Wenn lim, dann xn=xn+1? < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
mir ist so die Idee gekommen:
wenn eine Folge einen Grenzwert hat, dann kann man
[mm] x_{n}=x_{n+1} [/mm] sagen.
Also warum ich darauf komme:
Ich habe hier eine Folge (is eine Hausaufgabe)
[mm] x_{n+1}=\bruch{1}{1+x_{n}}
[/mm]
Mit [mm] x_{1}=1
[/mm]
Zu der soll man den Grenzwert bestimmen.
Nun zufälligerweise bekommt man den, wenn man [mm] x_{n}=x_{n+1} [/mm] setzt und auflöst.
Nun wollte ich aber fragen, ob das allgemein so ist, oder ob das nicht immer geht.
Z.B. wenn [mm] x_{n} [/mm] durchgehend negativ ist mit einem ungeraden Exponenten(oder einem nicht bekannten), so dass ein Vorzeichen alterniert.
Mmh, Beispiel wäre z.b.:
[mm] x_{n+1}=-|(-x_{n})^{x_{n}}|
[/mm]
Wobei dann halt auch die Frage ist, ob sowas nicht grundsätzlich keinen Grenzwert hat.
Also wie gesagt, kann man unter der Annahme, dass ein Grenzwert existiert [mm] x_{n}=x_{n+1} [/mm] setzen?
|
|
| |
|
> Also wie gesagt, kann man unter der Annahme, dass ein Grenzwert existiert $ [mm] x_{n}=x_{n+1} [/mm] $ setzen?
Ja. Das darfst du tun, wenn du weißt, dass die Folge konvergiert. Also monoton und beschränkt ist.
Dies müsstest du also zu erst zeigen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:36 Mi 25.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> > Also wie gesagt, kann man unter der Annahme, dass ein
> Grenzwert existiert [mm]x_{n}=x_{n+1}[/mm] setzen?
>
> Ja. Das darfst du tun,
Unfug ! Siehe Anzwort von Al.
FRED
> wenn du weißt, dass die Folge
> konvergiert. Also monoton und beschränkt ist.
> Dies müsstest du also zu erst zeigen.
|
|
|
| |
|
> ..... , wenn du weißt, dass die Folge
> konvergiert. Also monoton und beschränkt ist.
> Dies müsstest du also zu erst zeigen.
Dazu noch eine Bemerkung: das "Also" im obigen
Text ist zumindest irreführend.
Damit eine Folge konvergiert, muss sie nicht
unbedingt monoton und beschränkt sein. Monotonie
ist für Konvergenz nicht notwendig.
Falls man jedoch zeigen kann, dass eine Folge
monoton und beschränkt ist, dann kann man sich
für den Konvergenzbeweis eine Epsilon-Rechnung
ersparen.
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> mir ist so die Idee gekommen:
>
> wenn eine Folge einen Grenzwert hat, dann kann man
>
> [mm]x_{n}=x_{n+1}[/mm] sagen.
Guten Tag
ich würde das anders ausdrücken, nämlich so, dass es
auch mathematisch korrekt ist.
Im Regelfall bei derartigen Folgen hat man ja für kein
endliches n wirklich die Gleichheit [mm]x_{n}=x_{n+1}[/mm]
Hat die Folge aber einen Grenzwert a , so werden mit großem n
die Differenzen [mm]|x_{n+1}-x_{n}|[/mm] beliebig klein und
streben also gegen null.
Effektive Gleichheit haben wir aber eben erst im Limes.
Um diese Tatsache korrekt auszudrücken, kannst du etwa in
deinem Beispiel so argumentieren:
Falls die Zahlenfolge [mm] [/mm] mit der Rekursionsformel
$ [mm] x_{n+1}=\bruch{1}{1+x_{n}} [/mm] $
einen Grenzwert [mm] $\limes_{n\to\infty}x_n$ [/mm] = a hat,
dann muss gelten:
$\ a\ =\ [mm] \limes_{n\to\infty}x_{n}\ [/mm] =\ [mm] \limes_{n\to\infty}x_{n+1}\ [/mm] =\ [mm] \limes_{n\to\infty}\bruch{1}{1+x_{n}}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{1}{1+\limes_{n\to\infty}x_{n}}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{1}{1+a}$
[/mm]
Nun kann man aus der resultierenden Gleichung $\ a\ =\ [mm] \bruch{1}{1+a}$
[/mm]
die allenfalls in Frage kommenden Werte für den Grenzwert a
berechnen. Hat die Gleichung mehr als eine Lösung, kann
natürlich (bei vorgegebenem Startwert [mm] x_0) [/mm] nur eine davon
wirklich der Grenzwert sein.
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
Ich habe ein Problem mit der rekursiven Form,
wie kann ich die Umformen in eine "normale" Form, die halt nicht vom vorherigen Glied abhängt?
