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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Fr 24.09.2004 | | Autor: | Bina02 |
Hallo ihr Lieben!
Habe vergessen, noch zwei Dinge zu erwähnen, die mir ebenfalls noch unklar sind.
Zum einen: Welche Elemente liegen in der Klasse (3,4) bei einer Relation R auf N*xN* , gegeben durch (a,b) R (c,d) <-> a*d = b*c ?
- Leider wird die Thematik Klasseneinteilung in meinem Heft nur sehr dürftig angeschnitten und auch diverse andere Bücher helfen mir nicht so recht weiter. Bin also für jede Hilfe dankbar!
Zum anderen:
Wie lautet die Umkehrrelation zu K = { (x,y) / [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 25} , x E [0,5] ,
y E [-5,5] - Die Ausgangsfunktion habe ich schon gezeichnet ( ergibt einen Halbkreis). Aber irgendwie bin ich total verblendet für die Umkehrfunktion, obwohl mir das sonst keine Schwierigkeiten bereit!
So, das wären meine " neuen" Fragen. Daneben kann ich übrigens die Erläuterungen zu meinem letzten Post, bezüglich Surjektivität etc. nicht ganz nachvollziehen.
Nochmal die Ausgangsfunktion: F: R-> Wf ( Wertebereich der Funktion) mit y = x + Betrag x (die Betragsstriche nur bei x) - 2
- Meiner Meinung nach wird Betrag x immer positiv, egal ob x positiv oder negativ gewählt wird. Es wurde mir aber gesagt, das für x < 0, x mit den Betragsstrichen negativ wird. Bin also sehr verwirrt, dies betreffend. Außerdem versteh ich nicht, wie ich die Injektivität, Surjektivität und Bijektivität nun feststellen soll. Einfach Beispiele wählen? Meiner Meinung nach kann die Funktion schon einmal nicht bijektiv sein, da beispielsweise 2 und -2 jeweils der gleiche Wert zu geordnet wird.
Schoneinmal wieder vielen, vielen Dank für eure Bemühungen!
Ich weiß eure Anstrengungen wirklich zu schätzen! :)
Lg, Sabrina :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Fr 24.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sabrina
da es sich um zwei voneinander fast unabhängige Fragen handelt, solltest du eigentlich 2 einzelne Fragen stellen. Wir zwei werden uns einmal mit der 1. Teilaufgabe beschäftigen.
> Zum einen: Welche Elemente liegen in der Klasse (3,4) bei
> einer Relation R auf N*xN* , gegeben durch (a,b) R (c,d)
> <-> a*d = b*c ?
>
Zunächst ist es nützlich, dass du die oben gegebene Begriffe Klasse und Relation verstehst. Wenn das der Fall ist, fällt dir die Antwort, wie im Paradies, einfach so in den Schoss!
Ich empfehle dir eigentlich ganz generell: lege tierischen Wert darauf, dass du die Definitionen richtig vestehst! Damit ist in der Regel der Mist dann meistens schon fertig geführt. 
Also: Eine Relation ist eine Teilmenge aus [mm] $\mathbb{A} \times \mathbb{A}$
[/mm]
Jetzt muss zuerst klar sein, was denn [mm] $\mathbb{A} \times \mathbb{A}$ [/mm] überhaupt ist.
Da es eigentlich nicht mir klar werden muss, sondern dir, stelle ich dir dazu eine selbsterfundene Aufgabe, die du bitte löst:
Gegeben sei die Menge [mm] $\mathbb{M} [/mm] = [mm] \{$Brot,Käse,Salami$\}$
[/mm]
Kannst du mir bitte in einem ersten Schritt alle Elemente von [mm] $\mathbb{M} \times \mathbb{M}$ [/mm] aufzählen?
Auch wüsste ich ganz gern, ob du weisst, was eigentlich unter [mm] $\mathbb{N}^{\ast}$ [/mm] zu verstehen ist.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Fr 24.09.2004 | | Autor: | Bina02 |
Hallo Paulus!
