Wie liegen die Ebenen? < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (1)
[mm] E_{1}:x_{1}+x_{2}+x_{3}=5
[/mm]
[mm] E_{2}:\vec{x}=\vektor{2 \\ 0 \\ -1}+\mu*\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+\lambda*\vektor{-1 \\ 3 \\ 1} [/mm] |
Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Bei dieser Aufgabe bin ich soweit gekommen, dass ich die Gleichung
[mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 3 \\ 1}+\lambda*\vektor{-1 \\ 4 \\ 3}
[/mm]
erhalten habe (die ist richtig, wir haben die Lösungen vorgegeben bekommen).
Das war ja der erste (große) Schritt um dem Ziel näher zu kommen.
Aber wie kann ich jetzt heraus finden, wie die Ebenen zueinander liegen?
Liebe Grüße,
Sarah 
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Hallo Abakus ,
> aus der Darstellung [mm]E_{1}:x_{1}+x_{2}+x_{3}=5[/mm]
> (genauer : [mm]E_{1}:1*x_{1}+1*x_{2}+1*x_{3}=5[/mm]) kannst du
> ablesen, dass die Ebene [mm]E_1[/mm] den Normalenvektor [mm]\vektor{1 \\ 1\\1}[/mm]
> besitzt.
Hmmm... Also muss ich mir immer nur die Faktoren ansehen um den Normalvektor zu bilden?
> Den Normalenvektor der anderen Ebene erhältst du aus dem
> Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ihrer Spannvektoren.
Was sind Spannvektoren?
Dann hätte ich es mir doch eigentlich ersparen können die Gleichung aufzustellen, oder? Das verstehe ich nicht, weil wir im Unterricht gesagt bekommen haben, dass wir so vorgehen sollen.
> Zeigen die beiden Vektoren in verschiedene Richtungen,
> dann schneiden sich die Ebenen. Falls nicht, sind sie
> identisch oder parallel.
Hmmm... Das kenne ich, weiß aber gerade nicht mehr, wie das funktioniert. Wärst du so nett und erklärst es mir noch einmal?
Liebe Grüße,
Sarah
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Sa 17.05.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Sarah,
> Hallo Abakus ,
>
> > aus der Darstellung [mm]E_{1}:x_{1}+x_{2}+x_{3}=5[/mm]
> > (genauer : [mm]E_{1}:1*x_{1}+1*x_{2}+1*x_{3}=5[/mm]) kannst du
> > ablesen, dass die Ebene [mm]E_1[/mm] den Normalenvektor [mm]\vektor{1 \\ 1\\1}[/mm]
> > besitzt.
>
> Hmmm... Also muss ich mir immer nur die Faktoren ansehen um
> den Normalvektor zu bilden?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") genau
>
> > Den Normalenvektor der anderen Ebene erhältst du aus dem
> > Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ihrer Spannvektoren.
>
> Was sind Spannvektoren?
Richtungsvektoren
>
> Dann hätte ich es mir doch eigentlich ersparen können die
> Gleichung aufzustellen, oder?
So ist es. Du brauchst sogar nur zu prüfen ob der Normalenvektor der ersten Gerade senkrecht zu den Richtungsvektoren der zweiten Ebene steht. Tut er das, dann sind die Ebenen parallel. Dann prüfst Du noch auf Identität.
Du kannst aber auch die Schnittmenge der beiden Ebenen bestimmen.
> Das verstehe ich nicht, weil
> wir im Unterricht gesagt bekommen haben, dass wir so
> vorgehen sollen.
Vielleicht habt Ihr noch gar nicht so viel über Normalenvektoren gelernt?
Ich weiß natürlich nicht, welche Verfahren ihr in der Schule behandelt habt. Ein mögliches Verfahren ist das folgende:
Du nimmst die beiden Richtungsvektoren der ersten Ebene und den ersten Richtungsvektor der zweiten. Diese drei Vektoren untersuchst Du auf lineare Unabhängigkeit. Sind sie linear abhängig, untersuchst Du noch, ob auch die die beiden Rven der ersten Ebene und der zweite RV der zweiten Ebene linear abhängig sind. In dem Fall sind die Ebenen parallel. Dann folgt noch die Untersuchung auf Identität.