Das einzige was ich halt über den Grenzwert sagen kann (ohne a=1/(1+a) ) ist so:
[mm] a=\bruch{1}{1+\bruch{1}{1+...}}
[/mm]
und am Ende steht halt 1/2, weil gemäß der Aufgabe [mm] x_{1}=1 [/mm] ist.
Aber irgendwie versteh ich nicht, wie man daraus eine Funktion baut.
Kann mir da mal jemand auf die Sprünge helfen?
Bei der Folge S=1,2,3,4....
würde ich dann halt [mm] x_{n}=n [/mm] machen, aber diese Folge sieht halt sehr bizarr aus:
[mm] 1,\bruch{1}{2},\bruch{2}{3},\bruch{3}{5},\bruch{5}{8}
[/mm]
Mir fällt halt auf, oben steht immer der nenner vom vorherigen, und unten steht die Summe aus Nenner und Zähler vom vorherigen.
|
|
|
| |
|
> Ich habe ein Problem mit der rekursiven Form,
>
> wie kann ich die Umformen in eine "normale" Form, die halt
> nicht vom vorherigen Glied abhängt?
>
> Das einzige was ich halt über den Grenzwert sagen kann
> (ohne a=1/(1+a) ) ist so:
>
> [mm]a=\bruch{1}{1+\bruch{1}{1+...}}[/mm]
>
> und am Ende steht halt 1/2, weil gemäß der Aufgabe
> [mm]x_{1}=1[/mm] ist.
>
> Aber irgendwie versteh ich nicht, wie man daraus eine
> Funktion baut.
Wenn eine Folge durch eine Rekursionsformel definiert ist,
ist es oft nicht ganz einfach (und manchmal gar nicht möglich),
eine explizite Formel zu erstellen.
> Kann mir da mal jemand auf die Sprünge helfen?
>
> Bei der Folge S=1,2,3,4....
> würde ich dann halt [mm]x_{n}=n[/mm] machen, aber diese Folge
> sieht halt sehr bizarr aus:
>
> [mm]1,\bruch{1}{2},\bruch{2}{3},\bruch{3}{5},\bruch{5}{8}[/mm]
>
> Mir fällt halt auf, oben steht immer der nenner vom
> vorherigen, und unten steht die Summe aus Nenner und
> Zähler vom vorherigen.
Der Kenner sieht dieser Folge sofort an, dass sie mit
den ![[]](/images/popup.gif) Fibonacci-Zahlen zu tun hat.
Falls du das Thema noch nicht kennst: es ist ein sehr
schönes und reichhaltiges Thema mit vielen Bezügen
zur Geometrie und auch zur Natur !
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
Hi,
also man muss jetzt noch zeigen, dass dies eine Cauchy-Folge ist.
Das heißt ich muss diese Epsilonungleichung machen oder?
Aber dann habe ich stehen:
[mm] |x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon
[/mm]
Muss ich das dann so aufschreiben:
[mm] |\bruch{1}{1+x_{n}}-x_{n}|<\varepsilon
[/mm]
Mit ein bisschen Umstellen kommt da vermutlich auch was nützliches raus.
Sofern denn: ist das richtig?
Und kann man sich das nicht sparen, weil wenn wir sagen [mm] "x_{n} [/mm] hat einen grenzwert, daher ist es konvergent" ein Zirkelschluss ist, weil wir ja ANGENOMMEN haben, dass die Folge einen Grenzwert hat?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Do 26.05.2016 | | Autor: | Jule2 |
Hi !
Also ich gehe jetzt mal davon aus das du zeigen möchtest das deine rekursiv definierte Folge konvergiert!
Zeige also die Folge ist beschränkt und dass die Teilfolgen mit geraden bzw. ungeraden Indices monoton steigend bzw. fallend sind und dass deren Differenzfolge eine Nullfolge ist.
LG
|
|
|
| |
|
> Hi !
> Also ich gehe jetzt mal davon aus das du zeigen möchtest
> das deine rekursiv definierte Folge konvergiert!
> Dies zeigst du am besten in dem du mit Hilfe von Induktion
> zeigst das die Folge monoton ist und beschränkt!
> Dann weisst du nämlich das sie konvergent ist stichwort
> Monotoniekriterium!
> Und wenn du dass weißt kannst du auch den Grenzwert
> ermitteln so wie es dir Al-Chwarizmi bereits geschrieben
> hat!
> LG
Hallo Jule2,
die vorliegende Folge ist aber nicht monoton !
Man kann aber zum Beispiel ihre beiden Teilfolgen betrachten,
welche aus den Gliedern mit geraden bzw. jenen mit
ungeraden Indices bestehen. Dann kann man zeigen, dass
diese beiden Teilfolgen monoton sind und den gleichen
Grenzwert haben müssen, welcher dann auch Grenzwert der
gesamten Folge sein muss.
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Aha ...
Ich sehe, dass du den Fehler betr. Monotonie schon
selber entdeckt hast und den gleichen Ausweg vorschlägst
wie ich.
