Wurzel in C berechnen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
hier die genaue Aufgabenstellung:
Berechne sämtliche Lösungen der Wurzel [mm] \wurzel{5-2i} [/mm] bzw. [mm] \wurzel[3]{ -125 } [/mm].
Nach meiner Meinung muss ich nun folgende Gleichungen im Komplexen lösen:
Aufgabe 1: [mm] x = \wurzel{5-2i} [/mm]
Errechnet habe ich (gerundet) [mm]x \approx -2.28 + 0.44i[/mm] oder [mm]x \approx 2.28 - 0.44i[/mm].
Als Lösung gebe ich dann aber nur [mm]x \approx 2.28 - 0.44i[/mm] an.
Aufgabe 2: [mm] x = \wurzel[3]{ -125 } [/mm]
Errechnet habe ich (gerundet) [mm]x \approx 2.5 - 4.3i[/mm] oder [mm]x \approx 2.5 + 4.3i[/mm] oder [mm]x = -5[/mm].
Die Lösung ist [mm]x \approx 2.5 + 4.3i[/mm].
Ist meine Interpretation der Lösungsmenge so OK? Woran erkenne ich, welches Ergebnis eine Lösung ist?
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Mi 12.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Sabine
Ein komplexes Polynom hat immer genausoviele Nullstellen wie sein Grad ist.
also [mm] z^2-(5-2i)=0 [/mm] genau 2, [mm] z^3+125=0 [/mm] drei.
Die Wurzel hat immer zwei konjugiert komplexe Lösungen:
bei dir ist 2,38-0,44i richtig, die andere aber dann 2,38+0,44i
bei der dritten Wurzel sind dein 3 Werte richtig! und alle 3 sind die Lösungsmenge.
Gefragt war nach "allen" Lösungen.
Warum denkst du, dass nur eine Lösung und gerade die von dir ausgesuchte die lösungsmenge ist?
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Mi 12.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> hier die genaue Aufgabenstellung:
>
> Berechne sämtliche Lösungen der Wurzel [mm]\wurzel{5-2i}[/mm] bzw.
> [mm]\wurzel[3]{ -125 } [/mm].
>
>
> Nach meiner Meinung muss ich nun folgende Gleichungen im
> Komplexen lösen:
>
> Aufgabe 1: [mm]x = \wurzel{5-2i}[/mm]
>
> Errechnet habe ich (gerundet) [mm]x \approx -2.28 + 0.44i[/mm] oder
> [mm]x \approx 2.28 - 0.44i[/mm].
> Als Lösung gebe ich dann aber nur
> [mm]x \approx 2.28 - 0.44i[/mm] an.
>
>
> Aufgabe 2: [mm]x = \wurzel[3]{ -125 }[/mm]
>
> Errechnet habe ich (gerundet) [mm]x \approx 2.5 - 4.3i[/mm] oder [mm]x \approx 2.5 + 4.3i[/mm]
> oder [mm]x = -5[/mm].
> Die Lösung ist [mm]x \approx 2.5 + 4.3i[/mm].
>
> Ist meine Interpretation der Lösungsmenge so OK? Woran
> erkenne ich, welches Ergebnis eine Lösung ist?
Du hast doch alle Lösungen berechnet (die erste habe ich grob mit Deinen gerundeten Ergebnissen kontrolliert, das passt in etwa). Warum gibst Du dann nur eine an? Zudem würde ich keine gerundeten Ergebnisse aufschreiben, sondern die "richtigen" Lösungen, also ruhig Wurzelterme (natürlich meine ich damit Terme der Art [mm] $\sqrt[k]{r}$ [/mm] mit $k [mm] \in \IN$ [/mm] und $r > 0$) etc. stehen lassen.
Wenn man z.B. alle komplexen Lösungen von [mm] $\sqrt{-2}$ [/mm] angeben soll (d.h. also, dass man alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $z^2=-2$ [/mm] sucht), dann würde ich schreiben, dass alle diese gegeben sind duch [mm] $z_{1,2}=\pm \sqrt{2}*i\$, [/mm] und dann danach meinetwegen [mm] $z_{1,2}\approx \pm [/mm] 1,41 *i$.
