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| Aufgabe | | 1) Im [mm] R^3 [/mm] sei das Dreieck mit den Punkten A = (5,0,3), B = (3,4,0) und C = (0,3,6) gegeben. Berechnen Sie seine "Seitenlängen" und "Innenwinkel". |
Hallo.
Zu dieser Aufgabe habe ich mehrere Fragen. Also...
1. Es ist ja der Raum [mm] R^3 [/mm] angegeben; aber nur drei Punkte A,B und C. Also ist das Dreieck an sich doch zweidimensional, oder? Ich bin jetzt davon ausgegangen.
2. Ist dann mit Innenwinkel der Winkel bei A gemeint?
3. Also, ich hab jetzt erstmal das Dreieck so wie üblich benannt und die Vektoren mal nach den Seiten benannt. Also hab ich als erstes die Vektoren b und c ausgerechnet. Da habe ich raus: [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] (-5,3,3)^t [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] = [mm] (-2,4,-3)^t.
[/mm]
So, und wie komme ich jetzt davon auf die Längen der Seiten?
4. Nun muss ich noch den Winkel berechnen; dafür haben wir die Formel:
[mm] \alpha [/mm] = arccos [mm] ((\vec{b} [/mm] * [mm] \vec{c}) [/mm] / [mm] (|\vec{b}| [/mm] * [mm] |\vec{c}|))
[/mm]
Jetzt kann ich dafür natürlich Vektor b und c einsetzen und für die Beträge auch die Längen, die ich berechnet habe... aber wie bekomme ich dann über dem Bruchstrich diese Spaltenform weg?
Ich hoffe mir kann das jemand erklären...!!
Viele Grüße,
Anna
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Hallo,
1) dein Dreieck ist zweidimensional
2) ein Dreieck hat bekanntlich drei Innenwinkel, die in der Summe 180 Grad ergeben
3) bezeichne die Vektoren mit [mm] \overrightarrow{AC}=\vektor{-5 \\ 3 \\ 3}, \overrightarrow{AB}=\vektor{-2 \\ 4 \\ -3} [/mm] und [mm] \overrightarrow{BC}
[/mm]
4) hier wendest du das Skalarprodukt an:
[mm] \overrightarrow{AC}*\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AC}|*|\overrightarrow{AB}|*cos(\alpha)
[/mm]
[mm] \vektor{-5 \\ 3 \\ 3}*\vektor{-2 \\ 4 \\ -3} [/mm] sollte kein Problem sein, ebenso die Beträge dieser beiden Vektoren, dann kannst du [mm] \alpha [/mm] berechnen,
nach der gleichen Methode [mm] \beta,
[/mm]
nach dem Innenwinkelsatz [mm] \gamma, [/mm] zur Kontrolle kannst du ja erneut die Methode über das Skalarprodukt rechnen,
somit hast du die Seitenlängen (die Beträge der Vektoren) und die Innenenwinkel
Steffi
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Hallo nochmal und schonmal danke...
Sorry, wahscheinlich stelle ich mich jetzt gerade ganz blöd an... aber ich verstehe das mit der Länge der Vektoren einfach nicht.
Ich habe jetzt meinetwegen einen Vektor [mm] \vektor{-5 \\ 3\\ 3}. [/mm] Und das sind doch jetzt drei Zahlen übereinander. Wenn das der Vektor AC ist, wie bekomme ich denn dann die Länge? Kann man die Länge nicht einfach als eine Zahl darstellen?
Außerdem habe ich noch ein Problem: Wenn ich das Skalarprodukt anwende für den Winkel [mm] \alpha, [/mm] dann habe ich da schließlich stehen:
[mm] \vektor{10 \\ 12\\ -9} [/mm] = [mm] \vektor{10 \\ 12\\ 9} [/mm] * [mm] cos\alpha. [/mm] Und wie kann ich jetzt alpha ausrechnen? Man darf doch nicht durch Vektoren teilen???
Viele Grüße,
Anna
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Hi,
> Hallo nochmal und schonmal danke...
> Sorry, wahscheinlich stelle ich mich jetzt gerade ganz
> blöd an... aber ich verstehe das mit der Länge der Vektoren
> einfach nicht.
> Ich habe jetzt meinetwegen einen Vektor [mm]\vektor{-5 \\ 3\\ 3}.[/mm]
> Und das sind doch jetzt drei Zahlen übereinander. Wenn das
> der Vektor AC ist, wie bekomme ich denn dann die Länge?
Die Länge eines Vektors [mm] \vec{a}=\vektor{a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}} [/mm] berechnet sich mit [mm] |\vec{a}|=\wurzel{(a_{1})^{2}+(a_{2})^{2}+(a_{3})^{2}}
[/mm]
> Kann man die Länge nicht einfach als eine Zahl darstellen?
Ja es kommt eine Zahl heraus.
> Außerdem habe ich noch ein Problem: Wenn ich das
> Skalarprodukt anwende für den Winkel [mm]\alpha,[/mm] dann habe ich
> da schließlich stehen:
> [mm]\vektor{10 \\ 12\\ -9}[/mm] = [mm]\vektor{10 \\ 12\\ 9}[/mm] *
> [mm]cos\alpha.[/mm] Und wie kann ich jetzt alpha ausrechnen? Man
> darf doch nicht durch Vektoren teilen???
>
Das was du gerechnet hast ist nicht ganz richtig. Ich mache dir das mal für [mm] \\alpha [/mm] vor.
Steffi hat dir ja die Formel gegeben. Es ist [mm] \overrightarrow{AC}\cdot{}\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AC}|\cdot{}|\overrightarrow{AB}|\cdot{}cos(\alpha) \gdw \\cos(\alpha)=\bruch{\overrightarrow{AC}\cdot{}\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AC}|\cdot{}|\overrightarrow{AB}|}
[/mm]
Der Zähler ist ein einfaches Skalarprodukt zwischen 2 Vektoren. Werden [mm] \\2 [/mm] Vektoren miteinander multipliziert kommt eine Zahl heraus. Also folgt für unser Skalarprodukt beider Vektoren:
[mm] \vektor{-5 \\ 3 \\ 3}\cdot\vektor{-2 \\ 4 \\ -3}=(-5)\cdot(-2)+3\cdot\\4+3\cdot(-3)=13
[/mm]
Der Nenner ist die Multiplikation der Längen beider Vektoren. Also müssen wir zunächst die Längen ausrechnen. Wie du das machst habe ich dir weiter oben erklärt. Damit hast du dann: [mm] \\cos(\alpha)=\bruch{13}{\wurzel{43}\cdot\wurzel{29}}\approx\\0,368 [/mm] Dann folgt für [mm] \alpha\approx\\68,41°
[/mm]
Das selbe Prinzip wendest du für [mm] \\beta [/mm] und [mm] \\gamma [/mm] an. 
> Viele Grüße,
> Anna
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Mi 11.06.2008 | | Autor: | crazyhuts1 |
Hey, super. Danke! Hat funktioniert!
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