschriebene
> so erstmal nicht für [mm]n=0[/mm] gilt.
fuer mich ist 0 eine natuerliche Zahl
> > Und [mm]0[/mm] anstelle [mm]\{ 0 \}[/mm] schreibt man eben auch, weil es
> > kuerzer ist und genauso aussagekraeftig. Mathematiker sind
> > halt faul
>
> Ist mir bekannt. Mir ging's nur drum, dass ich das
> richtig sehe. Viele Autoren
> erwähnen es wenigstens einmal, und weil Müller-Stach und
> Piontkowski
> ähnliches an anderen Stellen erwähnten, wunderte mich
> nur, dass es hier
> dazu keinen Hinweis gab. Aber eventuell hatte ich den
> vorher überlesen
> oder er steht im Anhang!
Ich kenne das Buch nicht, und kann dementsprechend auch nichts dazu sagen.
> Irritieren tut mich immer noch etwas: [mm]R\,[/mm] wird in dem Buch
> ja als Matrix
> beschrieben. (Siehe Bemerkung 6.7.)
Was ist denn $R$?
> Müßte dann strenggenommen nicht anstatt
>
> [mm]0 \stackrel{}{\longrightarrow} \IZ \stackrel{1}{\longrightarrow} \IZ[/mm]
>
> dort
>
> [mm]\{0\} \stackrel{(0)}{\longrightarrow} \IZ \stackrel{(1)}{\longrightarrow} \IZ[/mm]
>
> stehen? (Wenn man alles penibelst genau notiert?)
>
> Wobei hier [mm]\IZ^0=\{0\}[/mm] verwendet wird - und die Null in der
> Menge rechterhand
> mit der leeren Abbildung [mm]\varnothing \to \IZ[/mm] zu
> identifizieren wäre.
Im Prinzip schon, bis auf das $(0)$ ueber [mm] $\{0\}\to\IZ$. [/mm] Dies ist eine lineare Abbildung von einem freien [mm] $\IZ$-Modul [/mm] von Rang 0 zu einem freien [mm] $\IZ$-Modul [/mm] von Rang 1. Die Matrix sollte also das Format $1 [mm] \times [/mm] 0$ (oder $0 [mm] \times [/mm] 1$, je nachdem wie man lineare Abbildungen durch Matrizen darstellen moechte) haben, und $(0)$ hat ein anderes Format (naemlich $1 [mm] \times [/mm] 1$).
Da man meist kein Symbol fuer solche "leeren" Matrizen hat -- man koennte zwar $()$ schreiben, aber da ist dann das genaue Format auch nicht klar -- schreibt man dann meist einfach gar nichts ueber den Pfeil, da es zwischen den beiden Moduln eh nur eine einzige lineare Abbildung gibt.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Do 11.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Felix,
> Moin Marcel,
>
> > > > > ja, mit [mm]\IZ^0[/mm] wird wohl [mm]\{0\}[/mm] gemeint sein, denn deshalb
> > > > > muss man ja keine näheren Gedanken daran verschwenden,
> > > > > dass jede Untergruppe endlich erzeugt ist.
> > > >
> > > > Mich hatte es nur irritiert, weil man ja [mm]A^B:=\{f \colon B \to A\}[/mm]
> > > > definiert (kartesisches Produkt)
> > > > und dann speziell [mm]A^n:=A^{\{1,...,n\}}[/mm] für [mm]n \in \IN[/mm]
> > > > setzt. Der Fall [mm]n=0[/mm] ist
> > > > dabei nicht inbegriffen,
> > >
> > > Natuerlich ist er da inbegriffen: es ist [mm]\{ 1, \cdots, n \}[/mm]
> > > fuer [mm]n = 0[/mm] einfach gleich [mm]\emptyset[/mm],
> >
> > das ist klar: Ich meinte, dass (bei mir, und bei der
> > Definition, wo dies
> > auftaucht) halt [mm]0 \notin \IN[/mm] ist und damit das Geschriebene
> > so erstmal nicht für [mm]n=0[/mm] gilt.
>
> fuer mich ist 0 eine natuerliche Zahl
bei mir halt nicht. Aber das ist nun reine Definitionssache.