Zu deinem "Beispiel" : Find ich ja witzig, mit dem Brot und dem Käse ;) Also das Prinzip ist das kartesische Produkt, sprich jedes Element in Reihenfolge gepaart (hab deine Antwort grad nicht vorliegen, deshalb sag ich dir nur das ich weiß was Relationen etc. sind). Es geht mir bei der Aufgabe auch nur darum da sich das mit der Klasse (3,4) nicht versteh, da ich ja "nur" ein Buchstabenbeispiel vorliegen hab. N* heißt übrigens die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null ;)
Möchte meine HA heut gerne noch fertig schreiben, deshalb hoffe ich das du mir weiter helfen kannst!
LG und danke, Sabrina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Fr 24.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sabrina
du hättest das jetzt an meine erste Frage/Antwort anhängen sollen, damit die Teilaufgaben schön unterteilt werden können.
Wäre aber schon gut gewesen, wenn du die kleine Aufzählung mal gemacht hättest. Nur wenn man wirklich ganz konkret etwas macht, kann man beurteilen, ob man es wirklich verstanden hat! Und bei dir vermute ich eben noch einige Lücken, die schon seriös aufgefüllt werden sollten! Mathe kann man nur lernen, wenn man sie versteht, nicht, wenn man sie auswendig gelernt hat!
Also, dann halt die Schreibarbeit bei mir:
Bitte nur mit ja oder nein antworten, damit wir zügig voran kommen!
1) Hättest du das Folgende aufgezählt?
(Brot,Käse)
(Brot,Salami)
(Käse Salami)
2) Oder hättest du zusätzlich noch die Paare
(Brot,Brot)
(Käse,Käse)
(Salami,Salami)
aufgezählt?
3) Falls du 2) mit "ja" beantwortet hast: hast du jetzt alle Paare aufgezählt?
Mir lieben Grüssen
Paul
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Fr 24.09.2004 | | Autor: | Bina02 |
Hallo Paulus :)
Ich glaube es ist immer schwer zu beurteilen, wie gut jemand Mathe beherrscht oder nicht, wenn man "nur" spezielle Fragen postet. Ich bin weiß Gott nicht dumm in Mathe, sonst würd ich ja nur Fragen posten und auch schlechte Noten erhalten, was ich aber nicht tue :) Das nur mal am Rande, bitte nicht falsch verstehen :) Es gibt ja schließlich auch Leute die sich kaum Mühe bei dem Verständnis eines Themas geben und von vornherein alles in Foren posten.
So, zu deiner Aufzählung:
Es fehlen noch : Salami /Käse und Käse / Brot ( hmm, da kriegt man Hunger ;))
Lg, Sabrina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Fr 24.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sabrina
sehr gut, jetzt bin ich beruhigt. Ich glaube aber, es fehlt auch noch (Salami,Brot).
Ja, ich wollte eigentlich nur darauf hinaus, dass zwischen (a,b) und (b,a) unterschieden wird.
Nun also zu deine Aufgabe. Jetzt kann ich ja etwas schneller machen, da ich nun weiss, dass du doch einige Grundlagen mitbringst! 
Also: wir wissen, dass eine Teilmenge von [mm] $\mathbb{N}^{\ast} \times \mathbb{N}^{\ast}$ [/mm] gesucht ist.
Ich beginne mal, einfach so zum Verständnis, die Elemente von [mm] $\mathbb{N}^{\ast} \times \mathbb{N}^{\ast}$ [/mm] aufzuzählen (Keine Angst, ich zähle nicht alle auf!
$(1,1)$
$(1,2)$
$(1,3)$
$(1,4)$
$(1,5)$
$(1,6)$
$(2,1)$
$(2,2)$
$(2,3)$
$(2,4)$
$(2,5)$
$(2,6)$
$(3,1)$
$(3,2)$
$(3,3)$
.......
