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Wert einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:22 Fr 27.01.2023
Autor: Trikolon

Aufgabe
Gegeben ist die Zahlenfolge 0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; ...
Berechne die Summe der ersten 100 Folgenglieder!

Hallo zusammen,
ich habe ein paar Probleme mit der (einfach klingenden) Aufgabe.

Zunächst gilt: [mm] a_n= 0,3*\summe_{k=1}^{n} (0,1)^{k-1} [/mm]

Nun komme ich aber nicht wirklich weiter. Meine Vermutung war, dass die Summe der ersten 100 Folgenglieder 33,33..3 (mit 98 Nachkommastellen 3) beträgt.

Über eure Hilfe wäre ich dankbar!



        
Bezug
Wert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:11 Fr 27.01.2023
Autor: Gonozal_IX

Hiho,
> Zunächst gilt: [mm]a_n= 0,3*\summe_{k=1}^{n} (0,1)^{k-1}[/mm]

Besser eine Indexverschiebung machen:
[mm]a_n= 0,3*\summe_{k=0}^{n-1} (0,1)^{k}[/mm]

Setzen wir nun q=0,1 erhalten wir:

[mm]a_n= 0,3*\summe_{k=0}^{n-1} q^{k}[/mm]

Das sieht doch sehr nach der []Partialsumme einer geometrischen Reihe aus.

Gruß,
Gono

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Wert einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:09 Fr 27.01.2023
Autor: Trikolon

Das dachte ich auch erst.
Allerdings muss ja die Summe der ersten 100 Folgenglieder berechnet werden, sprich die Summe über die angegebene Folge [mm] a_n. [/mm] Oder anders ausgedrückt: 1/3 ist ja nicht das Ergebnis wenn ich die ersten 100 Folgenglieder 0,3; 0,33; 0,333; … addiere.

Oder hab ich da jetzt einen Denkfehler?

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Wert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:01 Sa 28.01.2023
Autor: fred97


> Das dachte ich auch erst.
>  Allerdings muss ja die Summe der ersten 100 Folgenglieder
> berechnet werden, sprich die Summe über die angegebene
> Folge [mm]a_n.[/mm] Oder anders ausgedrückt: 1/3 ist ja nicht das
> Ergebnis wenn ich die ersten 100 Folgenglieder 0,3; 0,33;
> 0,333; … addiere.
>  
> Oder hab ich da jetzt einen Denkfehler?

nimm die Formel von gono

Du sollst [mm] a_{100} [/mm] berechnen

Gruß Fred


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Wert einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:07 Sa 28.01.2023
Autor: Trikolon

Das habe ich ja bereits gemacht, dann ist a_100=0,333333….

Dies entspricht aber nicht der Summe der ersten 100 Folgenglieder, weil ja bereits [mm] a_1+a_2>0,6 [/mm]

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Wert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:45 Sa 28.01.2023
Autor: fred97


> Das habe ich ja bereits gemacht, dann ist
> a_100=0,333333….
>  
> Dies entspricht aber nicht der Summe der ersten 100
> Folgenglieder, weil ja bereits [mm]a_1+a_2>0,6[/mm]  

Du sollst nicht [mm] a_{1}+.....+a_{100} [/mm] berechnen, sondern [mm] a_{100}. [/mm]


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Wert einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:47 Sa 28.01.2023
Autor: Trikolon

Ich stehe offensichtlich auf dem Schlauch. a_100 ist für mich bei der Folge in der ursprünglichen Aufgabenstellung 0,33333 mit 100 Nachkommastellen 3.

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Wert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:28 Sa 28.01.2023
Autor: fred97


> Ich stehe offensichtlich auf dem Schlauch. a_100 ist für
> mich bei der Folge in der ursprünglichen Aufgabenstellung
> 0,33333 mit 100 Nachkommastellen 3.

schreibe das als schönen Bruch,  benutze dabei die obige Formel


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Wert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:28 So 29.01.2023
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

wie berechnet sich denn [mm] $\summe_{k=0}^{n-1}q^n$? [/mm]
Dafür gibt es eine geschlossene Form, da muss man nix rechnen…

Gruß,
Gono

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Wert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 Sa 28.01.2023
Autor: HJKweseleit

Es geht ganz ohne Summenzeichen und fast ohne Variable.

