Welches Skalarprodukt? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
folgende Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Teilaufgabe (a) habe ich schon gelöst. War nicht schwer. Nun aber zu (b). Ich soll in dem Untervektorraum U eine Orthonormalbasis bzgl. des Skalarprodukts < [mm] \cdot [/mm] , [mm] \cdot [/mm] > bestimmen. Mir ist das Verfahren klar mit dem ich die Orthonormalbasis bestimmen kann.
Mir ist aber nicht ganz klar mit welchem Skalarprodukt ich rechnen soll. Meinen die Aufgabensteller das Skalarprodukt aus Teilaufgabe (a) oder das Standardskalarprodukt, also die jeweiligen Komponenten der Vektoren multiplizieren und davon die Summe bilden.
Das wärs auch schon. :) Danke.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 So 18.05.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
gemeint ist das Skalarprodukt aus a).
Solche Aufgabenstellungen sind typisch; in der a) zeigen, dass ein bestimmter Sachverhalt vorliegt und diesen dann in der b) verwenden/ausnutzen.
Wenn es bei der Berechnung fragen gibt, hilft dir das hier vielleicht weiter.
MfG barsch
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Hallo nochmal,
danke. Habe nun mal versucht die ONB zu finden.
Habe folgendes Schema benutzt:
[mm] y_1 [/mm] := [mm] x_1
[/mm]
[mm] y_{k+1} [/mm] := [mm] x_{k+1} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{k} \frac{}{||y_i||^2} y_i, [/mm] k = 1, ..., n-1
Mit [mm] x_1, [/mm] ..., [mm] x_n [/mm] die Vektoren, die U aufspannen.
Damit ergibt sich für die y's:
[mm] y_1 [/mm] = [mm] x_1
[/mm]
[mm] y_2 [/mm] = [mm] (\frac{-2}{5}, [/mm] -1, 0, [mm] \frac{14}{5})^T
[/mm]
[mm] y_3 [/mm] = [mm] (\frac{-448}{225}, \frac{91}{45}, [/mm] 1, [mm] \frac{-14}{225})^T
[/mm]
[mm] y_4 [/mm] = [mm] (\frac{94897}{25475}, \frac{-4389}{5095}, \frac{-2864}{1019}, \frac{-145904}{25475})^T
[/mm]
Die grossen Zahlen machen mich da sehr "skeptisch" - habe es aber zwei mal nachgerechnet...
Die Vektoren müsse ich noch normieren und dann wäre ich fertig. Aber das sieht komisch aus...
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Hallo abi2007LK,
> Hallo nochmal,
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> danke. Habe nun mal versucht die ONB zu finden.
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> Habe folgendes Schema benutzt:
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> [mm]y_1[/mm] := [mm]x_1[/mm]
> [mm]y_{k+1}[/mm] := [mm]x_{k+1}[/mm] - [mm]\summe_{i=1}^{k} \frac{}{||y_i||^2} y_i,[/mm]
> k = 1, ..., n-1
>
> Mit [mm]x_1,[/mm] ..., [mm]x_n[/mm] die Vektoren, die U aufspannen.
>
> Damit ergibt sich für die y's:
>
> [mm]y_1[/mm] = [mm]x_1[/mm]
>
> [mm]y_2[/mm] = [mm](\frac{-2}{5},[/mm] -1, 0, [mm]\frac{14}{5})^T[/mm]
>
> [mm]y_3[/mm] = [mm](\frac{-448}{225}, \frac{91}{45},[/mm] 1,
> [mm]\frac{-14}{225})^T[/mm]
>
> [mm]y_4[/mm] = [mm](\frac{94897}{25475}, \frac{-4389}{5095}, \frac{-2864}{1019}, \frac{-145904}{25475})^T[/mm]
>
> Die grossen Zahlen machen mich da sehr "skeptisch" - habe
> es aber zwei mal nachgerechnet...
