Winkelfunktionen im Dreieck < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Sa 02.09.2006 | | Autor: | Petow |
| Aufgabe | In einem beliebigen Dreieck gilt: [mm] 3\alpha [/mm] + [mm] 2\beta [/mm] =180°
Wenn das gilt, gilt auch a²+bc=c².
Beweise! |
Ich hab schon voll lange dran gesesen aber komm nicht drauf, könnt ihr mir bitte helfen und sagen wies funktioniert...
Schonmal danke!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:17 Sa 02.09.2006 | | Autor: | Amy1988 |
Hey du!!!
Also, ich bin zwar auch nciht so der Mathe-Freak, aber ich versuchs mal... =)
Wenn du $ [mm] 3\alpha [/mm] $ + $ [mm] 2\beta [/mm] $ =180° nach [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] auflöst, bleibt stehen : [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] = 90°
Und weil ja im Dreieck gilt: [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] + [mm] \gamma [/mm] = 180°, muss [mm] \gamma [/mm] = 90° sein.
Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck (also in einem Dreieck, bei dem ein Winkel 90° groß ist). Damit hast du den Beweis dafür, dass beides in dem gesuchten Dreeck gilt!
AMY
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Sa 02.09.2006 | | Autor: | Petow |
Also man kann das so nicht auflösen das stimmt nicht!!!
Weis jemand wies geht? Bracuh das dringend!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Sa 02.09.2006 | | Autor: | Fulla |
hi
mir fällt folgendes ein:
[mm] 3\alpha+2\beta=180°=\alpha+\beta+\gamma [/mm] (innenwinkelsumme)
und vielleicht gibt es einen satz, der das verhältnis zwischen winkeln und seiten beschreibt [mm] a:b=\alpha:\beta....
[/mm]
aber ich hab bei meiner (zugegebenermaßen recht kurzen) suche leider nix in der art gefunden....
lieben gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Sa 02.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Ja es gibt Sätze, aber nur mit Sinus und Kosinus etc.... das muss irgendetwas anderes sein.
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(Antwort) fehlerhaft | | Datum: | 13:42 So 03.09.2006 | | Autor: | laryllan |
Aloa Petow,
Hab mir auch gerade die Zähne etwas daran ausgebissen. Hier meine Überlegungen:
Das Wörtchen "WENN" erregte meine Aufmerksamkeit. Ich ging also etwas praktischer ran und überlegte mir: Wenn du zeigst, dass diese Vorraussetzung Nonsens ist, ist das ganze ja auch gegessen.
Ok... also nun folgendes:
Nach Voraussetzung soll [tex] 2 \alpha + 2 \beta =180° [/tex] gelten. Wie bei jeder normalen Gleichung kannst du diese sicherlich umstellen und erhältst:
[tex] \beta = 90° - \bruch{3}{2} * \alpha [/tex] - ich habe mich hierbei dafür entschieden eine Abhängigkeit von Alpha zu wählen. Offensichtlich ist der Winkel [mm] \beta [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] kleiner als 90°. So Spielereien mit negativen Winkeln lassen wir mal außen vor.
Nun gibt es ja - vom natürlichen Verständnis her - einen dritten Winkel im Dreieck. Dieser heiße [mm] \gamma.
[/mm]
Nach dem Winkelsummensatz im Dreieck (der sicherlich oft genug geprüft wurde um richtig zu sein) gilt: [tex] \alpha + \beta + \gamma = 180° [/tex]
Anders herum erhalten wir aber sicherlich nach einer Umformung:
[tex] \gamma = 180° - \alpha - \beta [/tex]. (*)
Wie uns nun aus der Vorraussetzung deiner Aufgabe bekannt ist, soll ja [tex] 2 \alpha + 2 \beta =180° [/tex] und demnach - wie bereits gezeigt - auch [tex] \beta = 90° - \bruch{3}{2} * \alpha [/tex] gelten. Wir stopfen dies nun in die umgeformte "Gamma-Gleichung" (*) und erhalten:
[tex] \gamma = 180° - \alpha - (90° - \bruch{3}{2} * \alpha )[/tex]
Löst man die Klammer auf, ergibt sich:
[tex] \gamma = 90° - \bruch{5}{2} * \alpha [/tex].
