Wert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Mi 05.10.2005 | | Autor: | Farnsy |
Guten Abend Allerseits 
Ich habe da ein Problem mit folgender Aufgabe:
Der Wert der Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)(n+2)} [/mm] soll errechnet werden.
Wollte dies mit Partialbruchzerlegung machen und erhalte dann:
[mm]\summe_{n=1}^{n} (\bruch{1}{2n} - \bruch{1}{n+1} + \bruch{1}{2(n+2)}) [/mm]
Ich denke auch, dass die Zerlegung stimmt, allerding komme ich damit nicht wirklich weiter.
In der Lösung der Aufgabe wird folgender Bruch angegeben:
[mm]\bruch{1}{2} \summe_{i=1}^{n} (\bruch{1}{k(k+1)} - \bruch{1}{(k+1)(k+2)}) [/mm]
Wie kommt man denn darauf?
Und wieso sind es nur 2 Brüche, es gibt doch 3 Nullstellen...
Wurde da etwa keine Partialbruchzerlegung gemacht?
Grüße
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Mi 05.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Farnsy!
Du hast alles richtig gemacht! Und auch der Lösungsansatz hat eine Partialbruchzerlegung "vollzogen".
Leider nutzt uns aber Deine Darstellung noch nicht so richtig weiter, so dass wir noch etwas zusammenfassen müssen:
[mm] $\bruch{1}{2*n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2*(n+2)}$
[/mm]
Zunächst klammern wir hier mal den Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] aus (der anschließend auch vor das Summenzeichen gezogen wird:
$... \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{n} - \bruch{\red{2}}{n+1} + \bruch{1}{n+2}\right)$
[/mm]
Nun zerlegen wir den Bruch [mm] $\bruch{\red{2}}{n+1}$ [/mm] und "verteilen" ihn gleichmäßig nach rechts und nach links:
$... \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(\underbrace{\bruch{1}{n} - \bruch{\red{1}}{n+1}}_{} - \underbrace{\bruch{\red{1}}{n+1} + \bruch{1}{n+2}}_{}\right)$
[/mm]
Nun fassen wir paarweise zusammen und erhalten das genannte Ergebnis der zwei Brüche:
$... \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left[\bruch{1}{n*(n+1)} - \bruch{1}{(n+1)*(n+2)}\right]$
[/mm]
Warum das Ganze? Schreibe Dir doch nun mal die ersten Glieder dieser Reihe auf ...
Was stellst Du fest? Da eliminieren sich ja immer benachbarte Summanden und Du hast auch schnell Dein gewünschtes Reihen-Ergebnis.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Mi 05.10.2005 | | Autor: | Farnsy |
Hi Loddar,
danke für deine superschnelle Antwort!
Dass sich die benachbarten Summanden eliminieren sollten, war mir bewusst.
Nur auf deinen Lösungsweg wäre ich sicher in 3 Stunden nicht gekommen.
Dankeschön!
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