>
> Die Vektoren müsse ich noch normieren und dann wäre ich
> fertig. Aber das sieht komisch aus...
Ist auch komisch.
Ab dem zweiten Vektor stimmt das nicht (einschliesslich).
Gruß
MathePower
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Ohha. Okay. Habe etwas gesucht, wo das Problem liegen könnte. Dabei bin ich auf ein Problem gestossen:
[mm] y_2 [/mm] berechne ich ja wie folgt:
[mm] y_2 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] - [mm] \frac{}{||y_1||^2} y_1
[/mm]
Setze ich die Definition fürs Skalarprodukt ein:
[mm] y_2 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] - [mm] \frac{x_2^T A y_1}{||y_1||^2} y_1
[/mm]
[mm] x_2^T [/mm] A [mm] y_1 [/mm] gibt doch wieder eine Matrix - eine 1x1 Matrix. Wie soll ich bitte eine 1x1 Matrix mit einem 4-dim Vektor [mm] (y_1) [/mm] multiplizieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 So 18.05.2008 | | Autor: | taura |
Hallo Abi2007LK!
> [mm]y_2[/mm] berechne ich ja wie folgt:
>
> [mm]y_2[/mm] = [mm]x_2[/mm] - [mm]\frac{}{||y_1||^2} y_1[/mm]
>
> Setze ich die Definition fürs Skalarprodukt ein:
>
> [mm]y_2[/mm] = [mm]x_2[/mm] - [mm]\frac{x_2^T A y_1}{||y_1||^2} y_1[/mm]
>
> [mm]x_2^T[/mm] A [mm]y_1[/mm] gibt doch wieder eine Matrix - eine 1x1 Matrix.
> Wie soll ich bitte eine 1x1 Matrix mit einem 4-dim Vektor
> [mm](y_1)[/mm] multiplizieren?
Eine 1x1 Matrix ist ja nichts anderes als ein Skalar... Und den kannst du natürlich mit einem Vektor multiplizieren 
Grüße taura
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Okay. Dann ist mein Ergebnis von [mm] y_2 [/mm] doch richtig - oder?
[mm] y_2 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] - [mm] \frac{}{||y_1||^2} y_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] - [mm] \frac{x_2^T A y_1}{||y_1||^2} y_1 [/mm]
Mit [mm] x_2 [/mm] = (1, -1, 0, [mm] 0)^T, y_1 [/mm] = (1, 0, 0, [mm] -2)^T
[/mm]
Dann ergibt sich ja für [mm] ||y_1||^2 [/mm] = 5
Für [mm] x_2^T [/mm] A [mm] y_1 [/mm] ergibt sich: 7 und dann:
für [mm] y_2 [/mm] ergibt sich [mm] (\frac{-2}{5}, [/mm] -1, 0, [mm] \frac{14}{5})^T
[/mm]
oder? Hab das jetzt schon bestimmt 10 mal gerechnet... :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 So 18.05.2008 | | Autor: | taura |
> Okay. Dann ist mein Ergebnis von [mm]y_2[/mm] doch richtig - oder?
Nein.
> [mm]y_2[/mm] = [mm]x_2[/mm] - [mm]\frac{}{||y_1||^2} y_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] -
> [mm]\frac{x_2^T A y_1}{||y_1||^2} y_1[/mm]
>
> Mit [mm]x_2[/mm] = (1, -1, 0, [mm]0)^T, y_1[/mm] = (1, 0, 0, [mm]-2)^T[/mm]
>
> Dann ergibt sich ja für [mm]||y_1||^2[/mm] = 5
Nein, denn du verwendest für die Norm das Standardskalarprodukt. Du musst aber auch hier das aus Aufgabe a) verwenden, also [mm] $=y_1^TAy_1$
[/mm]
Grüße taura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:59 So 18.05.2008 | | Autor: | abi2007LK |
Ahhhh - okay. Danke.
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