> > > Und [mm]0[/mm] anstelle [mm]\{ 0 \}[/mm] schreibt man eben auch, weil es
> > > kuerzer ist und genauso aussagekraeftig. Mathematiker sind
> > > halt faul
> >
> > Ist mir bekannt. Mir ging's nur drum, dass ich das
> > richtig sehe. Viele Autoren
> > erwähnen es wenigstens einmal, und weil Müller-Stach
> und
> > Piontkowski
> > ähnliches an anderen Stellen erwähnten, wunderte mich
> > nur, dass es hier
> > dazu keinen Hinweis gab. Aber eventuell hatte ich den
> > vorher überlesen
> > oder er steht im Anhang!
>
> Ich kenne das Buch nicht, und kann dementsprechend auch
> nichts dazu sagen.
Wenn Du bzw. eher ich Glück hast, dann lies' mal hier:
Klick!
Glück brauchst Du bzw. wir, dass Du diesen Buchausschnitt genauso wie
ich lesen kannst - bei google books ist das ja meist eher "Zufall", was der/
die einzelne lesen darf.
> > Irritieren tut mich immer noch etwas: [mm]R\,[/mm] wird in dem Buch
> > ja als Matrix
> > beschrieben. (Siehe Bemerkung 6.7.)
>
> Was ist denn [mm]R[/mm]?
Für eine endlich erzeugte abelsche Gruppe [mm] $G\,,$ [/mm] wobei [mm] $S\,$ [/mm] ein k-Tupel der Erzeuger [mm] $g_1,...,g_k$
[/mm]
von [mm] $G\,,$ [/mm] also [mm] $S=(g_1,...,g_k)$ [/mm] ist, und
[mm] $\phi_S: \IZ^k \to [/mm] G$ definiert durch [mm] $\phi_S(z_1,...,z_k):=\sum_{m=1}^k z_m g_m$
[/mm]
ist, sollen die [mm] $\ell$ [/mm] Spalten von [mm] $R\,$ [/mm] den Kern von [mm] $\phi_S$ [/mm] erzeugen. Insbesondere
ist $R [mm] \in \IZ^{k \times \ell}\,.$
[/mm]
> > Müßte dann strenggenommen nicht anstatt
> >
> > [mm]0 \stackrel{}{\longrightarrow} \IZ \stackrel{1}{\longrightarrow} \IZ[/mm]
>
> >
> > dort
> >
> > [mm]\{0\} \stackrel{(0)}{\longrightarrow} \IZ \stackrel{(1)}{\longrightarrow} \IZ[/mm]
>
> >
> > stehen? (Wenn man alles penibelst genau notiert?)
> >
> > Wobei hier [mm]\IZ^0=\{0\}[/mm] verwendet wird - und die Null in der
> > Menge rechterhand
> > mit der leeren Abbildung [mm]\varnothing \to \IZ[/mm] zu
> > identifizieren wäre.
>
> Im Prinzip schon, bis auf das [mm](0)[/mm] ueber [mm]\{0\}\to\IZ[/mm]. Dies
> ist eine lineare Abbildung von einem freien [mm]\IZ[/mm]-Modul von
> Rang 0 zu einem freien [mm]\IZ[/mm]-Modul von Rang 1. Die Matrix
> sollte also das Format [mm]1 \times 0[/mm] (oder [mm]0 \times 1[/mm], je
> nachdem wie man lineare Abbildungen durch Matrizen
> darstellen moechte) haben, und [mm](0)[/mm] hat ein anderes Format
> (naemlich [mm]1 \times 1[/mm]).
>
> Da man meist kein Symbol fuer solche "leeren" Matrizen hat
> -- man koennte zwar [mm]()[/mm] schreiben, aber da ist dann das
> genaue Format auch nicht klar -- schreibt man dann meist
> einfach gar nichts ueber den Pfeil, da es zwischen den
> beiden Moduln eh nur eine einzige lineare Abbildung gibt.
Ja, genau das irritiert mich aber: Die Spalten von [mm] $R\,$ [/mm] sollen doch den Kern
von [mm] $\phi_S$ [/mm] erzeugen. Wenn man die leere Matrix hinschreiben würde, wäre
dieser Erzeuger die leere Menge; das wird dann wohl wie in der L.A. sein,
dass diese das neutrale Element erzeugt. Aber ist denn nicht [mm] $0\,$ [/mm] auch ein
Erzeuger von [mm] $\{0\}$? [/mm] Oder passt das dann wieder, wie in der L.A., eher zu
"minimalen Erzeuger", was man da über den Pfeil schreibt?