Demnach ist es uns nach deiner Aufgabe möglich, die Winkel eines Dreiecks adäquat in Abhängigkeit vom Winkel an Punkt a, namendlich [mm] \alpha, [/mm] zu beschreiben.
Nun gilt es eine weitere Eingrenzung für Alpha zu machen!
Wie wir wissen, enthält ein Dreieck - der Name will es schon - eben gerade drei Winkel. D.h. es kann keine Dreiecke mit drei 90° Winkeln geben und ebensowenig ein Dreieck mit einem 0°-Winkel.
Betrachten wir die Gleichung von [mm] \gamma [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \alpha:
[/mm]
[tex] \gamma = 90° - \bruch{5}{2} * \alpha [/tex]
Damit [mm] \gamma [/mm] gerade nicht 0 oder gar negativ wird, muss [mm] \alpha [/mm] offensichtlich echt kleiner als 36° sein.
Ein Wert für [mm] \alpha, [/mm] der dieser Forderung gerecht wird, wäre bspw. 20°.
Sei also nun [mm] \alpha [/mm] = 20°.
Nach den obrigen Regeln ergibt sich nun:
[tex] \beta = 90° - \bruch{3}{2} * 20° = 60°[/tex] sowie
[tex] \gamma = 90° - \bruch{5}{2} * 20° = 40*[/tex]
Zusammengezogen würden die Winkel allerdings nur 120° ergeben - ein Widerspruch zum Winkelsummensatz.
Sofern ich jetzt nicht irgendwo sehr unaufmerksam war, und irgendwas gemacht habe, was ich nicht darf, müsste es das gewesen sein.
Namárie,
sagt ein Lary, wo mal weiterhuscht
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Grüß dich
Du hast bei deiner Umformung zu Gamma ein Vorzeichenfehler.
Es kommt raus: [mm] \gamma=90°+\bruch{\alpha}{2}
[/mm]
Mir ist bis jetzt nur eins eingefallen:
Da nicht vorrausgesetzt wird, dass [mm] \alpha [/mm] bei Punkt A und [mm] \beta [/mm] bei Punkt B liegt, kann man sich dies selbst zusammen setzten.
Wenn bei A [mm] \alpha [/mm] ist und bei B u. C [mm] \alpha+\beta, [/mm] dann gilt hier auch der Innenwinkelsatz [mm] \alpha+2*(\alpha+\beta)=180° [/mm] (dies ist nun ja die Vorraussezung)
D.h. aber auch, dass das Dreieck ein gleichseitiges ist und damit gilt b=c. Dies in die Vermutung eingesetzt, führt zum Wiederspruch.
Ich muss aber selbst kritisch sagen, dass ich das mir irgendwie nicht vorstellen kann, denn die Aufgabenstellung hört sich ganz nach der Bestätigung der Behauptung an.
Naja, wir können ja weiter suchen!!
Mfg
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Hallo Petow und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> In einem beliebigen Dreieck gilt: [mm]3\alpha[/mm] + [mm]2\beta[/mm] =180°
> Wenn das gilt, gilt auch a²+bc=c².
> Beweise!
> Ich hab schon voll lange dran gesesen aber komm nicht
> drauf, könnt ihr mir bitte helfen und sagen wies
> funktioniert...
Diese Aufgabe ist wirklich ziemlich knifflig - kann es sein, dass sie aus einem Wettbewerb stammt?
Dann solltest du uns dies bestätigen.
Als Hilfe zum Weiterdenken formuliere ich mal um:
wenn in einem beliebigen Dreieck gilt: [mm]3\alpha + 2\beta =180[/mm]°,
dann gilt auch: [mm] $a^2 [/mm] + bc = [mm] c^2$
[/mm]
Du solltest mal versuchen, den dann-Teil zu beweisen, irgendwie die Winkel (über Winkelfunktionen?) ins Spiel zu bringen und dann zu erkennen, dass die gegebene Beziehung notwendig vorausgesetzt werden muss.
Ich habe aber (noch) keine Idee dazu.
Gruß informix
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Bundeswettbewerbs Mathematik 2005