Bezeichne die Summe mit S. Schreibe 10*S hin und darunter um eine Position versetzt S:

10*S = 3 + 3,3 + 3,33 + 3,333 + 3,3333 + ... + [mm] 10*a_{100} [/mm]
   S =     0,3 + 0,33 + 0,333 + 0,3333 + ... +    [mm] a_{99} [/mm] + [mm] a_{100} [/mm]

Nun Subtrahieren wir positionsweise:

9*S = 3 + 3   + 3    + 3     + 3       + ... + 3 - [mm] a_{100} [/mm]

9*S = 300 - [mm] a_{100} [/mm]

S = (300 - [mm] a_{100})/9 [/mm]

Du warst ganz nah dran. Schade, dass es nicht 99 Folgeglieder sind, dann käme eine abbrechende Dezimalzahl heraus.

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Wert einer Reihe: Zusatzbemerkung:
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:31 So 29.01.2023
Autor: HJKweseleit

[mm] a_1 [/mm] = 0,3  = 0,3333333... - 0,033333...  = 1/3 - 1/30  = [mm] 1/3(1-10^{-1}) [/mm]
[mm] a_2 [/mm] = 0,33 = 0,3333333... - 0,0033333... = 1/3 - 1/300 = [mm] 1/3(1-10^{-2}) [/mm]

...

[mm] a_{100} [/mm] = [mm] 1/3(1-10^{-100}) [/mm]

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Wert einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 So 29.01.2023
Autor: Trikolon

Vielen Dank für die Hilfe!

Diesen Wert für a_100 habe ich auch mit der Formel der Partialsumme der geometrischen Reihe erhalten.

Damit ergibt sich als Summe der 100 Folgenglieder: 33,296.

Kann man dies auch noch anders berechnen als mit dem ,,Umsortieren'' der Summanden (ein schöner ,,Trick''!)

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Bezug
Wert einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:42 Mo 30.01.2023
Autor: Trikolon

Nur um sicher zu gehen: Meine angegebene Summe war korrekt?


Bezug
                                        
Bezug
Wert einer Reihe: siehe andere Antwort
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:57 Di 31.01.2023
Autor: Loddar

Hallo Trikolon!


> Nur um sicher zu gehen: Meine angegebene Summe war korrekt?

[daumenhoch] Wie hier auch vorgerechnet wurde.


Gruß
Loddar

Bezug
                                
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Wert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:57 Mo 30.01.2023
Autor: HJKweseleit

Ja. Warum einfach, wenn's auch kompliziert geht?

Es ist [mm] a_n [/mm] = [mm] 0,3\summe_{i=0}^{n-1} 0,1^i [/mm] = (geom. Reihe:) [mm] 0,3\bruch{1-0,1^n}{1-0,1} [/mm] = [mm] \bruch{0,3}{0,9} (1-0,1^n) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} (1-0,1^n) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*0,1^n [/mm]

Dann ist die Summe daraus

[mm] \summe_{i=1}^{100} (\bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*0,1^n) =\summe_{i=1}^{100} \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}\summe_{i=1}^{100} 0,1^n [/mm] = [mm] \bruch{100}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}\summe_{i=0}^{99} 0,1^{n+1}= \bruch{100}{3} [/mm] - [mm] \bruch{0,1}{3}\summe_{i=0}^{99} 0,1^n [/mm]  = [mm] \bruch{100}{3} [/mm] - [mm] \bruch{0,3}{9}\summe_{i=0}^{99} 0,1^n [/mm]  = [mm] \bruch{100}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{9}*0,3\summe_{i=0}^{99} 0,1^n [/mm]  = [mm] \bruch{100}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{9} a_{100} [/mm]

[mm] \approx [/mm] 33.296296296...


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