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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Sa 18.07.2009 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | Berechne:
2y' - x/y = [mm] \bruch{xy}{x^2-1} [/mm] |
Hallo zusammen, ich hab mal versucht ein paar aufgaben zu wiederholen und komme bei der hier nicht mehr weiter.
also erstmal kann ich da mit bernoulli rangehen.
==>
y' - [mm] \bruch{x}{2x^2-1}y-\bruch{x}{2}y^{-1} [/mm] = 0
mit [mm] y=z^\beta [/mm] , [mm] y'=\beta z^{\beta -1}z' [/mm] folgt (ich teile direkt duch [mm] \beta z^{\beta -1})
[/mm]
z' - [mm] \bruch{x}{2\beta (x^2-1)}z-\bruch{x}{2\beta}z^{-2\beta+1}=0
[/mm]
und mit [mm] \beta=1/2 [/mm] ==>
z' - [mm] \bruch{x}{x^2-1}z [/mm] = x
das ist ja nun ne lin. dgl. erster ordnung. ==> homogene Lösung:
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{x}{x^2-1}z [/mm] ==>
ln |z| = 1/2 ln [mm] |x^2-1| [/mm] +c
z = [mm] \wurzel{c|x^2-1|}
[/mm]
so und wenn ich bis hier keinen fehler gemacht hab, hab ich ein riesen brett vorm kopf das nicht weg geht, dann mir will kein ansatz einfallen wie ich nun die spezielle lösung rauskriege...
ich bin dankbar für jeden vorschlag.
mfg die maxi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Sa 18.07.2009 | | Autor: | wogie |
> Berechne:
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> 2y' - x/y = [mm]\bruch{xy}{x^2-1}[/mm]
> Hallo zusammen, ich hab mal versucht ein paar aufgaben zu
> wiederholen und komme bei der hier nicht mehr weiter.
>
> also erstmal kann ich da mit bernoulli rangehen.
>
> ==>
>
> y' - [mm]\bruch{x}{2x^2-1}y-\bruch{x}{2}y^{-1}[/mm] = 0
>
> mit [mm]y=z^\beta[/mm] , [mm]y'=\beta z^{\beta -1}z'[/mm] folgt (ich teile
> direkt duch [mm]\beta z^{\beta -1})[/mm]
>
> z' - [mm]\bruch{x}{2\beta (x^2-1)}z-\bruch{x}{2\beta}z^{-2\beta+1}=0[/mm]
>
> und mit [mm]\beta=1/2[/mm] ==>
>
> z' - [mm]\bruch{x}{x^2-1}z[/mm] = x
>
> das ist ja nun ne lin. dgl. erster ordnung. ==> homogene
> Lösung:
>
> [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{x}{x^2-1}z[/mm] ==>
>
> ln |z| = 1/2 ln [mm]|x^2-1|[/mm] +c
>
> z = [mm]\wurzel{c|x^2-1|}[/mm]
>
> so und wenn ich bis hier keinen fehler gemacht hab, hab ich
> ein riesen brett vorm kopf das nicht weg geht, dann mir
> will kein ansatz einfallen wie ich nun die spezielle
> lösung rauskriege...
>
> ich bin dankbar für jeden vorschlag.
>
> mfg die maxi
Für die homogene Lösung würde ich der Einfachheit halber schreiben
[mm]z(x) =K\wurzel{x^2-1}[/mm]
d.h. erstmal annehmen, dass [mm] $x^2>1$. [/mm] Die konstante unter der wurzel wird im folgenden sehr unhandlich werden, deshalb definiere eine neue.
Um eine spezielle Lösung zu erhalten nimmst du einfach den Ansatz
[mm]z_s(x) =K(x)\wurzel{x^2-1}[/mm]
und erhälst eine einfache DGL für $K(x)$.
hoffe, das hilft. Vlg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Sa 18.07.2009 | | Autor: | maxi85 |
> > Berechne:
> >
> > 2y' - x/y = [mm]\bruch{xy}{x^2-1}[/mm]
> > Hallo zusammen, ich hab mal versucht ein paar aufgaben
> zu
> > wiederholen und komme bei der hier nicht mehr weiter.
> >
> > also erstmal kann ich da mit bernoulli rangehen.
> >
> > ==>
> >
> > y' - [mm]\bruch{x}{2x^2-1}y-\bruch{x}{2}y^{-1}[/mm] = 0
> >
> > mit [mm]y=z^\beta[/mm] , [mm]y'=\beta z^{\beta -1}z'[/mm] folgt (ich teile
> > direkt duch [mm]\beta z^{\beta -1})[/mm]
> >
> > z' - [mm]\bruch{x}{2\beta (x^2-1)}z-\bruch{x}{2\beta}z^{-2\beta+1}=0[/mm]
>
> >
> > und mit [mm]\beta=1/2[/mm] ==>
> >
> > z' - [mm]\bruch{x}{x^2-1}z[/mm] = x
> >
> > das ist ja nun ne lin. dgl. erster ordnung. ==> homogene
> > Lösung:
> >
> > [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{x}{x^2-1}z[/mm] ==>
> >
> > ln |z| = 1/2 ln [mm]|x^2-1|[/mm] +c
> >
> > z = [mm]\wurzel{c|x^2-1|}[/mm]
> >
> > so und wenn ich bis hier keinen fehler gemacht hab, hab ich
> > ein riesen brett vorm kopf das nicht weg geht, dann mir
> > will kein ansatz einfallen wie ich nun die spezielle
> > lösung rauskriege...
> >
> > ich bin dankbar für jeden vorschlag.
