Würfel ungleichmäßig ohne Reih < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:25 So 09.12.2012 | | Autor: | Catman |
| Aufgabe | Ein unregelmäßiger Stein mit vier Seiten wurde mit den Ziffern 1-4 beschriftet. Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, wurde er häufig geworfen und die Ergebnisse notiert: [...]
a)Geben Sie bestmögliche Schätzungen für die Wahrscheinlichkeiten an [...]
b)Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, mit dem Stein die Zahlfolge 1,1,1,4 zu würfeln. Erläuter Sie, weshalb ihr Ergebnis so klein ist.
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit , mit dem Stein die Ziffern 1,1,1,4 zu erhalten, egal in welcher Reihenfolge?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei zwei Würfen die Summe 4 zu erhalten? Erläutern Sie, wie Sie bei Ihrer Berechnung vorgehen. |
Guten Morgen zusammen,
Sitze hier gerade an meinem Mathe Übungsblatt und hänge an dieser Aufgabe...
Also Aufgabe a und b sind soweit klar. Bei a) habe ich zunächst die empirische Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Zahlen errechnet:
P(1)=0,4;P(2)=0,24;P(3)=0,2 und P(4)=0,16 und bei b) dann die Wahrscheinlichkeit durch Multiplikation der einzelnen Wahrscheinlichkeiten errechnet, also [mm] 0,4^{3}*0,16=1,024% [/mm] und als Begründung das es so klein ist habe ich geschrieben, weil es 256 Möglichkeiten gibt wie sich die Zahlen auf 4 Würfe verteilen können und nur eine gewünscht ist.
Jetzt ist bei c ja im Prinzip dieselbe Aufgabe, nur das die Reihenfolge nicht mehr wichtig ist, somit gibt es [mm] \vektor{n+k-1 \\ k}, [/mm] also 35 Möglichkeiten, von denen wieder nur eine erwünscht ist. Würde es sich jetzt um einen Würfel mit Gleichverteilung handeln, dann müsste die Wahrscheinlichkeit ja 1/35 sein. Jedoch weiß ich nicht, wie ich hier jetzt weiter vorgehen soll, da der Würfel ja ungleichmäßig ist.
Bei Aufgabenteil d) habe ich folgende Idee, bin mir jedoch unsicher.
Also die gewünschten Ergebnisse wären 1,3; 2,2; 3,1 und dann könnte man ja durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten für jedes dieser Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen und diese dann addieren. Ist das richtig?
Vielen Dank schonmal und freunlichen Gruß,
Andy
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Hallo,
> Sitze hier gerade an meinem Mathe Übungsblatt und hänge
> an dieser Aufgabe...
> Also Aufgabe a und b sind soweit klar. Bei a) habe ich
> zunächst die empirische Wahrscheinlichkeit für die
> einzelnen Zahlen errechnet:
> P(1)=0,4;P(2)=0,24;P(3)=0,2 und P(4)=0,16 und bei b) dann
> die Wahrscheinlichkeit durch Multiplikation der einzelnen
> Wahrscheinlichkeiten errechnet, also [mm]0,4^{3}*0,16=1,024%[/mm]
> und als Begründung das es so klein ist habe ich
> geschrieben, weil es 256 Möglichkeiten gibt wie sich die
> Zahlen auf 4 Würfe verteilen können und nur eine
> gewünscht ist.
Vorausgesetzt Teil a) stimmt, stimmt auch b).
> Jetzt ist bei c ja im Prinzip dieselbe Aufgabe, nur das
> die Reihenfolge nicht mehr wichtig ist, somit gibt es
> [mm]\vektor{n+k-1 \\ k},[/mm] also 35 Möglichkeiten, von denen
> wieder nur eine erwünscht ist. Würde es sich jetzt um
> einen Würfel mit Gleichverteilung handeln, dann müsste
> die Wahrscheinlichkeit ja 1/35 sein. Jedoch weiß ich
> nicht, wie ich hier jetzt weiter vorgehen soll, da der
> Würfel ja ungleichmäßig ist.
