Wie wird das gerechnet < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Geben sie die algebraische Darstellung(mit einer Genauigkeit von 3 Stellen nach dem Komma) für die folgenden Komplexen zahlen an.
a) [mm] z_{1}=sinh(i) [/mm] b) [mm] z_{2}=cos(i) [/mm] c) [mm] z_{3}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(1+i)^{k}}
[/mm]
Kann mir jemand zeigen wie mann diese Aufgabe löst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Fr 13.02.2009 | | Autor: | Mathmark |
Hallo Christoph !
Leider ist dir ein Darstellungsfehler unterlaufen:
[mm] $z_1=\sinh(i)$
[/mm]
[mm] $z_2=\cos(i)$ [/mm] sind korrekt, aber ist
$ [mm] z_3=\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{1+i})^{k} [/mm] $ ?
Gruß Mark
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Hallo,
Für [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] benutze die Definitionen:
[mm] $\sinh(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$
[/mm]
sowie
[mm] $\cos(x)=\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})$
[/mm]
Außerdem solltest du die Eulerformel kennen: [mm] $e^{ix}=\cos(x)+i\cdot{}\sin(x)$ [/mm] und überlege dir, was sich für x=1 ergibt.
[mm] z_3 [/mm] kann ich leider nicht lesen.
Gruß Patrick
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Kannst du mir zeigen wie ich da weiter gehe ich stehe irgendwie auf den Schlauch
Schon mal danke
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Hallo Christopf,
> Kannst du mir zeigen wie ich da weiter gehe ich stehe
> irgendwie auf den Schlauch
Setze in die Definitionen für [mm]x=i[/mm] ein.
>
> Schon mal danke
Gruß
MathePower
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[mm] sin(i)=\bruch{e^{i2}-e^{-i2}}{2i}=\bruch{e^{-1}-e}{2i}= \bruch{(e^{-1}-e)i}{2}=\bruch{(\bruch{1}{e}-e)i}{2}
[/mm]
Das ist ein Beispiel aus meien Vorlesungsunterlagen zumeiner gestellten Aufgabe.
Ich verstehe hier nicht wo die Quadratzahl her kommt obwohl die nicht in der eulersche Formel nicht existiert.
Und meine nächste Frage wie kommt man dieserForm zu einer zahlmit 3 Stellen nach den Komma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 Fr 13.02.2009 | | Autor: | hayabusa |
[mm] sin(i)=\bruch{e^{i*i}-e^{-i*i}}{2i}=\bruch{e^{-1}-e}{2i}= \bruch{(e^{-1}-e)*(-i)}{2}=\bruch{(\bruch{1}{e}-e)(-i)}{2}
[/mm]
Habe mal dein Beispiel aus der Vorlesung korrigiert!
Soll die komplexe Zahl die Form z=a+ib haben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:44 Fr 13.02.2009 | | Autor: | Christopf |
Wenn ich das richtig verstanden habe ist das ein Beispiel für die Aufgabe aus einer alten Klausur die ich in meiner ersten Frage formuliert habe. Und mir fehlt jegkliche Vorstellung wie man bei dieser Aufgabe eine Zahl raus bekommt und das noch mit 3 stellen nach dem Komma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:57 Fr 13.02.2009 | | Autor: | hayabusa |
> [mm]sin(i)=\bruch{e^{i*i}-e^{-i*i}}{2i}=\bruch{e^{-1}-e}{2i}= \bruch{(e^{-1}-e)*(-i)}{2}=\bruch{(\bruch{1}{e}-e)(-i)}{2}[/mm]
>
> Habe mal dein Beispiel aus der Vorlesung korrigiert!
> Soll die komplexe Zahl die Form z=a+ib haben?
Wie geht es jetzt weiter ?
[mm] \bruch{(\bruch{1}{e}-e)(-i)}{2}=
[/mm]
[mm] \bruch{(\bruch{-1i}{e}+ie)}{2}=\bruch{-1i}{2e}+\bruch{ie}{2}=\bruch{-1i}{2e}+\bruch{ie^{2}}{2e}=(\bruch{-1+e^{2}}{2e})*i= [/mm] 1.175i
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Danke für deien Unterstützung
$ [mm] z_{3}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(1+i)^{k}} [/mm] $
Kannst du mich auch bei diesem Problem helfen
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Hallo Christopf,
> Danke für deien Unterstützung
>
> [mm]z_{3}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(1+i)^{k}}[/mm]
>
> Kannst du mich auch bei diesem Problem helfen
Denke an die geometrische Reihe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}z^k$, [/mm] die für $|z|<1$ konvergiert gegen ...
Beachte, dass deine Reihe aber erst bei $k=1$ (und nicht schon bei k=0 losläuft, den Summanden für k=0, also [mm] $\frac{1}{(1+i)^0}=1$ [/mm] musst du also abziehen ...)
LG
schachuzipus
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Muss ich hier auch mt der eulerschen Formel arbeiten?
Wenn ja, wie sieht das hier aus?
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Hallo,
nein, im Moment brauchst Du keine Eulersche Formel.
Verwende die geometrische Reihe, und beachte, was schachuzipus gesagt hat.
Ablaufplan:
1. geometrische Reihe vorsuchen
2. Prüfen, ob | [mm] \bruch{1}{1+i}| [/mm] <1
3. Geometrische Reihe v. 0 bis [mm] \infty [/mm] ausrechnen
4. Daraus den Wert für die Reihe v. 1 bis [mm] \infty [/mm] gewinnen.
Rückfragen bitte mit den durchgeführten rechnungen.
Gruß v. Angela
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Die konvergiert gegen unendlich
Noch eine Frage: Kann ich dort auch die eulersche Formel nutzen? Mit eure Tips kann ich noch nicht viel anfangen
Sorry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:01 Mo 23.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christopf!
> Die konvergiert gegen unendlich
Der Satz an sich ist schon Blödsinn! Und divergiert diese Reihe wirklich?
Wie lautet denn der Betrag von [mm] $\bruch{1}{1+i}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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Ist [mm] cos(i)=\bruch{e^{i*i}+e^{-i*i}}{2i}=\bruch{e^{-1+e}*(-1)}{2}=(\bruch{1}{e}+e)(-i)/2=(\bruch{-1}{e}-ie)/2....=0,385i
[/mm]
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Hallo Christopf,
Nein.
Die Definition hast Du doch schon, Du musst nur noch einsetzen.
Zur Kontrolle: das Ergebnis ist eine reelle Zahl zwischen 1 und 2.
Grüße
reverend
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Kannst du mir zeigen wo mein fehler liegt
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Hallo Christopf,
die Definition hatte Patrick ja aufgeschrieben:
[mm] \cos{x}=\bruch{1}{2}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)
[/mm]
Also ist [mm] \cos{i}=\bruch{1}{2}\left(e^{i*i}+e^{-i*i}\right)=\bruch{1}{2}\left(e^{-1}+e^{1}\right)=\bruch{1}{2}\left(e+\bruch{1}{e}\right)\approx \a{}1,543
[/mm]
Grüße
reverend
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