Ich weiß, es sind "Detailfragen", aber wenn ich mich an so Kleinigkeiten
unnötiger Weise aufhänge, kann ich sie auch nicht einfach ignorieren. Ist
typisch für mich - sowas blockiert mich dann, bis ich es kapiert habe ^^
Zum Beispiel würde ich sagen, dass ich einsehe, dass man oben
[mm] $\{0\} \stackrel{()}{\longrightarrow} \IZ [/mm] ...$
schreiben kann, aber mir ist jetzt dennoch unklar, warum man nicht
[mm] $\{0\} \stackrel{(\red{0})}{\longrightarrow} \IZ [/mm] ...$
schreiben darf? Denn [mm] $\{0\}$ [/mm] ist ja auch ein EZS von [mm] $\{0\}$?
[/mm]
P.S. Mir ist das so, wie Du es ausführlich beschreibst, übrigens schon klar,
aber mit dem, was im Buch gesagt wird, geht doch eigentlich nicht hervor,
dass man
[mm] $\{0\} \stackrel{(\red{0})}{\longrightarrow} \IZ [/mm] ...$
nicht schreiben dürfte? Oder an welcher Stelle übersehe ich da was? Das
ist hier meine eigentliche Frage.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Do 11.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Marcel,
> > Ich kenne das Buch nicht, und kann dementsprechend auch
> > nichts dazu sagen.
>
> Wenn Du bzw. eher ich Glück hast, dann lies' mal hier:
>
> Klick!
Das liefert mir zwar eine Seite mit einer "Bemerkung 6.7", aber ich weiss nicht, was das mit dem weiter unten zu tun haben soll. Denn die Bemerkung sagt nur "Sei $G$ eine endliche zyklische Gruppe. Ein Element $g [mm] \in [/mm] G$ erzeugt $G$ genau dann, wenn $ord [mm] \; [/mm] g = ord [mm] \; [/mm] G$."
> Glück brauchst Du bzw. wir, dass Du diesen Buchausschnitt
> genauso wie
> ich lesen kannst - bei google books ist das ja meist eher
> "Zufall", was der/
> die einzelne lesen darf.
>
> > > Irritieren tut mich immer noch etwas: [mm]R\,[/mm] wird in dem Buch
> > > ja als Matrix
> > > beschrieben. (Siehe Bemerkung 6.7.)
> >
> > Was ist denn [mm]R[/mm]?
>
> Für eine endlich erzeugte abelsche Gruppe [mm]G\,,[/mm] wobei [mm]S\,[/mm]
> ein k-Tupel der Erzeuger [mm]g_1,...,g_k[/mm]
> von [mm]G\,,[/mm] also [mm]S=(g_1,...,g_k)[/mm] ist, und
>
> [mm]\phi_S: \IZ^k \to G[/mm] definiert durch
> [mm]\phi_S(z_1,...,z_k):=\sum_{m=1}^k z_m g_m[/mm]
>
> ist, sollen die [mm]\ell[/mm] Spalten von [mm]R\,[/mm] den Kern von [mm]\phi_S[/mm]
> erzeugen. Insbesondere
> ist [mm]R \in \IZ^{k \times \ell}\,.[/mm]
Ok.
> > > Müßte dann strenggenommen nicht anstatt
> > >
> > > [mm]0 \stackrel{}{\longrightarrow} \IZ \stackrel{1}{\longrightarrow} \IZ[/mm]
> >
> > >
> > > dort
> > >
> > > [mm]\{0\} \stackrel{(0)}{\longrightarrow} \IZ \stackrel{(1)}{\longrightarrow} \IZ[/mm]
> >
> > >
> > > stehen? (Wenn man alles penibelst genau notiert?)
> > >
> > > Wobei hier [mm]\IZ^0=\{0\}[/mm] verwendet wird - und die Null in der
> > > Menge rechterhand
> > > mit der leeren Abbildung [mm]\varnothing \to \IZ[/mm] zu
> > > identifizieren wäre.
> >
> > Im Prinzip schon, bis auf das [mm](0)[/mm] ueber [mm]\{0\}\to\IZ[/mm]. Dies
> > ist eine lineare Abbildung von einem freien [mm]\IZ[/mm]-Modul von
> > Rang 0 zu einem freien [mm]\IZ[/mm]-Modul von Rang 1. Die Matrix
> > sollte also das Format [mm]1 \times 0[/mm] (oder [mm]0 \times 1[/mm], je
> > nachdem wie man lineare Abbildungen durch Matrizen
> > darstellen moechte) haben, und [mm](0)[/mm] hat ein anderes Format
> > (naemlich [mm]1 \times 1[/mm]).