>
Das stimmt so nicht. Vorsicht, wenn du die Formel [mm] \vektor{n+k-1 \\ k} [/mm] verwendest, denn hier ist Möglichkeit nicht gleich Möglichkeit. Ich verdeutlichs mal an einem Beispiel:
1111 würde hier genauso als eine Möglichkeit zählen wie 1234, jedoch gibt es für letzteres 4! = 24 verschiedene mögliche Anordnungen, während es für ersteres nur eine mögliche Anordnung gibt.
Schauen wir uns doch einfach mal die Möglichkeiten an um 1114 in beliebiger Reihenfolge zu erhalten, da wären:
1114, 1141, 1411 und 4111, also ist die Wk. [mm] \bruch{4}{256}= \bruch{1}{64}.
[/mm]
Eine andere Möglichkeit es zu berechnen, wäre sich zu überlegen, wie viele Möglichkeiten es gibt unter 4 Zahlen genau 3 gleiche anzuordnen, das wären dann [mm] \vektor{4 \\ 3}=4. [/mm]
> Bei Aufgabenteil d) habe ich folgende Idee, bin mir jedoch
> unsicher.
> Also die gewünschten Ergebnisse wären 1,3; 2,2; 3,1 und
> dann könnte man ja durch Multiplikation der
> Wahrscheinlichkeiten für jedes dieser Ereignisse die
> Wahrscheinlichkeiten ausrechnen und diese dann addieren.
> Ist das richtig?
Stimmt soweit.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 So 09.12.2012 | | Autor: | Catman |
Vielen Dank erstmal...
> Hallo,
>
> > Sitze hier gerade an meinem Mathe Übungsblatt und hänge
> > an dieser Aufgabe...
> > Also Aufgabe a und b sind soweit klar. Bei a) habe ich
> > zunächst die empirische Wahrscheinlichkeit für die
> > einzelnen Zahlen errechnet:
> > P(1)=0,4;P(2)=0,24;P(3)=0,2 und P(4)=0,16 und bei b)
> dann
> > die Wahrscheinlichkeit durch Multiplikation der einzelnen
> > Wahrscheinlichkeiten errechnet, also [mm]0,4^{3}*0,16=1,024%[/mm]
> > und als Begründung das es so klein ist habe ich
> > geschrieben, weil es 256 Möglichkeiten gibt wie sich die
> > Zahlen auf 4 Würfe verteilen können und nur eine
> > gewünscht ist.
> Vorausgesetzt Teil a) stimmt, stimmt auch b).
> > Jetzt ist bei c ja im Prinzip dieselbe Aufgabe, nur das
> > die Reihenfolge nicht mehr wichtig ist, somit gibt es
> > [mm]\vektor{n+k-1 \\ k},[/mm] also 35 Möglichkeiten, von denen
> > wieder nur eine erwünscht ist. Würde es sich jetzt um
> > einen Würfel mit Gleichverteilung handeln, dann müsste
> > die Wahrscheinlichkeit ja 1/35 sein. Jedoch weiß ich
> > nicht, wie ich hier jetzt weiter vorgehen soll, da der
> > Würfel ja ungleichmäßig ist.
> >
> Das stimmt so nicht. Vorsicht, wenn du die Formel
> [mm]\vektor{n+k-1 \\ k}[/mm] verwendest, denn hier ist Möglichkeit
> nicht gleich Möglichkeit. Ich verdeutlichs mal an einem
> Beispiel:
>
> 1111 würde hier genauso als eine Möglichkeit zählen wie
> 1234, jedoch gibt es für letzteres 4! = 24 verschiedene
> mögliche Anordnungen, während es für ersteres nur eine
> mögliche Anordnung gibt.
Aber in diesem Aufgabenteil ist doch auch die Reihenfolge der Zahlen nicht mehr relevant, also gibt es für 1234 doch nur noch eine Möglichkeit? Oder habe ich da jetzt einen Denkfehler?
> Schauen wir uns doch einfach mal die Möglichkeiten an um
> 1114 in beliebiger Reihenfolge zu erhalten, da wären:
> 1114, 1141, 1411 und 4111, also ist die Wk.