Du kannst dir sicher vorstellen, dass es noch einige mehr gäbe!
So, wir wollen aber nicht alle Elemente von [mm] $\mathbb{N}^{\ast} \times \mathbb{N}^{\ast}$, [/mm] sondern nur eine Teilmenge davon, oder eben eine Relation.
Dazu müssen wir aber noch wissen, aufgrund von was wir denn die guten ins Töpfchen und die schlechten ins Kröpfchen legen sollen.
Da gibt uns aber die Aufgabenstelleung die nötige Information:
Es sind nur die $(x,y)$ zu wählen, bei denen gilt: $x*y=12$
Edit: oh, da war ich etwas voreilig... Aber trotzdem, ich erklärs dir dann nachher, wie ich auf $x*y=12$ gekommen bin. Vielleicht findest dus ja auch selber heraus?
Ist eigentlich ganz einfach, oder nicht?
Kannst du die Aufgabe mal bitte lösen? ... dann schreibe ich noch ein ganz kleines Weniges über die Klasse.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Bina02 |
Hallo Paulus!
Ich nehme mal an das du auf x*y = 12 gekommen bist, da die Klasse (3,4) gegeben ist, sprich 3*4 ( 3 = a und 4 = b). Durch die Äquivalenz folgt dann, dass d = 4 und c = 3 sein muß. Liege ich da richtig?
Falls ich damit richtig liege, würde ich folgende Elemente in diese Klasse einordnen: 2, 6, 12, 1, 3, 4
Wäre auch superlieb, wenn du mir die Schreibweise für die Aufzählung der Elemente nennen könntest. Kenne vorrangig die graphische. Oder kann ich einfach : K (3,4) = { 1,2,3,4,6,12} schreiben?
Lg, Sabrina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sabrina
> Hallo Paulus!
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> Ich nehme mal an das du auf x*y = 12 gekommen bist, da die
> Klasse (3,4) gegeben ist, sprich 3*4 ( 3 = a und 4 = b).
Ja, darum bin ich darauf gekommen!
> Durch die Äquivalenz folgt dann, dass d = 4 und c = 3 sein
> muß. Liege ich da richtig?
Nein, das stimmt so nicht. Aber vielleicht meinst du es schon richtig!
Die Relation wurde ja so gegeben:
$(a,b) R (c,d) [mm] \Leftrightarrow [/mm] a*d = b*c$
Das heisst übersetzt: die Paare $(a,b)$ und $(c,d)$ gehören zur gleichen Relation, wenn eben gilt: $a*d = b*c$
Oh NEIN! ZuckerHonigEisTee! Ich habe die Aufgabe falsch gelesen!! Ich hatte gelesen: $a*b = c*d$ das ist ja gar nicht so! Das mit der 12 solltest du also schnell wieder vergessen.
Nein, jetzt musst du einfach alle Paare $(x,y)$ suchen, so dass gilt:
$3y=4x$
Ist das verständlich, warum das so ist?
Daraus schliesse ich, dass gilt: [mm] $y=\bruch{4x}{3}$. [/mm] Damit das aufgeht, muss $x$ durch 3 teilbar sein.
Man könnt die Lösung dann so angeben:
[mm] $\mathbb{L}=\{(3,4),(6,8),(9,12),(12,16),...\}$
[/mm]
Wenn dir die Dreipunktemethode nicht gefällt (sie gefällt mir auch nicht), dann halt eher so:
[mm] $\mathbb{L}=\{(x,y) \in \mathbb{N}^{\ast} \times \mathbb{N}^{\ast} \mid x=3*k \wedge y=4*k \wedge k \in \mathbb{N}^{\ast}\}$
[/mm]
oder ähnlich.
Es ist ja so, dass durch das Element $(3,4)$ alle anderen Paare bestimmt sind. Diese Paare zusammen bilden als Menge aufgefasst eine sogenannte Klasse. Die Klasse ist bei àquivalenzrelationen dadurch charakterisiert, dass durch die Angabe eines beliebigen Elementes eben die ganze Klasse eindeutig bestimmt ist. Dabei darf ein beliebiges Element genommen werden, es wird immer die selbe Klasse erzeugt. Die ganze Klasse ist also durch einen einzigen Repräsentanten bestimmt!
