Wert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:21 So 21.04.2019 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Geben Sie den Wert der Reihe
[mm] \bruch{3}{5} [/mm] + [mm] \bruch{3}{50} [/mm] + [mm] \bruch{3}{500} [/mm] + ...
als Bruch mit ganzzahligem Zähler und ganzzahligem Nenner an. |
Moin Moin,
über den Lösungsweg an sich, ich bin für ein paar Hinweise zum Vorgehen dankbar.
Also. Hier erkenne ich, dass es sich um eine geometrische Folge bzw. Reihe handelt, richtig?
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{3}{5}*q^n [/mm]
Nun weiss ich nicht, ob ich besser von n=1 oder n=0 starte ???
Ich machs mal für n= 0
Ich finde q heraus:
[mm] a_1 [/mm] = [mm] a_0*q [/mm]
q = [mm] \bruch{a_1}{a_0} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{3}{50}}{\bruch{3}{5}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{10} [/mm]
=>
[mm] a_0 [/mm] = [mm] \bruch{3}{5}*(\bruch{1}{10})^0 [/mm]
[mm] a_1 [/mm] = [mm] \bruch{3}{5}*(\bruch{1}{10})^1
[/mm]
:
Soweit ich mich erinnern kann, gibt es eine Summenformel für geometrische Folgen bzw. Reihen...
[mm] s_n [/mm] = [mm] a_0*\bruch{1-q^{n+1}}{1-q^n}
[/mm]
[mm] s_n [/mm] = [mm] \bruch{3}{5}*\bruch{1-0,1^{n+1}}{1-0,1}
[/mm]
und jetzt??
[mm] s_n [/mm] = [mm] \bruch{3}{4,5}*(1-0,1^{n+1})
[/mm]
bzw.
[mm] s_n [/mm] = [mm] \bruch{30}{45}(1-0,1^{n+1})
[/mm]
[mm] s_n [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}*(1-0,1^{n+1})
[/mm]
Ist das so richtig bzw. vollständig?
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:04 So 21.04.2019 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie den Wert der Reihe
>
> [mm]\bruch{3}{5}[/mm] + [mm]\bruch{3}{50}[/mm] + [mm]\bruch{3}{500}[/mm] + ...
>
> als Bruch mit ganzzahligem Zähler und ganzzahligem Nenner
> an.
> Moin Moin,
>
> über den Lösungsweg an sich, ich bin für ein paar
> Hinweise zum Vorgehen dankbar.
>
> Also. Hier erkenne ich, dass es sich um eine geometrische
> Folge bzw. Reihe handelt, richtig?
richtig
>
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{3}{5}*q^n[/mm]
>
>
> Nun weiss ich nicht, ob ich besser von n=1 oder n=0 starte
> ???
>
was ist [mm] q^0, [/mm] , was ist [mm] q^1 [/mm] ?
> Ich machs mal für n= 0
gute Wahl
>
> Ich finde q heraus:
>
> [mm]a_1[/mm] = [mm]a_0*q[/mm]
>
> q = [mm]\bruch{a_1}{a0}[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{3}{50}}{\bruch{3}{5}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{10}[/mm]
>
> =>
>
> [mm]a_0[/mm] = [mm]\bruch{3}{5}*(\bruch{1}{10})^0[/mm]
>
> [mm]a_1[/mm] = [mm]\bruch{3}{5}*(\bruch{1}{10})^1[/mm]
>
> :
>
>
> Soweit ich mich erinnern kann, gibt es eine Summenformel
> für geometrische Folgen bzw. Reihen...
>
> [mm]s_n[/mm] = [mm]a_0*\bruch{1-q^{n+1}}{1-q^n}[/mm]
>
> [mm]s_n[/mm] = [mm]\bruch{3}{5}*\bruch{1-0,1^{n+1}}{1-0,1}[/mm]
>
>
> und jetzt??
>
> [mm]s_n[/mm] = [mm]\bruch{3}{4,5}*(1-0,1^{n+1})[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]s_n[/mm] = [mm]\bruch{30}*{45}(1-0,1^{n+1})[/mm]
>
> [mm]s_n[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}*(1-0,1^{n+1})[/mm]
>
>
> Ist das so richtig bzw. vollständig?
Es ist richtig, aber nicht vollständig. Es fehlt noch der Grenzwert der Folge [mm] (s_n)
[/mm]
>
>
> Danke für eure Hilfe!
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:16 So 21.04.2019 | | Autor: | hase-hh |
> >
> >
> > Nun weiss ich nicht, ob ich besser von n=1 oder n=0 starte
> > ???
> >
>
> was ist [mm]q^0,[/mm] , was ist [mm]q^1[/mm] ?
[mm] q^0 [/mm] = 1 und [mm] q^1 [/mm] = q warum?
Natürlich müsste ich die Formel anpassen, je nachdem ob ich mit n=0 oder n=1 beginne...
:
> > [mm]s_n[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}*(1-0,1^{n+1})[/mm]
> >
> >
> > Ist das so richtig bzw. vollständig?
>
> Es ist richtig, aber nicht vollständig. Es fehlt noch
> der Grenzwert der Folge [mm](s_n)[/mm]
>
D.h. heisst ich muß noch den Grenzwert bilden...
