Welche Aussagen sind möglich? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Di 14.06.2016 | | Autor: | hilbert |
Ich habe eine sehr allgemeine Frage. Man stelle sich folgende Situation vor:
Man habe zwei stetige Funktionen [mm] f:\mathbb{R}_{>0}\mapsto\mathbb{R}^n [/mm] und [mm] g:\mathbb{R}^2_{>0}\mapsto\mathbb{R}_{>0} [/mm] mit folgendem Zusammenhang:
$f(x) [mm] \cdot [/mm] f(y)=f(g(x,y))$
für alle $x,y>0.$
Kann man daraus irgendeine Gesetzmäßigkeit herleiten oder können die wildesten Funktionen dort auftreten?
Für $g(x,y)=xy$ folgt ja beispielsweise, dass [mm] $f(x)=x^n$ [/mm] für irgendein $n$.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Di 14.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe eine sehr allgemeine Frage. Man stelle sich
> folgende Situation vor:
>
> Man habe zwei stetige Funktionen
> [mm]f:\mathbb{R}_{>0}\mapsto\mathbb{R}^n[/mm] und
> [mm]g:\mathbb{R}^2_{>0}\mapsto\mathbb{R}_{>0}[/mm] mit folgendem
> Zusammenhang:
>
> [mm]f(x) \cdot f(y)=f(g(x,y))[/mm]
Da stimmt etwas nicht ! f nimmt Werte im [mm] \IR^n [/mm] an. Dann kann das "Produkt" $]f(x) [mm] \cdot [/mm] f(y)$ eigentlich nur das Skalarprodukt auf [mm] \IR^n [/mm] sein.
Dann ist aber die linke Seite von
[mm]f(x) \cdot f(y)=f(g(x,y))[/mm]
eine reelle Zahl, die rechte Seite aber ist ein Vektor ?
FRED
>
> für alle [mm]x,y>0.[/mm]
>
> Kann man daraus irgendeine Gesetzmäßigkeit herleiten oder
> können die wildesten Funktionen dort auftreten?
>
> Für [mm]g(x,y)=xy[/mm] folgt ja beispielsweise, dass [mm]f(x)=x^n[/mm] für
> irgendein [mm]n[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Di 14.06.2016 | | Autor: | hilbert |
Da war ich mit meinem Kopf wohl ganz woanders. Entschuldigt!
$f$ bildet auch in die reellen Zahlen ab.
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Du kannst ja einfach
[mm]g(x,y) = f^{-1} \left( f(x) \cdot f(y) \right)[/mm]
nehmen. Das funktioniert, wenn [mm]f[/mm] auf seinem Bildbereich umkehrbar ist und [mm]f(x) \cdot f(y)[/mm] in diesem Bildbereich liegt. Drei Beispiele.
Beispiel 1
[mm]f: (0,\infty) \to (0,1) \, , \ \ f(x) = \frac{1}{1+x^2}[/mm]
[mm]g(x,y) = \sqrt{(1+x^2)(1+y^2) - 1}[/mm]
Beispiel 2
[mm]f: (0,\infty) \to (1,\infty) \, , \ \ f(x) = \operatorname{e}^x[/mm]
[mm]g(x,y) = x+y[/mm]
Beispiel 3
[mm]f: (0,\infty) \to (1,\infty) \, , \ \ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + 1[/mm]
[mm]g(x,y) = \frac{xy}{\left( 1 + \sqrt{x} + \sqrt{y} \right)^2}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:19 Mi 15.06.2016 | | Autor: | hippias |
Damit [mm] $f^{-1}(f(x)f(y))$ [/mm] überhaupt definiert ist, muss das Bild von $f$ multiplikativ abgeschlossen sein. Die Injektivität von $f$ ist nicht notwendig:
Sei [mm] $f:\IR\to \IR$ [/mm] so, dass sein Bild $B$ multiplikativ abgeschlossen ist. Es sei [mm] $h:B\to \IR$ [/mm] so, dass $f(h(y))= y$ ist (eine solche Funktion existiert stets).
Definiert man $g(x,y):= h(f(x)f(y))$, so gilt $f(g(x,y))= f(x)f(y)$.
Man kann es also so zusammenfassen: Sei [mm] $f:\IR\to \IR$. [/mm] Es existiert genau dann ein [mm] $g:\IR^{2}\to \IR$ [/mm] mit $f(g(x,y))= f(x)f(y)$, wenn $Bild f$ multiplikativ abgeschlossen ist.
Gilt auch die Umkehrung, d.h. ist $g(x,y)$ notwendig von der Gestalt $h(f(x)f(y))$ für eine einseitige Inverse von $f$? Das ist jedenfalls dann der Fall, wenn $1$ im Bild von $f$ ist.
Zu der anderen Frage, ob es zu jedem $g$ passende $f$ gibt, kann ich nichts sagen.
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Ist aber dein [mm]h[/mm] auch stetig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:57 Mi 15.06.2016 | | Autor: | hippias |
Sicher nur in den seltesten Fällen.
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