> >
> > Da man meist kein Symbol fuer solche "leeren" Matrizen hat
> > -- man koennte zwar [mm]()[/mm] schreiben, aber da ist dann das
> > genaue Format auch nicht klar -- schreibt man dann meist
> > einfach gar nichts ueber den Pfeil, da es zwischen den
> > beiden Moduln eh nur eine einzige lineare Abbildung gibt.
>
> Ja, genau das irritiert mich aber: Die Spalten von [mm]R\,[/mm]
> sollen doch den Kern
> von [mm]\phi_S[/mm] erzeugen. Wenn man die leere Matrix hinschreiben
> würde, wäre
> dieser Erzeuger die leere Menge; das wird dann wohl wie in
> der L.A. sein,
> dass diese das neutrale Element erzeugt.
Um zu verstehen was genau du meinst muesste ich wissen was in "deiner" Bemerkung 6.7 denn noch alles steht :)
> Aber ist denn
> nicht [mm]0\,[/mm] auch ein
> Erzeuger von [mm]\{0\}[/mm]? Oder passt das dann wieder, wie in der
> L.A., eher zu
> "minimalen Erzeuger", was man da über den Pfeil
> schreibt?
Der Pfeil ist eine Abbildung. Du musst also irgendwie eine Abbildung angeben. Wenn du das durch eine Matrix machst, musst du das mit den ueblichen Gepflogenheiten der linearen Algebra machen: eine Matrix vom Format $m [mm] \times [/mm] n$ ist eine Abbildung von [mm] $R^n \to R^m$ [/mm] (bzw. umgekehrt, je nach Konvention) (hier ist $R$ jetzt der Ring :) ). Wenn du also $(0)$ schreibst fuer die Matrix, dann meinst du eine Abbildung [mm] $\IZ^1 \to \IZ^1$.
[/mm]
> Zum Beispiel würde ich sagen, dass ich einsehe, dass man
> oben
>
> [mm]\{0\} \stackrel{()}{\longrightarrow} \IZ ...[/mm]
>
> schreiben kann, aber mir ist jetzt dennoch unklar, warum
> man nicht
>
> [mm]\{0\} \stackrel{(\red{0})}{\longrightarrow} \IZ ...[/mm]
>
> schreiben darf? Denn [mm]\{0\}[/mm] ist ja auch ein EZS von [mm]\{0\}[/mm]?
Es ist ein EZS, aber da soll ja nicht das EZS vom Kern oben stehen, sondern eine Beschreibung der linearen Abbildung. Und die Abbildung korrespondiert zur leeren Matrix (vom Format $1 [mm] \times [/mm] 0$ bzw. $0 [mm] \times [/mm] 1$).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Do 11.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Felix,
> Moin Marcel,
>
> > > Ich kenne das Buch nicht, und kann dementsprechend auch
> > > nichts dazu sagen.
> >
> > Wenn Du bzw. eher ich Glück hast, dann lies' mal hier:
> >
> >
> Klick!
>
> Das liefert mir zwar eine Seite mit einer "Bemerkung 6.7",
> aber ich weiss nicht, was das mit dem weiter unten zu tun
> haben soll. Denn die Bemerkung sagt nur "Sei [mm]G[/mm] eine
> endliche zyklische Gruppe. Ein Element [mm]g \in G[/mm] erzeugt [mm]G[/mm]
> genau dann, wenn [mm]ord \; g = ord \; G[/mm]."
die Bemerkung 6.7 steht auf Seite 34, und direkt danach (zwischen
Bemerkung 6.7 und dem darauffolgenden Beispiel) steht das, wovon ich
hier rede/schreibe.
Ist halt die Frage, ob Du das auch noch lesen kannst. Oben auf Seite 35!
> > Glück brauchst Du bzw. wir, dass Du diesen Buchausschnitt
> > genauso wie
> > ich lesen kannst - bei google books ist das ja meist
> eher
> > "Zufall", was der/
> > die einzelne lesen darf.