Ergibt sich bei einer Untersuchung lineare Unabhängigkeit, dann gibt es eine Schnittgerade.
>
> > Zeigen die beiden Vektoren in verschiedene Richtungen,
> > dann schneiden sich die Ebenen. Falls nicht, sind sie
> > identisch oder parallel.
>
> Hmmm... Das kenne ich, weiß aber gerade nicht mehr, wie das
> funktioniert. Wärst du so nett und erklärst es mir noch
> einmal?
Du schaust einfach, ob der eine Normalenvektor ein Vielfaches des anderen ist.
>
>
Gruß
Sigrid
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Hallo Zusammen ,
Danke für eure Antworten, aber ich möchte gerne mit der Gleichung
[mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 3 \\ 1}+\lambda\cdot{}\vektor{-1 \\ 4 \\ 3}
[/mm]
weiterarbeiten, da wir diesen Schritt in der Schule gemacht haben.
> > > Den Normalenvektor der anderen Ebene erhältst du aus dem
> > > Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ihrer Spannvektoren.
> >
> > Was sind Spannvektoren?
>
> Richtungsvektoren
Okay, mein Richtunsvektor ist [mm] \vec{u}=\vektor{-1 \\ 4 \\ 3}
[/mm]
Ich verstehe das darauf folgende Vorgehen nicht.
> So ist es. Du brauchst sogar nur zu prüfen ob der
> Normalenvektor der ersten Gerade senkrecht zu den
> Richtungsvektoren der zweiten Ebene steht. Tut er das, dann
> sind die Ebenen parallel.
Wie würde man das denn überprüfen?
> Du kannst aber auch die Schnittmenge der beiden Ebenen
> bestimmen.
Und wie macht man das?
> Vielleicht habt Ihr noch gar nicht so viel über
> Normalenvektoren gelernt?
> Ich weiß natürlich nicht, welche Verfahren ihr in der
> Schule behandelt habt.
Das ist gut möglich, wir haben damit gerafe erst angefangen.
Ein mögliches Verfahren ist das
> folgende:
> Du nimmst die beiden Richtungsvektoren der ersten Ebene
> und den ersten Richtungsvektor der zweiten.
Den von [mm] E_{2} [/mm] kann man ja direkt übernehmen, aber wie rechne ich den für [mm] E_{1} [/mm] aus?
Diese drei
> Vektoren untersuchst Du auf lineare Unabhängigkeit. Sind
> sie linear abhängig, untersuchst Du noch, ob auch die die
> beiden Rven der ersten Ebene und der zweite RV der zweiten
> Ebene linear abhängig sind. In dem Fall sind die Ebenen
> parallel. Dann folgt noch die Untersuchung auf Identität.
> Ergibt sich bei einer Untersuchung lineare Unabhängigkeit,
> dann gibt es eine Schnittgerade.
Okay, das wäre hinzubekommen... Glaube ich.
> Du schaust einfach, ob der eine Normalenvektor ein
> Vielfaches des anderen ist.
Vielen Dank für die Mühe!
Liebe Grüße,
Sarah
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Hallo Sarah,
> Hallo Zusammen ,
>
> Danke für eure Antworten, aber ich möchte gerne mit der
> Gleichung
>
> [mm]\vec{x}=\vektor{1 \\ 3 \\ 1}+\lambda\cdot{}\vektor{-1 \\ 4 \\ 3}[/mm]
Diese Gleichung stellt die Schnittgerade deiner beiden Ebenen dar. Du hast damit, sicher unbewusst, schon nachgewisen, dass die beiden Ebenen schief zueinander liegen (sonst würden sie sich ja nicht schneiden und keine Schnittgerade bilden).
Gruß,
Tommy
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