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| Aufgabe | Man betrachte ein Wü̈rfelspiel mit zwei (ununterscheidbaren) Wü̈rfeln.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide W ̈rfel ein Zahl kleiner oder gleich 3 anzeigen
Im Folgenden interessieren wir uns f ̈r die Summe der von beiden W ̈rfeln gezeigten Zahlen.
b) Welche Ergebnisse sind m ̈glich? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahlen gleich 10 ist
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Hallo,
zu a)
Als Ergebnisraum konnte ich folgendes finden:
S={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3),...,(6,6)}
Frage: Gibt es kein Ergebnis (2,1) und warum?
Ist die Mächtigkeit von S nur gleich 11? Warum?
Für das Ereignis A = beide Würfel zeigen Zahl kleiner oder gleich 3 habe ich folgende Menge aufgstellt: {(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)}
Also: [mm] P(A)=\bruch{5}{11}=0,45 [/mm] bzw 45%
Ich hätte ja auf 50% getippt...
zu b)
mögliche Ergebnisse: 2 bis 12
P(B)=mögliche Ergebnisse für die Summe 10= {(5,5),(6,4)}
Ergibt: [mm] P(B)=\bruch{2}{11}=0,18 [/mm] bzw 18%
Ich verstehe einfach nicht warum auch hier nur (6,4) und nicht zusätzlich (4,6) betrachtet wird.
Vielen Dank für eure Hilfe!
ps Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Sa 13.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Man betrachte ein Wü̈rfelspiel mit zwei
> (ununterscheidbaren) Wü̈rfeln.
> a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide W
> ̈rfel ein Zahl kleiner oder gleich 3 anzeigen
>
> Im Folgenden interessieren wir uns f ̈r die Summe der von
> beiden W ̈rfeln gezeigten Zahlen.
>
> b) Welche Ergebnisse sind m ̈glich? Berechnen Sie die
> Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahlen gleich
> 10 ist
>
> Hallo,
>
> zu a)
> Als Ergebnisraum konnte ich folgendes finden:
> S={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3),...,(6,6)}
> Frage: Gibt es kein Ergebnis (2,1) und warum?
> Ist die Mächtigkeit von S nur gleich 11?
> Warum?
> Für das Ereignis A = beide Würfel zeigen Zahl kleiner
> oder gleich 3 habe ich folgende Menge aufgstellt:
> {(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)}
> Also: [mm]P(A)=\bruch{5}{11}=0,45[/mm] bzw 45%
> Ich hätte ja auf 50% getippt...
>
> zu b)
> mögliche Ergebnisse: 2 bis 12
> P(B)=mögliche Ergebnisse für die Summe 10=
> {(5,5),(6,4)}
> Ergibt: [mm]P(B)=\bruch{2}{11}=0,18[/mm] bzw 18%
>
> Ich verstehe einfach nicht warum auch hier nur (6,4) und
> nicht zusätzlich (4,6) betrachtet wird.
Hallo,
das Problem liegt wohl in der Aufgabenformulierung "ununterscheidbare Würfel".
Somit kann man auch nicht unterscheiden, ob "der erste" Würfel eine 4 und "der zweite" Würfel eine 6 hat oder umgekehrt.
Nichtsdestotrotz hat dann unter dieser Voraussetzung das Ergebnis (6;4) -welches ja eigenlich aus (6;4) und (4;6) besteht- eine doppelt so hohe Warscheinlichkeit wie das Ergebnis (4;4) .
Gruß Abakus
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> Vielen Dank für eure Hilfe!
>
> ps Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Danke Abakus, die Silbe UN habe ich tatsächlich überlesen.
Deine Antwort hilft mir aber leider auch nur begrenzt weiter.
Ich weiss immer noch nicht ob die Ergebnisse nun stimmen oder nicht.
Denn wenn die WS von (4,6) doppelt so hoch ist wie die von (4,4) muss dies doch auch zumindest in der Anzahl für die günstigen Ausgänge des Versuchs berücksichtigt werden.
Also in b) nicht [mm] \bruch{2}{11} [/mm] sondern [mm] \bruch{3}{11} [/mm] ?
Für a) würde diese Überlegung aber noch ein viel weniger intuitives Ergebnis liefern, es sei denn man erweitert auch den Ergebnisraum entsprechend. Dadurch wären die Würfel aber nicht mehr UNunterscheidbar, da der Fall (4,6) nun auch durch (6,4) vertreten ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 So 14.02.2010 | | Autor: | Infinit |
Halo,
solange beide Würfel ununterscheidbar voneinander sind, gibt es keinen Grund die Ereignisse z.B. (4,6) und (6,4) voneinander zu unterscheiden. Nach welchem Kriterium sollte dies geschehen? Deswegen arbeitet man auch nur mit einem Ereignis und nicht mit zweien.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 So 14.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Infinit,
> solange beide Würfel ununterscheidbar voneinander sind,
> gibt es keinen Grund die Ereignisse z.B. (4,6) und (6,4)
> voneinander zu unterscheiden.
Natürlich ist es zunächst einmal naheliegender, mit einem Ergebnisraum zu arbeiten, indem nur eines der Ergebnisse (4,6) und (6,4) vertreten ist. Das Problem dabei: Die Verteilung auf diesem Ergebnisraum ist keine "bekannte Standardverteilung", so dass man mit diesem Ergebnisraum so ohne weiteres nicht vernünftig arbeiten kann.
Abhilfe schafft hier die Wahl des Ergebnisraumes ALLER Paare mit Komponenten von 1 bis 6. Hierauf liegt dann eine Laplace-Verteilung (alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich) vor.