> >
> > > > Irritieren tut mich immer noch etwas: [mm]R\,[/mm] wird in dem Buch
> > > > ja als Matrix
> > > > beschrieben. (Siehe Bemerkung 6.7.)
> > >
> > > Was ist denn [mm]R[/mm]?
> >
> > Für eine endlich erzeugte abelsche Gruppe [mm]G\,,[/mm] wobei [mm]S\,[/mm]
> > ein k-Tupel der Erzeuger [mm]g_1,...,g_k[/mm]
> > von [mm]G\,,[/mm] also [mm]S=(g_1,...,g_k)[/mm] ist, und
> >
> > [mm]\phi_S: \IZ^k \to G[/mm] definiert durch
> > [mm]\phi_S(z_1,...,z_k):=\sum_{m=1}^k z_m g_m[/mm]
> >
> > ist, sollen die [mm]\ell[/mm] Spalten von [mm]R\,[/mm] den Kern von [mm]\phi_S[/mm]
> > erzeugen. Insbesondere
> > ist [mm]R \in \IZ^{k \times \ell}\,.[/mm]
>
> Ok.
>
> > > > Müßte dann strenggenommen nicht anstatt
> > > >
> > > > [mm]0 \stackrel{}{\longrightarrow} \IZ \stackrel{1}{\longrightarrow} \IZ[/mm]
>
> > >
> > > >
> > > > dort
> > > >
> > > > [mm]\{0\} \stackrel{(0)}{\longrightarrow} \IZ \stackrel{(1)}{\longrightarrow} \IZ[/mm]
>
> > >
> > > >
> > > > stehen? (Wenn man alles penibelst genau notiert?)
> > > >
> > > > Wobei hier [mm]\IZ^0=\{0\}[/mm] verwendet wird - und die Null in der
> > > > Menge rechterhand
> > > > mit der leeren Abbildung [mm]\varnothing \to \IZ[/mm] zu
> > > > identifizieren wäre.
> > >
> > > Im Prinzip schon, bis auf das [mm](0)[/mm] ueber [mm]\{0\}\to\IZ[/mm]. Dies
> > > ist eine lineare Abbildung von einem freien [mm]\IZ[/mm]-Modul von
> > > Rang 0 zu einem freien [mm]\IZ[/mm]-Modul von Rang 1. Die Matrix
> > > sollte also das Format [mm]1 \times 0[/mm] (oder [mm]0 \times 1[/mm], je
> > > nachdem wie man lineare Abbildungen durch Matrizen
> > > darstellen moechte) haben, und [mm](0)[/mm] hat ein anderes Format
> > > (naemlich [mm]1 \times 1[/mm]).
> > >
> > > Da man meist kein Symbol fuer solche "leeren" Matrizen hat
> > > -- man koennte zwar [mm]()[/mm] schreiben, aber da ist dann das
> > > genaue Format auch nicht klar -- schreibt man dann meist
> > > einfach gar nichts ueber den Pfeil, da es zwischen den
> > > beiden Moduln eh nur eine einzige lineare Abbildung gibt.
> >
> > Ja, genau das irritiert mich aber: Die Spalten von [mm]R\,[/mm]
> > sollen doch den Kern
> > von [mm]\phi_S[/mm] erzeugen. Wenn man die leere Matrix hinschreiben
> > würde, wäre
> > dieser Erzeuger die leere Menge; das wird dann wohl wie in
> > der L.A. sein,
> > dass diese das neutrale Element erzeugt.
>
> Um zu verstehen was genau du meinst muesste ich wissen was
> in "deiner" Bemerkung 6.7 denn noch alles steht :)
Siehe oben: Anfang Seite 35.
> > Aber ist denn
> > nicht [mm]0\,[/mm] auch ein
> > Erzeuger von [mm]\{0\}[/mm]? Oder passt das dann wieder, wie in der
> > L.A., eher zu
> > "minimalen Erzeuger", was man da über den Pfeil
> > schreibt?
>
> Der Pfeil ist eine Abbildung. Du musst also irgendwie eine
> Abbildung angeben. Wenn du das durch eine Matrix machst,
> musst du das mit den ueblichen Gepflogenheiten der linearen
> Algebra machen: eine Matrix vom Format [mm]m \times n[/mm] ist eine
> Abbildung von [mm]R^n \to R^m[/mm] (bzw. umgekehrt, je nach
> Konvention)
Ich bleibe schon bei der Konvention $A [mm] \in R^{m \times n}$ [/mm] liefert eine lineare Abbildung
[mm] $f_A: R^n \to R^m$ [/mm] gemäß [mm] $f_A(x):=A*x$ [/mm] (und umgekehrt).
