Wie errechne ich Epsilon? < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Di 04.01.2011 | | Autor: | Haiza |
| Aufgabe | | Ab welchem Index liegen alle Glieder innerhalb des Intervalls 10^-5 ? |
Hallo
Wie kann ich rechnerisch Epsilon herausfinden?
Meine Ausgangsformel:
ak=3k+1/5k
Der Grenzwert ist 0,6. (Gibt es dafür eigentlich eine Formel um den herauszufinden? Ich teste immer durch einsetzen)
Wie bekomme ich Epsilon nun heraus?
Gruß und danke im Voraus!
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Hallo Haiza!
> Wie kann ich rechnerisch Epsilon herausfinden?
Gar nicht. Der Wert ist mit [mm] $\varepsilon [/mm] \ = \ [mm] 10^{-5}$ [/mm] gemäß Aufgabenstellung vorgegeben.
> Meine Ausgangsformel:
>
> ak=3k+1/5k
>
> Der Grenzwert ist 0,6.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (Gibt es dafür eigentlich eine Formel um den herauszufinden?
> Ich teste immer durch einsetzen)
Klammere hier z.B. in Zähler und Nenner $k_$ aus und kürze. Anschließend die Grenzwertbetrachtung.
> Wie bekomme ich Epsilon nun heraus?
Siehe oben.
Hier gilt es vielmehr folgende Ungleichung nach $k \ > \ ...$ umzustellen:
[mm] $\left|\bruch{3k+1}{5k}-\bruch{3}{5}\right| [/mm] \ < \ [mm] 10^{-5}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Di 04.01.2011 | | Autor: | Haiza |
> Klammere hier z.B. in Zähler und Nenner k aus und kürze. Anschließend die Grenzwertbetrachtung.
Wie meinst du das? Kannst du das evtl. einmal vor rechnen?
Gruß
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Hallo Haiza!
[mm] $$\bruch{3*k+1}{5*k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{k*\left(3+\bruch{1}{k}\right)}{5*k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3+\bruch{1}{k}}{5}$$
[/mm]
Nun die Grenzwertbetrachtung.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Di 04.01.2011 | | Autor: | Haiza |
> Hallo Haiza!
>
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> [mm]\bruch{3*k+1}{5*k} \ = \ \bruch{k*\left(3+\bruch{1}{k}\right)}{5*k} \ = \ \bruch{3+\bruch{1}{k}}{5}[/mm]
>
> Nun die Grenzwertbetrachtung.
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
Grenzwertbetrachtung? Wie hilft die mir denn dort weiter? Und ehrlich gesagt wüsste ich dort auch nicht wie ich sie anwenden sollte...
Oder meinst du folgendes:
Ich lasse $ k $ gegen [mm] \infty [/mm] gehen und somit ist [mm] $\bruch{1}{k}$ [/mm] zu vernachlässigen und ich habe meinen Grenzwert. Und zwar [mm] $\bruch{3}{5}$ [/mm] .
Wenn das korrekt ist, kann ich somit immer die Grenzwerte errechnen, also du ausklammern?
Gruß und Danke! 
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Hallo Haiza,
> > Hallo Haiza!
> >
> >
> > [mm]\bruch{3*k+1}{5*k} \ = \ \bruch{k*\left(3+\bruch{1}{k}\right)}{5*k} \ = \ \bruch{3+\bruch{1}{k}}{5}[/mm]
>
> >
> > Nun die Grenzwertbetrachtung.
> >
> >
> > Gruß vom
> > Roadrunner
>
> Grenzwertbetrachtung? Wie hilft die mir denn dort weiter?
> Und ehrlich gesagt wüsste ich dort auch nicht wie ich sie
> anwenden sollte...
>
> Oder meinst du folgendes:
> Ich lasse [mm]k[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] gehen und somit ist [mm]\bruch{1}{k}[/mm]
> zu vernachlässigen und ich habe meinen Grenzwert. Und zwar
> [mm]\bruch{3}{5}[/mm] .
Ja, das ist damit gemeint.
> Wenn das korrekt ist, kann ich somit immer die Grenzwerte
> errechnen, also du ausklammern?
Auf diese Weise kannst Du die Grenzwerte immer ausrechnen.
>
> Gruß und Danke!
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Di 04.01.2011 | | Autor: | Haiza |
Sorry für den Doppelpost.
Habe ein bisschen gerechnet (Sorry für die schreibweise, kann mit Latex noch nicht umgehen, kommt in den Semesterferien):
Ich habe also ak mit E (epsilon) eine Ungleichung gemacht, wie Roadrunner es mir empfohlen hat.