Die "Lösungsmenge" [mm] $\IL$ [/mm] von [mm] $\sqrt{-2}$ [/mm] wäre dann gegeben durch [mm] $\IL=\{\pm\sqrt{2}*i\}$.
[/mm]
Also wie gesagt: Warum Lösungen "verwerfen"? Es wurde ja auch nach allen gefragt!
Gruß,
Marcel
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Hallo leduart und Marcel. Vielen Dank für eure Hinweise.
Die Einschränkungen habe ich aus zwei Gründen gemacht.
1. Bin ich so aus dem Reellen gewohnt.
[mm] x^2 [/mm] = 4 [mm] \Rightarrow [/mm] |x| = 2, d.h. x=-2 oder x=+2
aber: x = [mm] \wurzel{4} [/mm] = +2 (nur eine Lösung)
2. Derive reagiert ähnlich:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dadurch stellt sich die grundlegende Frage: Ist das Quadrieren (allgemein Potenzieren) in [mm] \IC [/mm] eine Äquivalenzoperation?
Dann wären [mm] x=\wurzel{5-2i} [/mm] und [mm] x^2=5-2i [/mm] gleichwertig und es gibt mehrere Lösungen.
Sabine
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Mi 12.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Sabine
Im Reellen nimmt man im Allgemeinen an, wenn man [mm] \wurzel{4} [/mm] schreibt, dass der positive Wert gemeint ist. Im Komplexen macht das erst gar keinen Sinn. da gibt es ja kein positiv und negativ.
Die Wurzel ist einfach die Umkehrfkt zum Quadrat. Euer Prof hätte für dich also besser geschrieben: find alle Lösungen von [mm] x^2 [/mm] =...
derive schreibt halt nur eine Lösung auf, weil jeder weiss, dass die andere die konj. komplexe ist.
eine Äquivalenzumformung ist es deshalb noch nicht, wenn du aus einem Wert 2 erzeugst, ist das doch keine Äqivalenzumformung. [mm] \wurzel [/mm] ist wirklich wie sin oder cos einfach ein Funktionsbezeichnung.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Mi 12.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sabine,
das, was Leduart schreibt, kannst Du auch hier nochmal nachlesen:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28Mathematik%29#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen
[mm] ($\rightarrow$ [/mm] Wurzeln aus komplexen Zahlen)
Man kann sich auch ein wenig retten und mit Funktionen arbeiten, wenn man mit gewissen Zweigen des komplexen Logarithmus arbeitet, aber da schweife ich vielleicht dann doch ein wenig ab.
Du solltest halt einfach behalten:
Für relles $r [mm] \ge [/mm] 0$ ist [mm] $\sqrt{r}$ [/mm] eindeutig definiert, daher kann man von einer Funktion $x [mm] \mapsto \sqrt{x}$ [/mm] auf [mm] $\IR_{\ge 0}$ [/mm] sprechen.
Für komplexe oder echt negative $r$ steht [mm] $\sqrt{r}$ [/mm] symbolisch einfach nur für alle Lösungen der Gleichung [mm] $z^2=r$ [/mm] in der Variablen $z$. Weil es, für festes $r$ natürlich, zwischen diesen einen gewissen Zusammenhang gibt, könnte man vielleicht auch sagen, dass eine solche Lösungsmenge durch eine spezielle Lösung repräsentiert werden kann, sofern man den "Ausgangsterm" kennt.
D.h.:
Während z.B. [mm] $\sqrt{4}=2$, [/mm] bedeutet [mm] $\sqrt{-4}$, [/mm] dass man ALLE (komplexen) Lösungen der Gleichung [mm] $z^2=-4$ [/mm] in der Variablen $z$ sucht, also die Lösungsmenge [mm] $\IL=\{\pm 2i\}$ [/mm] angeben soll.
Das schöne auf [mm] $\IR_{\ge 0}$ [/mm] war halt, dass man halt dann durch diese Definition der Wurzel eine eindeutige Lösung gegeben hat und dort eine Funktion hinschreiben kann.