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{2}{3}*(1-0,1^{n+1}) [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
so ?
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Hiho,
> > was ist [mm]q^0,[/mm] , was ist [mm]q^1[/mm] ?
>
> [mm]q^0[/mm] = 1 und [mm]q^1[/mm] = q warum?
>
> Natürlich müsste ich die Formel anpassen, je nachdem ob
> ich mit n=0 oder n=1 beginne...
Du hattest dich ja bereits fuer $ [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{3}{5}\cdot{}q^n [/mm] $ entschieden, nun versuche mal ein q zu finden, wenn du bei n=1 beginnst...
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{2}{3}*(1-0,1^{n+1})[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:06 So 21.04.2019 | | Autor: | hase-hh |
> Hiho,
>
> > > was ist [mm]q^0,[/mm] , was ist [mm]q^1[/mm] ?
> >
> > [mm]q^0[/mm] = 1 und [mm]q^1[/mm] = q warum?
> >
> > Natürlich müsste ich die Formel anpassen, je nachdem ob
> > ich mit n=0 oder n=1 beginne...
> Du hattest dich ja bereits fuer [mm]a_n = \bruch{3}{5}\cdot{}q^n[/mm]
> entschieden, nun versuche mal ein q zu finden, wenn du
> bei n=1 beginnst...
Äh, meinst du wirklich ein q, oder nur einen anderen Ansatz, d.h.
[mm] a_n [/mm] = [mm] a_1*q^{n-1} [/mm]
?
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{2}{3}*(1-0,1^{n+1})[/mm] =
> > [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
>
> Gruss,
> Gono
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 So 21.04.2019 | | Autor: | fred97 |
> > Hiho,
> >
> > > > was ist [mm]q^0,[/mm] , was ist [mm]q^1[/mm] ?
> > >
> > > [mm]q^0[/mm] = 1 und [mm]q^1[/mm] = q warum?
> > >
> > > Natürlich müsste ich die Formel anpassen, je nachdem ob
> > > ich mit n=0 oder n=1 beginne...
> > Du hattest dich ja bereits fuer [mm]a_n = \bruch{3}{5}\cdot{}q^n[/mm]
> > entschieden, nun versuche mal ein q zu finden, wenn du
> > bei n=1 beginnst...
>
> Äh, meinst du wirklich ein q, oder nur einen anderen
> Ansatz, d.h.
Nein. Ich glaube Gono meint, wenn du mit n=1 beginnst, solltest du sehen, dass du eine andere Reihe bekommst.
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]a_1*q^{n-1}[/mm]
>
> ?
>
>
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{2}{3}*(1-0,1^{n+1})[/mm] =
> > > [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
> >
> >
> > Gruss,
> > Gono
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Mo 22.04.2019 | | Autor: | hase-hh |
> > Soweit ich mich erinnern kann, gibt es eine Summenformel
> > für geometrische Folgen bzw. Reihen...
> >
> > [mm]s_n[/mm] = [mm]a_0*\bruch{1-q^{n+1}}{1-q^n}[/mm]
> >
> > [mm]s_n[/mm] = [mm]\bruch{3}{5}*\bruch{1-0,1^{n+1}}{1-0,1}[/mm]
> >
> >
> > und jetzt??
> >
> > [mm]s_n[/mm] = [mm]\bruch{3}{4,5}*(1-0,1^{n+1})[/mm]
> >
> > bzw.
> >
> > [mm]s_n[/mm] = [mm]\bruch{30}*{45}(1-0,1^{n+1})[/mm]
> >
> > [mm]s_n[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}*(1-0,1^{n+1})[/mm]
> >
> >
> > Ist das so richtig bzw. vollständig?
>
> Es ist richtig, aber nicht vollständig. Es fehlt noch
> der Grenzwert der Folge [mm](s_n)[/mm]
>
>
Mir ist noch eins aufgefallen. Ist [mm] s_n [/mm] nicht erst der Grenzwert der Summe der Folgenglieder oder wird vielleicht dieser Grenzwert anders bezeichnet???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 Di 23.04.2019 | | Autor: | meili |
Hallo hase-hh,
>
> Mir ist noch eins aufgefallen. Ist [mm]s_n[/mm] nicht erst der
> Grenzwert der Summe der Folgenglieder oder wird vielleicht
> dieser Grenzwert anders bezeichnet???
>
Ja, [mm] $s_n$ [/mm] ist die Summe bis zum n-ten Folgenglied.
Der Grenzwert wird mit $s$ oder [mm] $s_{\infty}$ [/mm] (siehe unten Beitrag von HJKweseleit) bezeichnet.
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:05 Di 23.04.2019 | | Autor: | hase-hh |
Ah, vielen Dank!! Das hilft mir weiter. ^^
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Um die Sache etwas zu beschleunigen:
Für die unendliche geometrische Reihe mit |q|<1 gilt:
[mm] S_{\infty}=erster Summand*\bruch{1}{1-q}.
[/mm]
Dabei spielt die Nummerierung des ersten Summanden keine Rolle.
In deinem Beispiel ist also q=1/10 und der erste Summand 3/5, also bekommst du 3/5*1/(1-1/10)=3/5*10/9 = 2/3.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:55 Mo 22.04.2019 | | Autor: | hase-hh |
Ein schöner Lösungsweg!
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