Wellengleichung und Lösung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | c>0, [mm] f:\IR\to \IR, g:\IR\to \IR [/mm] zweimal stetig differenzierbar
zeige: [mm] u:\IR^2\to \IR, [/mm] u(t.x)=f(x+ct)+g(x-ct) ist Lösung der Wellengleichung [mm] u_{tt}=c^2u_{xx} [/mm] |
Hier habe ich gar keine Ahnung was zu machen ist. f und g sind ja nicht vorgegeben. Könnt ihr mir erklären wie ich hier vorgehe?
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> c>0, [mm]f:\IR\to \IR, g:\IR\to \IR[/mm] zweimal stetig
> differenzierbar
>
> zeige: [mm]u:\IR^2\to \IR,[/mm] u(t.x)=f(x+ct)+g(x-ct) ist Lösung
> der Wellengleichung [mm]u_{tt}=c^2u_{xx}[/mm]
> Hier habe ich gar keine Ahnung was zu machen ist. f und g
> sind ja nicht vorgegeben. Könnt ihr mir erklären wie ich
> hier vorgehe?
>
Differenziere f und g je zweimal nach x bzw. t
und setze die Ergebnisse in die Wellengleichung ein.
Zu dem Zweck benutzt man folgendes:
[mm]f\left(x+ct\right)=f\left( \ v\left(x,t\right) \ \right)[/mm]
[mm]g\left(x-ct\right)=g\left( \ w\left(x,t\right) \ \right)[/mm]
Die partiellen Ableitungen bildest Du nun mit den verketteten Funktionen.
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Das Differenzieren der verketteten Funktion ist mir irgendwie noch nicht so richtig klar in dem Fall. Könnt ihr mir das an einer der Funktion nochmal erklären?
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Das Differenzieren der verketteten Funktion ist mir
> irgendwie noch nicht so richtig klar in dem Fall. Könnt
> ihr mir das an einer der Funktion nochmal erklären?
>
Zunächst ist die Ableitung der verketten Funktion [mm]f\left( \ v\left(x,t\right) \ \right)[/mm] nach t
gemäß der Kettenregel
[mm]\bruch{\partial f}{\partial t}=\bruch{df}{dv}*\bruch{\partial v}{\partial t}=f_{v}\left( \ v\left(x,t\right) \ \right)*v_{t}\left(x,t\right)[/mm]
Dies differenzierst Du
zunächst mit Hilfe der Produktregel nach t:
[mm]\bruch{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}=\bruch{\partial f_{v}\left( \ v\left(x,t\right) \ \right)}{\partial t}*v_{t}\left(x,t\right)+f_{v}\left( \ v\left(x,t\right) \ \right)*\bruch{\partial v_{t}\left(x,t\right)}{\partial t}[/mm]
Den Ausdruck [mm]\bruch{\partial f_{v}\left( \ v\left(x,t\right) \ \right)}{\partial t}[/mm] behandelst Du wiederum mit der Kettenregel.
>
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Da macht mir das Buchstabenrechnen wieder probleme!
[mm] f_v(v(x,t)*v_t(x,t)
[/mm]
[mm] =f'_v(v(x,t))*v_t(x,t)+f_v(v(x,t))*v'_t(x,t)
[/mm]
= ??????
f'_v(v(x,t))= f'_v(v(x,t))*u'_t(x,t)
Aber das ist ja dann wieder das gleiche wie oben schon?
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Da macht mir das Buchstabenrechnen wieder probleme!
>
> [mm]f_v(v(x,t)*v_t(x,t)[/mm]
>
Das ist doch die partielle Ableitung von f nach t: [mm]f_{t}[/mm]
> [mm]=f'_v(v(x,t))*v_t(x,t)+f_v(v(x,t))*v'_t(x,t)[/mm]
>
Und dies die zweite partilele Ableitung von f nach t: [mm]f_{tt}[/mm]
> = ??????
>
>
> f'_v(v(x,t))= f'_v(v(x,t))*u'_t(x,t)
>
> Aber das ist ja dann wieder das gleiche wie oben schon?
>
>
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Also waren die Ableitungen soweit okay und ich muss nun nur noch die partiellen Ableitungen nach x bilden?
> > [mm]f_v(v(x,t)*v_x(x,t)[/mm]
> > [mm]=f'_v(v(x,t))*v_x(x,t)+f_v(v(x,t))*v'_x(x,t)[/mm]
Sorry..ich stelle mich damit grad echt dämlich an..wobei ableiten sonst allgemein nicht so das Problem ist...
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl.
> Also waren die Ableitungen soweit okay und ich muss nun nur
> noch die partiellen Ableitungen nach x bilden?
>
>
> > > [mm]f_v(v(x,t)*v_x(x,t)[/mm]
>
Hier muss stehen:
[mm]f_{x}=f_v(v(x,t)*v_x(x,t)[/mm]
> > > [mm]=f'_v(v(x,t))*v_x(x,t)+f_v(v(x,t))*v'_x(x,t)[/mm]
>
Es muss doch hier stehen:
[mm]f_{xx}=f'_\blue{x}(v(x,t))*v_x(x,t)+f_v(v(x,t))*v'_x(x,t)[/mm]
Jetzt ist [mm]f'_x(v(x,t))[/mm] mit Hilfe der Kettenregel ausdrücken.
> Sorry..ich stelle mich damit grad echt dämlich an..wobei
> ableiten sonst allgemein nicht so das Problem ist...
>
>
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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> Es muss doch hier stehen:
>
> [mm]f_{xx}=f'_\blue{x}(v(x,t))*v_x(x,t)+f_v(v(x,t))*v'_x(x,t)[/mm]
>
> Jetzt ist [mm]f'_x(v(x,t))[/mm] mit Hilfe der Kettenregel
> ausdrücken.
f'_x(v(x,t)) = f''_x(v(x,t))*v'_x(x,t)+f'_v(v(x,t))*v''_x(x,t)
Ich habe leider wirklich keine richtige Ahnung wie das mit der Ableitung gehen soll...:(
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
>
> > Es muss doch hier stehen:
> >
> > [mm]f_{xx}=f'_\blue{x}(v(x,t))*v_x(x,t)+f_v(v(x,t))*v'_x(x,t)[/mm]
> >
> > Jetzt ist [mm]f'_x(v(x,t))[/mm] mit Hilfe der Kettenregel
> > ausdrücken.
>
> f'_x(v(x,t)) =
> f''_x(v(x,t))*v'_x(x,t)+f'_v(v(x,t))*v''_x(x,t)
>
> Ich habe leider wirklich keine richtige Ahnung wie das mit
> der Ableitung gehen soll...:(
>
Es ist doch
[mm]\bruch{\partial f_{v}}{\partial x}=\bruch{d f_{v}}{dv}*\bruch{\partial v}{\partial x}=f_{vv}*v_{x}[/mm]
Dann ist
[mm]f_{xx}(v(x,t))=f_{vv}(v(x,t))*v_x(x,t)*v_x(x,t)+f_{v}(v(x,t))*v_{xx}(x,t)[/mm]
bzw.
[mm]f_{xx}(v(x,t))=f_{vv}(v(x,t))*v_{x}^{2}(x,t)+f_{v}(v(x,t))*v_{xx}(x,t)[/mm]
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> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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