Wie geht vollst. Induktion? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
wir haben heute in der Vorlesung das Thema der vollständigen Induktion behandelt. An sich finde ich das Thema sehr interessant, habe es aber noch nicht verstanden. Könnt ihr mir anhand eines Beispiels das Prinzip und die Vorgehensweise der vollständigen Induktion erklären? Als Beispiel habe ich folgende Aufgabe im Internet gefunden:
Beweisen Sie folgende Identitäten für n [mm] \in \IN:
[/mm]
a) [mm] \summe_{k=1}^{n}k*x^{k} [/mm] = [mm] \bruch{nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}{(1-x)^{2}}
[/mm]
Ich hoffe ihr könnt mir bei meinem Problem weiterhelfen. Schönen Tag wünsche ich noch.
Grüße
Henning
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hallo zusammen,
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> wir haben heute in der Vorlesung das Thema der
> vollständigen Induktion behandelt. An sich finde ich das
> Thema sehr interessant, habe es aber noch nicht verstanden.
> Könnt ihr mir anhand eines Beispiels das Prinzip und die
> Vorgehensweise der vollständigen Induktion erklären? Als
> Beispiel habe ich folgende Aufgabe im Internet gefunden:
>
> Beweisen Sie folgende Identitäten für n [mm]\in \IN:
[/mm]
> a)
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k*x^{k}[/mm] =
> [mm]\bruch{nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}{(1-x)^{2}}
[/mm]
Also ich versuche mal grob zu umreißen worum es in der vollständigen Induktion geht. Zunächst einmal kann man das Schema nur verwenden, wenn man Aussagen für "abzählbare" Mengen beweisen soll, also [mm] $\IN$ [/mm] ist z.B. eine abzählbare Menge und gleichzeitig auch die Standardmenge, auf der man vollständige Induktion anwendet. Mir geht es oft so, wenn ich lese "Beweisen Sie, dass für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt..." , dass ich dann automatisch auf vollst- Induktion gehen will, was meistens auch erfolgreich ist.
Nun zum Verfahren:
Man beginnt zunächst mit dem kleinstmöglichen Element meiner Menge, für [mm] $\IN$ [/mm] ist das die 0, manche Professoren sagen auch, dass die 0 nicht in [mm] $\IN$ [/mm] liegt, dann muss man bei der 1 anfangen, aber die DIN-Norm sagt wohl, dass die 0 mit drin ist, also beginne ich da. Hier habe ich das mal ab 1 gemacht, weil es für 0 trivial wird, weil die Summe laut einer Definition 0 wird und die rechte Seite klarerweise auch 0 wird.
1. Schritt: Induktionsanfang
$n= 1$ Man beweise die Behauptung für $n=1$
linke Seite: [mm]\summe_{k=1}^{1}k*x^{k} = 1* x^1 = x[/mm]
rechte Seite: [mm]\bruch{1x^{1+2}-(1+1)x^{1+1}+x}{(1-x)^{2}}= \bruch{x^3 -2x^2 + x}{(1-x)^2}= \bruch{x(x^2-2x+1)}{(1-x)^2} = \bruch{x(1-x)^2}{(1-x)^2} = x [/mm]
Stimmt also überein. Als nächstes kommt der
2. Induktionsschritt von $ n [mm] \to [/mm] (n+1)$
Ich darf jetzt voraussetzen, meine behauptung gilt für n. (Induktionsvoraussetzung)
Dann ist die Induktionsbehauptung, dass es auch für n+1 gilt. Das musst du dann noch zeigen, darfst aber die Induktionsvoraussetzung schon verwenden, was der Knackpunkt an der Sache ist.
Also setzt du für n ein n+1:
[mm]\summe_{k=1}^{n+1}k*x^{k} = \bruch{(n+1)x^{(n+1)+2}-((n+1)+1)x^{(n+1)+1}+x}{(1-x)^{2}}[/mm]
Nun beginnst du zu beiweisen. Das pberlasse ich zur Übung erstmal dir. Wenn du fragen hast, dann stelle sie bitte. Noch ein Tipp: Ich würde auf der linken Seite mit dem Summenseichen beginnen und die Summe "auseinandernehmen". 
Gruß Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 Fr 22.10.2004 | | Autor: | xantic_22 |
Hallo Micha,
danke für die anschauliche Darstellung der Funktionsweise der vollständigen Induktion. Ich werde heute Abend mal versuchen, den Induktionsschritt zu beweisen. Sollte ich dabei Probleme haben, werde ich Sie euch mitteilen. Danke erstmal.
Gruß
Henning
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