> (hier ist [mm]R[/mm] jetzt der Ring :) ). Wenn du also
> [mm](0)[/mm] schreibst fuer die Matrix, dann meinst du eine
> Abbildung [mm]\IZ^1 \to \IZ^1[/mm].
Mhm, okay: [mm] $(0)\,$ [/mm] ist dann einfach [mm] $\IZ \to \IZ$ [/mm] mit $Z [mm] \ni [/mm] z [mm] \mapsto 0\,.$ [/mm] Jetzt sehe ich's ein:
Ich kann nicht mit diesen gängigen Konventionen "brechen".
> > Zum Beispiel würde ich sagen, dass ich einsehe, dass man
> > oben
> >
> > [mm]\{0\} \stackrel{()}{\longrightarrow} \IZ ...[/mm]
> >
> > schreiben kann, aber mir ist jetzt dennoch unklar, warum
> > man nicht
> >
> > [mm]\{0\} \stackrel{(\red{0})}{\longrightarrow} \IZ ...[/mm]
> >
> > schreiben darf? Denn [mm]\{0\}[/mm] ist ja auch ein EZS von [mm]\{0\}[/mm]?
>
> Es ist ein EZS, aber da soll ja nicht das EZS vom Kern oben
> stehen, sondern eine Beschreibung der linearen Abbildung.
> Und die Abbildung korrespondiert zur leeren Matrix (vom
> Format [mm]1 \times 0[/mm] bzw. [mm]0 \times 1[/mm]).
Ich glaube, dass das generell mein "Knoten" war: Die Matrix [mm] $R\,$ [/mm] soll eigentlich
zwei Bedingungen erfüllen:
Einerseits soll sie in [mm] $\IZ^{k \times \ell}$ [/mm] sein UND ihre Spalten sollen ein Erzeuger
des Kerns von [mm] $\phi_S$ [/mm] sein. Im Buch steht's ja eigentlich auch so, bzw. ich habe
es selber betont, dass $R [mm] \in \IZ^{k \times \ell}$ [/mm] sein soll, was sich aus dem im Buch
Gesagten ergibt. Aber ich hab's dennoch die ganze Zeit missachtet.
Das wird wohl einfach mein Denkfehler gewesen sein. Richtig, oder?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:29 Fr 12.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Marcel,
> Klick!
> >
> > Das liefert mir zwar eine Seite mit einer "Bemerkung 6.7",
> > aber ich weiss nicht, was das mit dem weiter unten zu tun
> > haben soll. Denn die Bemerkung sagt nur "Sei [mm]G[/mm] eine
> > endliche zyklische Gruppe. Ein Element [mm]g \in G[/mm] erzeugt [mm]G[/mm]
> > genau dann, wenn [mm]ord \; g = ord \; G[/mm]."
>
> die Bemerkung 6.7 steht auf Seite 34, und direkt danach
> (zwischen
> Bemerkung 6.7 und dem darauffolgenden Beispiel) steht das,
> wovon ich
> hier rede/schreibe.
> Ist halt die Frage, ob Du das auch noch lesen kannst. Oben
> auf Seite 35!
Seite 35 ist bei mir nicht mehr drin, Seite 36 dafuer wieder...
Bzw. jetzt ist 35 auch drinnen. Lustig. Ich musste ein paar Seiten runter und wieder hoch blaettern, und ploetzlich konnte ich Seite 35 sehen...
> > > > > Müßte dann strenggenommen nicht anstatt
> > > > >
> > > > > [mm]0 \stackrel{}{\longrightarrow} \IZ \stackrel{1}{\longrightarrow} \IZ[/mm]
> > > > >
> > > > > dort
> > > > >
> > > > > [mm]\{0\} \stackrel{(0)}{\longrightarrow} \IZ \stackrel{(1)}{\longrightarrow} \IZ[/mm]
> > > > >
> > > > > stehen? (Wenn man alles penibelst genau notiert?)