Wenn wir auf [mm] $\IR_{\ge 0}$ [/mm] den Term [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] mit allen Lösungen $z$ der Gleichung [mm] $z^2=x$ [/mm] identifiziert hätten, so hätten wir keine Funktion [mm] $\IR_{\ge 0} \to \IR_{\ge 0}$ [/mm] mehr. Um diesem "Konflikt" aus dem Wege zu gehen, muss man sich halt entscheiden, und dann hat man gesagt:
Für $r [mm] \ge [/mm] 0$ soll [mm] $\sqrt{r}$ [/mm] diejenige Zahl [mm] $\ge [/mm] 0$ sein, deren Quadrat $r$ ergibt.
(Man hätte genausogut für jedes $r [mm] \ge [/mm] 0$ auch sagen können: Wir nehmen diejenige Zahl [mm] $\le [/mm] 0$, deren Quadrat $r$ ergibt und dann wäre die "Wurzelfunktion" dann halt eine Funktion [mm] $\IR_{\ge 0} \to \IR_{\le 0}$. [/mm] Aber auch so wird halt jedem $r [mm] \ge [/mm] 0$ genau eine Zahl zugeordnet, diese heißt dann [mm] $\sqrt{r}$.)
[/mm]
Der Sinn davon ist halt einfach:
Man hat damit eine Funktion in der Hand!
Im Komplexen gerät man da mehr in Schwierigkeiten. Insbesondere, wenn man "höhere Potenzen" betrachtet, denn je höher die Potenz, desto mehr "Lösungen". Jetzt könnte man sagen:
Nun gut, nehme ich die mit dem "kleinsten" Winkel zwischen $0$ und $360$ Grad, aber so wirklich sinnvoll wird das nicht immer sein. Dazu müsstest Du aber schon ein wenig mit Funktionentheorie vertraut sein, Dich mit Zweigen des komplexen Logarithmus auskennen usw.
In dem Sinne:
Wenn Du einen Term der Art
[mm] $\sqrt{c}$ [/mm] mit einem $c [mm] \in \IC \backslash [0,\infty)$
[/mm]
begegnest, dann mache Dir bewußt, dass dies nur bedeutet, dass man alle Lösungen der Gleichung in $z$
[mm] $z^2=c$
[/mm]
sucht, d.h.:
[mm] $z=\sqrt{c} \gdw z^2=c$
[/mm]
Für $c [mm] \ge [/mm] 0$ bleibt [mm] $\sqrt{c}$ [/mm] in der alten Bedeutung, d.h. dort gilt nicht
[mm] $z=\sqrt{c}$ $\gdw$ $z^2=c$, [/mm] sondern eben
[mm] $z=\sqrt{c} \gdw [/mm] $ [mm] $z^2=c$ $\mbox{\underline{und}}$ [/mm] $z [mm] \ge [/mm] 0$
Wenn man vielleicht so will:
Wenn man mit [mm] $\IL_{\sqrt{c}}$ [/mm] für $c [mm] \in \IC \backslash[0,\infty)$ [/mm] dann alle Lösungen der Gleichung [mm] $z^2=c$ [/mm] in der Variablen $z$ bezeichnet, so kann man eine Abbildung
[mm] $f(c):=\IL_{\sqrt{c}}$
[/mm]
definieren. Nur:
$f: [mm] \IC \backslash [0,\infty) \to Pot(\IC)$
[/mm]
d.h. die Elemente des Zielbereiches dieser Abbildung sind selber Teilmengen(!) von [mm] $\IC$ [/mm] und nicht Elemente von [mm] $\IC$. [/mm]
Also:
Für $c [mm] \not \ge [/mm] 0$ (das ist was anderes als $c < 0$, denn ich meine damit auch, dass $c$ komplexwertig zugelassen ist):
[mm] $z=\sqrt{c} \gdw z^2=c$
[/mm]
Für $c [mm] \ge [/mm] 0$:
[mm] $z=\sqrt{c} \Rightarrow z^2=c$, [/mm] aber [mm] $z^2=c \not\Rightarrow z=\sqrt{c}$ [/mm] (sofern nicht $c=0$).
Analoges gilt natürlich auch für [mm] $\sqrt[k]{.}$...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo. Vielen Dank für die ausführlichen Antworten!
Könnt ihr mir ein Buch empfehlen womit ich mich in die komplexen Zahlen und besonders in das Lösen von Gleichungen in [mm] \IC [/mm] besser einarbeitien kann? Wichtig wäre für mich, dass dort auch Beispiele die Theorie auflockern.
Sabine
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