Wert einer Reihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Do 16.06.2016 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{z^n}{n} [/mm] in ihrem Konvergenzbereich gegen -log(1-z) konvergiert. |
Hallo,
wie kann ich denn ansetzen, um zu zeigen, dass die Reihe den Wert annimmt?
Ich meine der Konvergenzbereich ist ja |z| [mm] \le [/mm] 1, z ungleich 1.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Do 16.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{z^n}{n}[/mm]
> in ihrem Konvergenzbereich gegen -log(1-z) konvergiert.
> Hallo,
>
> wie kann ich denn ansetzen, um zu zeigen, dass die Reihe
> den Wert annimmt?
> Ich meine der Konvergenzbereich ist ja |z| [mm]\le[/mm] 1, z
> ungleich 1.
Setze $ f(z):= [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{z^n}{n} [/mm] $ und differenziere....
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:29 Do 16.06.2016 | | Autor: | rollroll |
[mm] f'(z)=\summe_{n=0}^{\infty}z^n= \bruch{1}{1-z}
[/mm]
Beide Seiten integrieren und fertig, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Sa 18.06.2016 | | Autor: | rollroll |
Hallo, könnte Bitte noch jemand sagen ob die angegebene Vorgehensweise korrekt ist?
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Ja, richtig. Eine Bemerkung dazu, warum du die unendliche Reihe gliedweise differenzieren darfst, wäre vielleicht noch angebracht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Mi 29.06.2016 | | Autor: | rollroll |
Noch mal eine Frage hierzu: Ich habe ja nun die Konvergenz gezeigt und den Wert der Reihe berechnet. Muss man hier dann eigentlich auch noch den Rand von f' extra betrachten?
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> Noch mal eine Frage hierzu: Ich habe ja nun die Konvergenz
> gezeigt und den Wert der Reihe berechnet. Muss man hier
> dann eigentlich auch noch den Rand von f' extra betrachten?
Im Prinzip nicht. Tatsächlich konvergiert aber die Summe für alle |z| = 1 außer für z=1 (also z.B. für z = -1 oder [mm] z=e^{i*\varphi}, [/mm] falls [mm] \varphi \ne k*2*\pi [/mm] ist mit k [mm] \in \IZ).
[/mm]
Anschaulich kannst du dir das so vorstellen:
z=1 "ist" ein Pfeil, der im KS nach rechts zeigt und die Länge 1 hat. Daran schließt sich der nächste Summand 1/2 an, dann 1/3 usw., die alle den Ausgangspfeil nach rechts verlängern. Da die harmonische Reihe nicht konvergiert, hast du Divergenz.
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] z\ne [/mm] 1: Nun ist der erste Pfeil (ein bisschen oder viel) zur x-Achse geneigt. Der nächste Pfeil von [mm] z^2 [/mm] ist nochmals um diesen Winkel weitergedreht und schließt sich an, der nächste wieder gedreht usw. Fehlte der Nenner 1/n, hätten alle die Länge 1 und die Pfeilspitzen wurden sich auf einem mehr oder weniger großen Kreis immer weiterdrehen (oberer "Kreis" im Bild). Durch den Nenner 1/n drehen sich diese Pfeile nun aber irgendwo spiralig in den Kreis ein und konvergieren dort auf irgendeinem Punkt(untere Spiralen zu verschiedenen Winkeln).
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Wäre es auch möglich den Wert der Reihe mit dem abelschen Grenzwertsatz zu bestimmen? Und falls ja, wie genau würde das hier gehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Sa 02.07.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Mi 22.06.2016 | | Autor: | rollroll |
Der Konvergenzbereich ist ja |z| [mm] \le [/mm] 1, z ungleich 1.
Wie geht man denn vor um zu zeigen, dass die Reihe für |z|=1 konvergiert? (z ungleich 1 klar wg der harmonischen Reihe)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Mi 22.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
für |z|=1 hast du die harmonische Reihe, die nicht konvergiert.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Mi 22.06.2016 | | Autor: | rollroll |
Nein, das stimmt nicht. Die habe ich nur für z=1, nicht aber für |z|=1 (Z [mm] \in \IC)
[/mm]
Ich weiß ja dass die Reihe für |z| [mm] \le [/mm] 1, z ungleich 1 konvergiert. Wüste aber halt gerne wie man den Fall |z|=1 zeigt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Mi 22.06.2016 | | Autor: | andyv |
Hallo,
benutze abelsche Summation für [mm] $\sum_{k=m}^n \frac{1}{k}\cdot z^k$ [/mm] und [mm] $|\sum_{k=1}^n z^k|\le \frac{2}{|1-z|}$ [/mm] für alle n und [mm] $|z|\le [/mm] 1, [mm] z\neq [/mm] 1$.
Dann folgt die Behauptung aus dem Cauchy-Kriterium.
Gruß
Andy
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Eine graphische Erklärung findest du in meiner 2. Antwort.
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