Man hätte also auch in der Aufgabe zum Beispiel an Stelle von $(3,4$ gerade so gut $(315,420)$ vorgeben können, und die Lösungsmenge hätte die selbe sein müssen. Das prüfst du vielleicht auch bei Gelegenheit nach?
> Falls ich damit richtig liege, würde ich folgende Elemente
> in diese Klasse einordnen: 2, 6, 12, 1, 3, 4
>
Na ja, das ist dann wohl auch falsch. Mein Fehler! ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
Mit lieben Grüssen
Paul
P.S. Entschuldige bitte meinen Schusselfehler!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 Fr 24.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Sabrina
>
> Zum anderen:
> Wie lautet die Umkehrrelation zu K = $\{$ (x,y) / [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
=
> 25$\}$ , x E [0,5] ,
> y E [-5,5] - Die Ausgangsfunktion habe ich schon
> gezeichnet ( ergibt einen Halbkreis). Aber irgendwie bin
> ich total verblendet für die Umkehrfunktion, obwohl mir das
> sonst keine Schwierigkeiten bereit!
>
Da muss ich leider zuerst zurückfragen: was versteht ihr denn unter einer Umkehrrelation? Ich habe diesen Begriff noch nie gehört!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:56 Fr 24.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sabrina
jetzt habe ich mir selber Ueberlegt, was gemeint sein könnte!
Nämlich dieses: Jede Relation kann auch aufgefasst werden als Paar $(x,y)$ zusanmmen mit einer Funktion $f$, wobei gilt: $y=f(x)$.
Das würde also heissen: wenn man die Beziehung [mm] $x^{2}+y^{2}=25$ [/mm] kennt, kann man sich das so vorstellen: gegeben ist das $x$, und der Funktionswert ist dann so zu bestimmen, dass [mm] $x^{2}+y^{2}=25$ [/mm] gilt.
Das ist aber dann keine Funktion mehr, zu $x=3$ gibt es ja ein $y=-4$ und ein $y=+4$, so dass die Relationsbedingung (Gleichung) erfüllt ist.
Unter Umkehrrelation wird dann offenbar verstanden: gegeben ist der $y$-Wert, gesucht ist die Funktion, wie sich daraus der $x$-Wert berechnen lässt.
Die Frage ist dann natürlich auch: lässt sich eine solche Funktion überhaupt bilden?
In deinem Beispiel also: du hast ja herausgefunden, dass der Graph der Funktion ein Halbkreis ist. Jetzt die Frage: wenn $y=-3$ gegeben ist, lässt sich dann eindeutig (als Bedingung für eine Funktion) ein $x$-Wert bestimmen?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Bina02 |
Hallo Paulus! :)
Ja , es existiert eine Umkehrfunktion die y= -3 genau einen x- Wert zuordnet. Könntest du mir vielleicht noch sagen, wie die Umkehrfunktion lautet? In der Darstellung ist die Umkehrfunktion beschränkt auf das " Rechteck" x E [-5,5] und y E [0,5]. Ist das so korrekt? ;)
Zu meiner Aufgabe mit der Surjektivität etc. hab ich nun folgendes geschrieben:
- Die Funktion y= x+ Betrag x -2 ist surjektiv, da jedem f(x) mindestens ein x- Wert zugeordnet wird. Die Funktion ist hingegen nicht injektiv, da z.b. 1 und -1 den gleichen Funktionswert aufweisen f(1) = f(-1) = 0. Daher ist die Funktion auch nicht bijektiv!
Ist das alles so ok? Falls ja, wären wir ja endlich durch mit der Thematik ;)
Nochmals vielen lieben Dank an dich!