> [mm]\bruch{4}{256}= \bruch{1}{64}.[/mm]
> Eine andere Möglichkeit es
> zu berechnen, wäre sich zu überlegen, wie viele
> Möglichkeiten es gibt unter 4 Zahlen genau 3 gleiche
> anzuordnen, das wären dann [mm]\vektor{4 \\ 3}=4.[/mm]
Aber wäre [mm]\bruch{1}{64}[/mm] dann nicht nur die Wahrscheinlichkeit wenn man von einer Gleichverteilung aller möglichen Ergebnisse ausgeht? Es gibt ja für jede Würfelseite eine andere Wahrscheinlichkeit, wie bring ich das ein in die Rechnung? Oder habe ich auch hier einen Denkfehler?
> > Bei Aufgabenteil d) habe ich folgende Idee, bin mir jedoch
> > unsicher.
> > Also die gewünschten Ergebnisse wären 1,3; 2,2; 3,1 und
> > dann könnte man ja durch Multiplikation der
> > Wahrscheinlichkeiten für jedes dieser Ereignisse die
> > Wahrscheinlichkeiten ausrechnen und diese dann addieren.
> > Ist das richtig?
>
> Stimmt soweit.
>
> Viele Grüße
Gruß
Andy
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> > > Jetzt ist bei c ja im Prinzip dieselbe Aufgabe, nur
> das
> > > die Reihenfolge nicht mehr wichtig ist, somit gibt es
> > > [mm]\vektor{n+k-1 \\ k},[/mm] also 35 Möglichkeiten, von denen
> > > wieder nur eine erwünscht ist. Würde es sich jetzt um
> > > einen Würfel mit Gleichverteilung handeln, dann müsste
> > > die Wahrscheinlichkeit ja 1/35 sein. Jedoch weiß ich
> > > nicht, wie ich hier jetzt weiter vorgehen soll, da der
> > > Würfel ja ungleichmäßig ist.
> > >
> > Das stimmt so nicht. Vorsicht, wenn du die Formel
> > [mm]\vektor{n+k-1 \\ k}[/mm] verwendest, denn hier ist Möglichkeit
> > nicht gleich Möglichkeit. Ich verdeutlichs mal an einem
> > Beispiel:
> >
> > 1111 würde hier genauso als eine Möglichkeit zählen wie
> > 1234, jedoch gibt es für letzteres 4! = 24 verschiedene
> > mögliche Anordnungen, während es für ersteres nur eine
> > mögliche Anordnung gibt.
>
> Aber in diesem Aufgabenteil ist doch auch die Reihenfolge
> der Zahlen nicht mehr relevant, also gibt es für 1234 doch
> nur noch eine Möglichkeit? Oder habe ich da jetzt einen
> Denkfehler?
>
na es kann aber immer noch in der Reihenfolge 1234, 1243, 1324, 1423, 4312 usw. gewürfelt werden und alles zählt dann bei der Formel [mm] \vektor{n+k-1 \\ k} [/mm] zur Möglichkeit 1234, jedoch gibts aber bei 1111 keine 24 möglichen Vertauschungen wie bei 1234, die zu ein und derselben Möglichkeit zählen...
> > Schauen wir uns doch einfach mal die Möglichkeiten an um
> > 1114 in beliebiger Reihenfolge zu erhalten, da wären:
> > 1114, 1141, 1411 und 4111, also ist die Wk.
> > [mm]\bruch{4}{256}= \bruch{1}{64}.[/mm]
> > Eine andere
> Möglichkeit es
> > zu berechnen, wäre sich zu überlegen, wie viele
> > Möglichkeiten es gibt unter 4 Zahlen genau 3 gleiche
> > anzuordnen, das wären dann [mm]\vektor{4 \\ 3}=4.[/mm]
>
> Aber wäre [mm]\bruch{1}{64}[/mm] dann nicht nur die
> Wahrscheinlichkeit wenn man von einer Gleichverteilung
> aller möglichen Ergebnisse ausgeht? Es gibt ja für jede
> Würfelseite eine andere Wahrscheinlichkeit, wie bring ich
> das ein in die Rechnung? Oder habe ich auch hier einen
> Denkfehler?
>
Ja genau, das wäre die Wk. für den gleichverteilten Würfel.
Für die Aufgabe is es einfach nur 4* die Wk der Aufgabe b)... denn ob 1114,1141, 1411 oder 4111 gewürfelt wird - diese Ereignisse haben
alle die gleiche Wk (,ausrechnen erfolgt über die Pfadregel) und müssen dann nur addiert werden.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 So 09.12.2012 | | Autor: | Catman |
Vielen Dank
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