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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:38 Di 07.09.2010 | | Autor: | kawu |
Ich beschäftige mich gerade mit dieser Folge:
[mm] $x_n [/mm] = [mm] \sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$
[/mm]
Es gilt also [mm] $x_n [/mm] = [mm] \sqrt{n^2+n} [/mm] - [mm] \sqrt{n^2}$ [/mm] und deswegen [mm] $x_n \cdot (\sqrt{n^2+n} [/mm] + [mm] \sqrt{n^2}) [/mm] = n$.
Nach der Division durch [mm] $\sqrt{n^2+n} [/mm] + [mm] \sqrt{n^2}$ [/mm] also [mm] $x_n [/mm] = [mm] \frac{n}{\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2}} [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{n}\sqrt{n}}{\sqrt{n}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}$
[/mm]
Weil nun [mm] $\sqrt{1+\frac{1}{n}}$ [/mm] gegen 1 strebt, strebt [mm] $x_n= \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}$ [/mm] gegen $1/2$
Ist das alles richtig?
lg, KaWu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Di 07.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich beschäftige mich gerade mit dieser Folge:
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> [mm]x_n = \sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})[/mm]
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> Es gilt also [mm]x_n = \sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2}[/mm] und deswegen
> [mm]x_n \cdot (\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2}) = n[/mm].
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> Nach der Division durch [mm]\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2}[/mm] also [mm]x_n = \frac{n}{\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2}} = \frac{\sqrt{n}\sqrt{n}}{\sqrt{n}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}+1} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}[/mm]
>
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> Weil nun [mm]\sqrt{1+\frac{1}{n}}[/mm] gegen 1 strebt, strebt [mm]x_n= \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}[/mm]
> gegen [mm]1/2[/mm]
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> Ist das alles richtig?
Ja
FRED
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> lg, KaWu
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