> >
> > mfg die maxi
>
> Für die homogene Lösung würde ich der Einfachheit halber
> schreiben
>
> [mm]z(x) =K\wurzel{x^2-1}[/mm]
>
> d.h. erstmal annehmen, dass [mm]x^2>1[/mm]. Die konstante unter der
> wurzel wird im folgenden sehr unhandlich werden, deshalb
> definiere eine neue.
>
> Um eine spezielle Lösung zu erhalten nimmst du einfach den
> Ansatz
>
> [mm]z_s(x) =K(x)\wurzel{x^2-1}[/mm]
>
> und erhälst eine einfache DGL für [mm]K(x)[/mm].
> hoffe, das hilft. Vlg
Hey, leider hilft es noch nicht so ganz. Ich weiß nun dank dir, dass ich irgendwas namens Variation der Konstanten machen muss. Nur leider verstehe ich nicht so wirklich was da zu tun ist und der wikipediaartikel und mein hefter machen das auch nicht wirklich besser.
hast du oder irgendwer evt. nen tread/aufgabe/erklärung wie das geht? oder hat irgendwer irgendwo hier schon ne aufgabe gemacht aus der das deutlich wird?
danke im vorraus...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Sa 18.07.2009 | | Autor: | wogie |
Variation der Konstanten ist (wie der Name schon sagt) ein Verfahren bei dem man eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL kriegt, wobei man ausnutzt, dass man das homogene Problem bereits gelöst hat.
Die homogene Lösung war
[mm]z_h(x) =K\wurzel{x^2-1}[/mm]
Nun setzt man einfach folgenden Ansatz in die (volle) DGL ein
[mm]z_s(x) =K(x)\wurzel{x^2-1}[/mm]
wobei man die Konstante $K$ durch eine $x$-abhängige Funktion $K(x)$ ersetzt hat (daher der Name).
Es ergibt sich
[mm]K'(x)=\frac{x}{\wurzel{x^2-1}}[/mm]
was man durch einfaches integrieren löst.
Die vollständige Lösung setzt sich dan zusammen als
[mm]z_(x) =z_h(x)+z_s(x)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Sa 18.07.2009 | | Autor: | maxi85 |
> Variation der Konstanten ist (wie der Name schon sagt) ein
> Verfahren bei dem man eine spezielle Lösung der
> inhomogenen DGL kriegt, wobei man ausnutzt, dass man das
> homogene Problem bereits gelöst hat.
>
> Die homogene Lösung war
>
> [mm]z_h(x) =K\wurzel{x^2-1}[/mm]
>
> Nun setzt man einfach folgenden Ansatz in die (volle) DGL
> ein
>
> [mm]z_s(x) =K(x)\wurzel{x^2-1}[/mm]
sehe ich das richtig, dass ich dann auch [mm] z_s'(x) [/mm] bauche?
bei mir ist das: [mm] z_s'(x)=K(x)*1/2*(x^2-1)^{-1/2}+K'(x)(x^2-1)^{1/2}
[/mm]
>
> wobei man die Konstante [mm]K[/mm] durch eine [mm]x[/mm]-abhängige Funktion
> [mm]K(x)[/mm] ersetzt hat (daher der Name).
>
> Es ergibt sich
>
> [mm]K'(x)=\frac{x}{\wurzel{x^2-1}}[/mm]
>
> was man durch einfaches integrieren löst.
ich komme dann nach einsetzen auf:
[mm] K(x)*1/2*(x^2-1)^{-1/2}+K'(x)(x^2-1)^{1/2}=x+\bruch{x}{x^2-1}K(x)\wurzel{x^2-1} [/mm] und nach umformen auf
[mm] K'(x)(x^2-1)=x\wurzel{x^2-1}+(x-1/2)K(x) [/mm] ???
> Die vollständige Lösung setzt sich dan zusammen als
>
>
> [mm]z_(x) =z_h(x)+z_s(x)[/mm]
>
Kannst du mir evt. etwas kleinschrittiger sagen was du gemacht hast?
Und zum alggemeinen ablauf.
1. Homogene Lösung bestimmen
2. konstante als konstante von x schreiben
3. so oft wie grad der dgl ist ableiten
4. in dgl einsetzen
5. umformen bis was dasteht was lösbar ist.
ist das der ablauf den ich da durchgehen muss oder hab ich noch was vergessen?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Sa 18.07.2009 | | Autor: | wogie |
> sehe ich das richtig, dass ich dann auch [mm]z_s'(x)[/mm] bauche?
Ja.
>
> bei mir ist das:
> [mm]z_s'(x)=K(x)*1/2*(x^2-1)^{-1/2}+K'(x)(x^2-1)^{1/2}[/mm]
>
Nachdifferenzieren im 1. Term beachten.
> ich komme dann nach einsetzen auf:
>
> [mm]K(x)*1/2*(x^2-1)^{-1/2}+K'(x)(x^2-1)^{1/2}=x+\bruch{x}{x^2-1}K(x)\wurzel{x^2-1}[/mm]
> und nach umformen auf
>
> [mm]K'(x)(x^2-1)=x\wurzel{x^2-1}+(x-1/2)K(x)[/mm] ???
>
>
siehe oben.
> Kannst du mir evt. etwas kleinschrittiger sagen was du
> gemacht hast?
>
> Und zum alggemeinen ablauf.
>
> 1. Homogene Lösung bestimmen
> 2. konstante als konstante von x schreiben
> 3. so oft wie grad der dgl ist ableiten
naja, die ableitungen rausrechnen, die in der DGL vorkommen, ich denke du meinst schon das richtige.
> 4. in dgl einsetzen
> 5. umformen bis was dasteht was lösbar ist.
>
> ist das der ablauf den ich da durchgehen muss oder hab ich
> noch was vergessen?
>
> mfg
Passt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Sa 18.07.2009 | | Autor: | maxi85 |
alles klar, jetzt hab ichs, danke
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