Lg, Sabrina :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sabrina
> Hallo Paulus! :)
>
> Ja , es existiert eine Umkehrfunktion die y= -3 genau einen
> x- Wert zuordnet. Könntest du mir vielleicht noch sagen,
> wie die Umkehrfunktion lautet? In der Darstellung ist die
> Umkehrfunktion beschränkt auf das " Rechteck" x E [-5,5]
> und y E [0,5]. Ist das so korrekt? ;)
>
Jetzt bin ich aber wirklich ein Bisserl verwirrt!
In der Aufgabenstellung hast du das doch genau umgekehrt geschrieben!:
$x [mm] \in [/mm] [0,5]$ und $y [mm] \in [/mm] [-5,5]$
Und genau in diesem Falle hat die Funktion, die mittels der Beziehung
[mm] $x^{2}+y^{2}=25$ [/mm] gegeben ist, eine Umkehrfunktion.
Die solltest du aber schon selber ermitteln können!
Tip: löse die obige Gleicghung nach $x$ auf!
Poste das Ergebnis unbedingt wieder, es gibt dann noch eine kleine Bemerkung zu machen!
Mit lieben Grüssen
Paul
P.S. Für die Teilaufgabe c) habe ich ja einen eigenen Strang eröffnet! Bleiben wir also dort. Ich antworte gleich dort!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Bina02 |
Hallo Paulus ! :)
Also, wenn ich die Umkehrrelation nehme, werde die Intervalle von x und y ja vertauscht, sprich x E [-5,5] und y E [0,5]. Aufgelöst nach x erhalte ich :
x = 5 - y
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sabrina
> Hallo Paulus ! :)
>
> Also, wenn ich die Umkehrrelation nehme, werde die
> Intervalle von x und y ja vertauscht, sprich x E [-5,5] und
> y E [0,5]. Aufgelöst nach x erhalte ich :
> x = 5 - y
>
Also nein doch.
Wenn man eine Abbildung von A nach B hat, und man einmal festgelegt hat, dass man die Urbilder, also die Elemente von A mit dem Buchstaben $x$ bezeinen will, und die Elemente des Wertebereichs mit $y$, dann bleibt man auch dabei!
Das heisst, die Intervalle sind dann immer noch die gleichen!
Man rechnet dann: $y = f(x)$
Für die Umkehrfunktion, die dann eine Abbildung voin B nach A ist, sagt man dann: [mm] $x=f^{-1}(y)$
[/mm]
Es gilt also immer: $x [mm] \in [/mm] A$ und $y \ in B$, egal ob ich vorwärts ober rückwärts rechne.
Jetzt weiss ich auch gar nicht, wie du denn die Gleichung aufgelöst hast. Du erhältst ja plötzlich eine Geradengleichung. Das verwirrt mich aber sehr. Also, ich hätte die Gleichung folgendermassen nach $y$ aufgelöst:
[mm] $x^{2}+y^{2}=25$
[/mm]
[mm] $y^{2}=25-x^{2}$
[/mm]
[mm] $y=\pm\wurzel{25-x^{2}}$
[/mm]
Weil wir aber wissen, dass gilt: $x [mm] \in [/mm] [0,5]$ weiss man, dass das Minus-Zeichen auszuschliessen ist. Es gilt also:
[mm] $y=\wurzel{25-x^{2}}$ [/mm] (positiv!)
Somit hat die Relation, auf die gegebenen Intervalle eingeschränkt, tatsächlich eine Umkehrfunktion. (Weil ja der errechnete $x$-Wert eindeutig ist, das ist eine Bedingung für Funktionen)
Die Relation selber ist nämlich gar keine Funktion $y=f(x)$, weil ja für fast jeden $x$-Wert 2 $y$-Werte existieren, die der Bedingung [mm] $x^{2}+y^{2}=25$ [/mm] genügen!
Ist jetzt alles klar?