Wie schon gesagt, ohne das $(0)$ :)
> > > > Da man meist kein Symbol fuer solche "leeren" Matrizen hat
> > > > -- man koennte zwar [mm]()[/mm] schreiben, aber da ist dann das
> > > > genaue Format auch nicht klar -- schreibt man dann meist
> > > > einfach gar nichts ueber den Pfeil, da es zwischen den
> > > > beiden Moduln eh nur eine einzige lineare Abbildung gibt.
> > >
> > > Ja, genau das irritiert mich aber: Die Spalten von [mm]R\,[/mm]
> > > sollen doch den Kern
> > > von [mm]\phi_S[/mm] erzeugen. Wenn man die leere Matrix hinschreiben
> > > würde, wäre
> > > dieser Erzeuger die leere Menge; das wird dann wohl wie in
> > > der L.A. sein,
> > > dass diese das neutrale Element erzeugt.
Die Sequenz fuer den Kern [mm] $\phi_S$ [/mm] faengt ja nicht mit 0 an. Du hast die exakte Sequenz [mm] $\IZ^\ell \overset{R}{\to} \IZ^k \overset{S}{\to} [/mm] G$. Da die Spalten von $R$ genau den Kern von [mm] $\IZ^k \to [/mm] G$ erzeugen, ist alles in Butter.
> Ich bleibe schon bei der Konvention [mm]A \in R^{m \times n}[/mm]
> liefert eine lineare Abbildung
> [mm]f_A: R^n \to R^m[/mm] gemäß [mm]f_A(x):=A*x[/mm] (und umgekehrt).
>
> > (hier ist [mm]R[/mm] jetzt der Ring :) ). Wenn du also
> > [mm](0)[/mm] schreibst fuer die Matrix, dann meinst du eine
> > Abbildung [mm]\IZ^1 \to \IZ^1[/mm].
>
> Mhm, okay: [mm](0)\,[/mm] ist dann einfach [mm]\IZ \to \IZ[/mm] mit [mm]Z \ni z \mapsto 0\,.[/mm]
> Jetzt sehe ich's ein:
> Ich kann nicht mit diesen gängigen Konventionen
> "brechen".
Genau.
> > > Zum Beispiel würde ich sagen, dass ich einsehe, dass man
> > > oben
> > >
> > > [mm]\{0\} \stackrel{()}{\longrightarrow} \IZ ...[/mm]
> > >
> > > schreiben kann, aber mir ist jetzt dennoch unklar, warum
> > > man nicht
> > >
> > > [mm]\{0\} \stackrel{(\red{0})}{\longrightarrow} \IZ ...[/mm]
> >
> >
> > > schreiben darf? Denn [mm]\{0\}[/mm] ist ja auch ein EZS von [mm]\{0\}[/mm]?
> >
> > Es ist ein EZS, aber da soll ja nicht das EZS vom Kern oben
> > stehen, sondern eine Beschreibung der linearen Abbildung.
> > Und die Abbildung korrespondiert zur leeren Matrix (vom
> > Format [mm]1 \times 0[/mm] bzw. [mm]0 \times 1[/mm]).
>
> Ich glaube, dass das generell mein "Knoten" war: Die Matrix
> [mm]R\,[/mm] soll eigentlich
> zwei Bedingungen erfüllen:
> Einerseits soll sie in [mm]\IZ^{k \times \ell}[/mm] sein UND ihre
> Spalten sollen ein Erzeuger
> des Kerns von [mm]\phi_S[/mm] sein. Im Buch steht's ja eigentlich
> auch so, bzw. ich habe
> es selber betont, dass [mm]R \in \IZ^{k \times \ell}[/mm] sein
> soll, was sich aus dem im Buch
> Gesagten ergibt. Aber ich hab's dennoch die ganze Zeit
> missachtet.
>
> Das wird wohl einfach mein Denkfehler gewesen sein.
> Richtig, oder?
Ich denke schon.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Fr 12.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Felix,
die Frage mit dem [mm] $(0)\,$ [/mm] über dem Pfeil hatte sich irgendwie wiederholt - ich
seh's nun ein, dass das nicht passt, weil ich sonst halt einfach mit den
gängigen Konventionen breche (ich dachte mir schon was dabei, aber das
bricht wirklich damit).
Warum die nochmal auftauchte, weiß ich nicht. Das war ja der Original
Wortlaut... C&P oder so ^^
Nochmal vielen Dank an Dich und auch an Schadowmaster!! Ich denke, nun
ist alles geklärt.
Gruß,
Marcel
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