Schönen Tag noch !
Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Die Folge [mm] (x_{n}) [/mm] sei rekursiv definiert durch
[mm] x_{1}=1 [/mm] und [mm] x_{n+1}=\bruch{1}{1+x_{n}}
[/mm]
Zeigen Sie: es ist eine cauchy-Folge.
berechnen Sie den Grenzwert.
Ist [mm] (x_{n}) [/mm] monoton (fallend oder wachsend)? |
Hi, die original Aufgabe nochmal hngeschrieben, damit ihr wisst worums genau geht^^
Also ich habe jetzt versucht die Monotonie für alle geraden n zu zeigen:
n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] x_{2n}=\bruch{1}{1+\bruch{1}{x_{2n-2}}}
[/mm]
[mm] x_{2n-2} [/mm] > [mm] x_{2n}
[/mm]
[mm] x_{2n-2} [/mm] > [mm] \bruch{1}{1+\bruch{1}{x_{2n-2}}} [/mm] | mal das untere
[mm] x_{2n-2}*(1+\bruch{1}{x_{2n-2}})>1 [/mm] |ausmultiplizieren und nenner gleich machen
[mm] \bruch{x_{2n-2}*(1+x_{2n-2})+x_{2n-2}}{1+x_{2n-2}}>1 [/mm] | mal den nenner
[mm] x_{2n-2}*(1+x_{2n-2})+x_{2n-2}>1+x_{2n-2} [/mm] |ausmultiplizieren und so, dass rechts nur noch 1 steht
[mm] x_{2n-2}^2+x_{2n-2}>1
[/mm]
Hier weiß ich nicht weiter, das stimmt halt für alle x die größer als der Grenzwert sind und nun?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Do 26.05.2016 | | Autor: | Jule2 |
> Die Folge [mm](x_{n})[/mm] sei rekursiv definiert durch
> [mm]x_{1}=1[/mm] und [mm]x_{n+1}=\bruch{1}{1+x_{n}}[/mm]
>
> Zeigen Sie: es ist eine cauchy-Folge.
> berechnen Sie den Grenzwert.
> Ist [mm](x_{n})[/mm] monoton (fallend oder wachsend)?
> Hi, die original Aufgabe nochmal hngeschrieben, damit ihr
> wisst worums genau geht^^
>
> Also ich habe jetzt versucht die Monotonie für alle
> geraden n zu zeigen:
>
> n [mm]\in \IN[/mm]
>
> [mm]x_{2n}=\bruch{1}{1+\bruch{1}{x_{2n-2}}}[/mm]
>
> [mm]x_{2n-2}[/mm] > [mm]x_{2n}[/mm]
> [mm]x_{2n-2}[/mm] > [mm]\bruch{1}{1+\bruch{1}{x_{2n-2}}}[/mm] | mal das
> untere
> [mm]x_{2n-2}*(1+\bruch{1}{x_{2n-2}})>1[/mm] |ausmultiplizieren und
> nenner gleich machen
> [mm]\bruch{x_{2n-2}*(1+x_{2n-2})+x_{2n-2}}{1+x_{2n-2}}>1[/mm] | mal
> den nenner
> [mm]x_{2n-2}*(1+x_{2n-2})+x_{2n-2}>1+x_{2n-2}[/mm]
> |ausmultiplizieren und so, dass rechts nur noch 1 steht
> [mm]x_{2n-2}^2+x_{2n-2}>1[/mm]
>
> Hier weiß ich nicht weiter, das stimmt halt für alle x
> die größer als der Grenzwert sind und nun?
Verstehe ich nicht!!
Versuche die Monotonie mittels Induktion zu beweisen!!
Aber die Aufgabenstellung verlangt meines erachtens nach tatsächlich etwas anderes von dir und zwar zu zeigen dass | [mm] x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon [/mm] für n hinreichen groß!
Hier mal ein Ansatz :
| [mm] x_{n+1}-x_{n}|=|\bruch{1}{1+x_{n}}-\bruch{1}{1+x_{n-1}}|
[/mm]
[mm] =|\bruch{x_{n-1}- x_{n}}{(1+x_{n})(1+x_{n-1})}|
[/mm]
nun kannst du zeigen das die Folge beschränkt ist mit 1/2 [mm] \le x_{n} \le [/mm] 1
und kannst abschätzen
[mm] |\bruch{x_{n-1}- x_{n}}{(1+x_{n})(1+x_{n-1})}|<\bruch{1}{2}| x_{n-1}-x_{n}|
[/mm]
du hast also | [mm] x_{n+1}-x_{n}|<\bruch{1}{2}| x_{n-1}-x_{n}| [/mm] jetzt musst du noch weiter folgern wieso für hinreichen große m,n
| [mm] x_{m}-x_{n}|<\varepsilon
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 Do 26.05.2016 | | Autor: | sinnlos123 |
Aso...
ich Holzkopf^^
ja ok, mach ich.
|
|
|
|