Mit lieben Grüssen
Paul
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Fr 24.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sabrina
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> Nochmal die Ausgangsfunktion: F: R-> Wf ( Wertebereich der
> Funktion) mit y = x + Betrag x (die Betragsstriche nur bei
> x) - 2
>
> - Meiner Meinung nach wird Betrag x immer positiv, egal ob
> x positiv oder negativ gewählt wird. Es wurde mir aber
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, das ist korrekt, mit einer ganz kleinen Präzisierung: der Betrag ist nicht immer positiv, er ist lediglich immer "nicht negativ".
Das ist zwar nur eine ganz kleine Nuance, aber doch ein kleiner Unterschied. Es bedutet nämlich, dass der Betrag auch Null sein kann!
> gesagt, das für x < 0, x mit den Betragsstrichen negativ
> wird. Bin also sehr verwirrt, dies betreffend. Außerdem
Ich glaube, da hast du nur etwas nicht ganz verstanden.
Die Aussage ist die:
Wenn ein Wert [mm] $\ge [/mm] 0$ ist, dann berechnet sich sein Betrag so: [mm] $\mid [/mm] x [mm] \mid [/mm] = x$ Der Betrag stimmt dann mit dem Wertselber überein.
Wenn ein Wert $< 0$ ist, dann berechnet sich sein Betrag so: [mm] $\mid [/mm] x [mm] \mid [/mm] = -x$
Das bedeutet keinesfalls, dass der Betrag negativ ist!
Als Beispiel:
Aufgabe: Berechne den Betrag von $-7$
Lösung: Weil $-7 < 0$ gilt, berechnet sich der Betrag gemäss der Formel
[mm] $\mid [/mm] x [mm] \mid [/mm] = -x$, also
[mm] $\mid [/mm] -7 [mm] \mid [/mm] = -(-7) = +7$
Wie du siehst, ist der Betrag also gemäss der Formel errechnet worden und ist positiv!
> versteh ich nicht, wie ich die Injektivität, Surjektivität
> und Bijektivität
Injektivität: du musst nur schauen, ob ein Wert des Wertebereichs, falls er Funktionswert ist, nicht mehr als ein Urbild hat.
Beispiel: $f: [mm] \mathbb{R} \to \mathbb{R};\, [/mm] f(x) = [mm] x^{2}-1$
[/mm]
ist nicht injektiv, denn der FunktionsWert $0$ kommt vor, aber er ist das Bild von $-1$ und auch das Bild von $+1$!
Anderst gesagt: Jedes Element des Wertebereichs darf höchstens ein Urbild haben. Das heisst also $0$ oder $1$ Urbild.
Surjektivität: Ist ganz einfach: du musst nur untersuchen, ob jedes Element des Wertebereichs auch mindestens ein Urbild hat.
Unser Beispiel ist nicht surjektiv, da zum Beispiel $-2$ kein Urbild hat!
Bijektivität: es müssen einfach beide obengenannten Untersuchungen durchgeführt werden. Wenn du zum Schluss kommst: die Funktion ist sowohl injektiv als auch surjektiv, dann ist die Funktion auch bijektiv, sonst nicht!
Zu einer bijektiven Funktion existiert eine Umkehrfunktion!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sabrina
du hast geschrieben:
> Zu meiner Aufgabe mit der Surjektivität etc. hab ich nun
> folgendes geschrieben:
>
> - Die Funktion y= x+ Betrag x -2 ist surjektiv, da jedem
> f(x) mindestens ein x- Wert zugeordnet wird. Die Funktion
> ist hingegen nicht injektiv, da z.b. 1 und -1 den gleichen
> Funktionswert aufweisen f(1) = f(-1) = 0. Daher ist die
> Funktion auch nicht bijektiv!
Da komme ich nicht ganz mit!
Surjektiv wäre die Funktion doch, wenn jede Zahl des Wertebereichs ein Urbild hätte.
Welches Urbild hat denn zum Beispiel $-3$?