Zwar mag ein tatsächlicher Beobachter des Zufallsexperiments gar nicht in der Lage sein, (4,6) und (6,4) zu unterscheiden. Man kann sich das jedoch so vorstellen, dass der "Zufallsgott" durchaus festlegt, welcher der beiden Würfel eine 4 und welcher eine 6 zeigt.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:07 So 14.02.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Tobias,
vielen Dank für diesen nützlichen Hinweis. Unter dieser Randbedingung bekommt man dann eine diskrete Gleichverteilung. Da sieht man doch mal wieder: Einstein hatte mit seiner Behauptung "Gott würfelt nicht" doch unrecht gehabt  .
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 So 14.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> zu a)
> Als Ergebnisraum konnte ich folgendes finden:
> S={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3),...,(6,6)}
> Ist die Mächtigkeit von S nur gleich 11?
Da fehlen ganz viele mögliche Ergebnisse, wie zum Beispiel (1,3). Die Mächtigkeit des Ergebnisraumes ist in jedem Fall sehr viel größer als 11.
> Frage: Gibt es kein Ergebnis (2,1) und warum?
Wie in meiner Mitteilung beschrieben, kann ein Beobachter bei ununterscheidbaren Würfeln nicht zwischen (1,2) und (2,1) unterscheiden. Also ist es naheliegender nur eines der beiden Paare in den Ergebnisraum aufzunehmen. Dann liegt aber keine Laplace-Verteilung vor, d.h. du darfst zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten NICHT "Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch Anzahl aller Ergebnisse" rechnen!
Um trotzdem vernünftig Wahrscheinlichkeiten ausrechnen zu können (und nur deshalb) nimmt man auch beispielsweise (2,1) in den Ergebnisraum mit auf. Wenn man so verfährt, liegt eine Laplace-Verteilung vor, so dass man dann doch "Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch Anzahl aller Ergebnisse" rechnen kann.
> Für das Ereignis A = beide Würfel zeigen Zahl kleiner
> oder gleich 3 habe ich folgende Menge aufgstellt:
> {(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)}
Da fehlen wieder einige Ergebnisse, z.B. (1,3) oder (2,1).
> Ich hätte ja auf 50% getippt...
Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Würfel eine Zahl kleiner oder gleich 3 zeigt, sollte ja schon 50% sein. Dass sogar beide Würfel eine Zahl kleiner oder gleich 3 zeigen, sollte sicherlich unwahrscheinlicher sein.
> zu b)
> mögliche Ergebnisse: 2 bis 12
Ich gehe davon aus, dass der Aufgabensteller dies meinte. Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, sollte man jedoch weiterhin den Ergebnisraum aus a) verwenden (denn auf dem Ergebnisraum {2,...,12} liegt keine Laplace-Verteilung vor).
> P(B)=mögliche Ergebnisse für die Summe 10
B, nicht P(B).
> = {(5,5),(6,4)}
> Ich verstehe einfach nicht warum auch hier nur (6,4) und
> nicht zusätzlich (4,6) betrachtet wird.
Siehe oben: Bei dem sinnvollerweise gewählten Ergebnisraum gehört auch (4,6) zu B.
Viele Grüße
Tobias
P.S.: Es wäre sicherlich hilfreich, wenn du als mathematischen Background etwas ernst gemeintes eintragen würdest. Dann könnte man besser auf dich eingehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 So 14.02.2010 | | Autor: | stasihasi |
Hallo,
vielen Dank für Eure Hilfe!
Habe jetzt einfach mal alle Möglichkeiten für den Ergebnisraum aufgeschrieben und bin auf 36 gekommen. Für A auf 9 und B hat 3.
Also komme ich in a) auf eine WS von [mm] \bruch{9}{36}=0,25 [/mm] bzw 25% und [mm] P(B)=\bruch{3}{36}=0,08333 [/mm] bzw 8,3%
Das mit dem Background kommt so schon hin, da mir die meisten Beiträge nicht weiterhelfen und ich somit auf möglichst einfache und ausführliche Erklärungen (am besten sogar mit Beispielen ) hoffe und nicht daran gebunden sein will was Mathematiker oder Physiker für Erwartungen haben.
Nochmal vielen Dank für Eure Hilfe und bis bald!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 So 14.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Habe jetzt einfach mal alle Möglichkeiten für den
> Ergebnisraum aufgeschrieben und bin auf 36 gekommen. Für A
> auf 9 und B hat 3.
>
> Also komme ich in a) auf eine WS von [mm]\bruch{9}{36}=0,25[/mm] bzw
> 25% und [mm]P(B)=\bruch{3}{36}=0,08333[/mm] bzw 8,3%
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 So 14.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Das mit dem Background kommt so schon hin,
Ich hab das nicht in der 1. Klasse gemacht, eher Ende meiner Schullaufbahn.
> da mir die
> meisten Beiträge nicht weiterhelfen und ich somit auf
> möglichst einfache und ausführliche Erklärungen (am
> besten sogar mit Beispielen ) hoffe
In dem du uns irgendwas vorgaukelst? Warum denn? Eigentlich soll das hier ja Hilfe zur Selbsthilfe sein - damit sind die Antworten nicht mega ausführlich, damit du noch was eigens arbeiten kannst. Das ist die Idee. Es ist Schade, wenn dir viele Beiträge nicht weiterhelfen. Aber einfach 1. Klasse angeben, obwohl man sofort an Oberstufe/Uni bei dir denkt, ich weiß nicht ... nicht die nette Art mit den Helfern hier umzugehen.
SEcki
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