$ [mm] \left|\bruch{3k+1}{5k}-\bruch{3}{5}\right| [/mm] \ < \ [mm] 10^{-5} [/mm] $
dann habe ich gerechnet bis ich auf dieses hier kam:
$ [mm] \left|\bruch{1}{5k}\|< \ 10^{-5} $
und da hört es auf. Um auf die korrekte Lösung zu kommen muss ich
$ 10^{-5} $
in k einsetzen. Aber nach welchen Rechengesetzen kann ich dies tun. Ich weiß wie ich auf die Lösung komme, sehe aber keinen realistischen Rechenweg. Also es müsste anschließend rauskommen:
$ \left|\bruch{1}{5*10^{-5}}\|< Ko $
$ Ko > 20.000 $
Lösung wäre dann 20.001.
Habt ihr einen Tipp?
Gruß
[/mm]
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> Sorry für den Doppelpost.
> Habe ein bisschen gerechnet (Sorry für die schreibweise,
> kann mit Latex noch nicht umgehen, kommt in den
> Semesterferien):
>
> Ich habe also ak mit E (epsilon) eine Ungleichung gemacht,
> wie Roadrunner es mir empfohlen hat.
>
> [mm]\left|\bruch{3k+1}{5k}-\bruch{3}{5}\right| \ < \ 10^{-5}[/mm]
>
> dann habe ich gerechnet bis ich auf dieses hier kam:
>
> [mm]\left|\bruch{1}{5k}\|< \ 10^{-5}[/mm]
>
Na, da bist du doch praktisch schon am Ziel - du suchst doch das k, ab dem deine Folgenglieder sich um weniger als dein vorgegebenes [mm] \epsilon [/mm] vom Grenzwert unterscheiden. Also löst du die Ungleichung einfach nach k auf. Das ist u.a. jetzt deswegen einfach, weil der Betrag keine Rolle spielt, weil der Inhalt dieses Betrags immer positiv ist.
Also:
[mm] $\left|\bruch{1}{5k}\|< \epsilon $ | Betrag kann weggelassen werden
$\bruch{1}{5k} < \epsilon $ | mit k multiplizieren
$\bruch{1}{5} <\epsilon*k $ | durch \epsilon dividieren
$ k > \bruch{1}{5*\epsilon}$ | Jetzt $ \epsilon = 10^{-5}$ einsetzen.
So bekommst du dann auch deine u.g. Werte raus.
> und da hört es auf. Um auf die korrekte Lösung zu kommen
> muss ich
> [/mm] [mm]10^{-5}[/mm]
> in k einsetzen. Aber nach welchen Rechengesetzen kann ich
> dies tun. Ich weiß wie ich auf die Lösung komme, sehe
> aber keinen realistischen Rechenweg. Also es müsste
> anschließend rauskommen:
>
> [mm]\left|\bruch{1}{5*10^{-5}}\|< Ko[/mm]
>
> [mm]Ko > 20.000[/mm]
>
> Lösung wäre dann 20.001.
>
> Habt ihr einen Tipp?
>
> Gruß
lg weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Di 04.01.2011 | | Autor: | Haiza |
Riesen Dank weightgainer !!! Ebenfalls riesen Dank an Roadrunner !!!
Ihr habt mir riesig geholfen.
Ich habe mich doch schon wegen meiner Schreibweise entschuldigt, ich habe Latex noch nicht drauf. Kommt in den Semesterferien!
Gruß an Alle und nochmals riesen Dank!
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> Ich habe mich doch schon wegen meiner Schreibweise
> entschuldigt, ich habe Latex noch nicht drauf.
Hallo Haiza,
wenn dir die Benützung von Latex noch nicht geläufig ist,
solltest du Klammern setzen. Für deine Zahlenfolge also
zum Beispiel:
[mm] a_k=(3k+1)/(5k)
[/mm]
LG Al-Chw.
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Hallo roadrunner,
ich verstehe nicht, weshalb du die nicht nur schlampige,
sondern eindeutig falsche Schreibweise von Haiza nicht
auch beanstandet hast ...
Schönen Abend !
Al
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> Ab welchem Index liegen alle Glieder innerhalb des
> Intervalls 10^-5 ? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Was soll das bedeuten ?
"Das Intervall 10^-5" (oder meinetwegen [mm] 10^{-5}) [/mm] macht keinen Sinn !
> ak=3k+1/5k
Schreibe diese Formel bitte mit dem Formeleditor, damit
man sie richtig lesen kann ! Vielleicht hast du gemeint:
$\ [mm] a_k\ [/mm] =\ [mm] 3\,k+\frac{1}{5\,k}$
[/mm]
Man könnte das Geschriebene aber z.B. auch so inter-
pretieren:
$\ [mm] a_k\ [/mm] =\ [mm] 3\,k+\frac{1}{5}\,k$
[/mm]
Wenn man durch deine Schreibweise ohnehin verunsichert ist,
vielleicht auch noch so:
$\ [mm] a_k\ [/mm] =\ [mm] \frac{3\,k+1}{5\,k}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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