Anders formuliert: was für ein $x$ kannst in der Funktion
$f(x) = x + [mm] \mid [/mm] x [mm] \mid [/mm] - 2$
einsetzen, damit die Formel $-3$ ergibt?
Ich schlage vor: schreibe die Funktion doch mal in 2 Teilen auf, indem du den Definitionsbereich in 2 Teile aufteilst. Die Trennung machst du am besten dort, wo die Funktion [mm] $\mid [/mm] x [mm] \mid$ [/mm] anders zu berechnen ist. Du weisst ja: manchmal gilt: [mm] $\mid [/mm] x [mm] \mid= [/mm] x$, machmal aber [mm] $\mid [/mm] x [mm] \mid [/mm] = -x$.
Wo ist diese Grenze, und wie lauten die beiden Teilfunktionen dann?
Diese Funktion würde cih dann auch in einem $x-y-$Achsenkreuz einzeichnen.
Mit lieben Grüssen
Paul
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Bina02 |
Hallo Paulus!
Jetzt verstehe ich nur Bahnhof ( kann aber auch meinen irren Kopfschmerzen liegen). Was meinst du mit aufteilen? Betrag x wird doch auch für negative Werte wie z.b. -5 positiv, ansonsten würde man das Vorzeichen ja ausklammern,oder?
So, ich nehm jetzt erstmal ne Kopfschmerztablette und komme dann später nochmal wieder.
Lg, Sabrina
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sabrina
> Hallo Paulus!
>
> Jetzt verstehe ich nur Bahnhof ( kann aber auch meinen
> irren Kopfschmerzen liegen). Was meinst du mit aufteilen?
> Betrag x wird doch auch für negative Werte wie z.b. -5
> positiv, ansonsten würde man das Vorzeichen ja
> ausklammern,oder?
>
Nun, wir haben ja festgestellt, dass gilt:
[mm] $\mid [/mm] x [mm] \mid [/mm] = x$ für $x [mm] \ge [/mm] 0$ und
[mm] $\mid [/mm] x [mm] \mid [/mm] = -x$ für $x < 0$
Das heisst: bei $x = 0$ ergibt sich eine Aenderung der Formel zur Berechnung des Funktionswertes [mm] $y=\mid [/mm] x [mm] \mid$
[/mm]
Also: du musst rechnen:
$y = x + [mm] \mid [/mm] x [mm] \mid [/mm] - 2$
Wenn man das ohne Betragsstriche angeben will muss man also schreiben:
$y=x+x-2$ für $x [mm] \ge [/mm] 0$
$y=x-x-2$ für $x < 0$
Etwas zusammengefasst:
$y=2x-2$ für $x [mm] \ge [/mm] 0$
$y=-2$ für $x < 0$
Siehst du nun, dass ich den Definitionsbereich in einen Teil $x<0$ und eine Teil $x [mm] \ge [/mm] 0$ aufgeteilt habe?
Und wenn du das mal aufzeichnest?
Dann gibts links der $y$-Achse eine Parallele zur $x$-Achse, bei $y=-2$.
Rechts der $y$-Achse aber eine Gerade mit Steigung 2.
An dieser Zeichnung siehst du jetzt doch sehr schön, dass die Funktion nicht injektiv ist, weil ja $-2$ der Funktionswert von Aberbilliarden von $x$-Werten ist, nämlich von allen $x$, die kleiner als $0$ sind.
Weil diese Funktion schon mal nicht injektiv ist, kann sie auch nicht bijektiv sein!
Wie siehts den bezüglich Surjektivität aus?
Auch das erkennst du ganz einfach an unserem Schaubild: kein einziges $y$, das kleiner als $-2$ ist, taucht als Funktionswert auf! Die Funktion ist also auch nicht surjektiv!
Ist jetzt alles klar?
Mit lieben Grüssen
Paul
P.S.
Ich wünsche dir gute Besserung von den Kopfschmerzen. Keine gute Voraussetzung, um Mathe zu lernen, sprich zu begreifen!
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