Wurzel positiv definit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Fr 22.06.2012 | | Autor: | eps |
| Aufgabe | Wenn wir eine positiv definite Matrix [mm] A=\Gamma^T D_A \Gamma [/mm] haben, so ist auch die Wurzel [mm] A^{\alpha}=\Gamma^T D_A^{\alpha} \Gamma, 0<\alpha<1, [/mm] positiv definit.
[mm] (\Gamma [/mm] ist eine unitäre Matrix und [mm] D_A [/mm] die Diagonalmatrix, wo auf der Diagonalen die Eigenwerte stehen). |
Für [mm] \alpha=\bruch{1}{2} [/mm] lässt sich zeigen: Ist [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von A, dann ist [mm] \lambda^{\bruch{1}{2}} [/mm] Eigenwert von [mm] A^{\bruch{1}{2}} [/mm] und da [mm] \lambda>0, [/mm] ist auch [mm] \lambda^{\bruch{1}{2}}>0 [/mm] und somit [mm] A^{\bruch{1}{2}} [/mm] positiv definit.
Meine Frage ist nun, ob man das auch für [mm] A^{\alpha} [/mm] zeigen kann oder wie man anders zeigen kann dass dann auch die Wurzel der Matrix A positiv definit ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:01 Sa 23.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wenn wir eine positiv definite Matrix [mm]A=\Gamma^T D_A \Gamma[/mm]
> haben, so ist auch die Wurzel [mm]A^{\alpha}=\Gamma^T D_A^{\alpha} \Gamma, 0<\alpha<1,[/mm]
> positiv definit.
> [mm](\Gamma[/mm] ist eine unitäre Matrix und [mm]D_A[/mm] die
> Diagonalmatrix, wo auf der Diagonalen die Eigenwerte
> stehen).
> Für [mm]\alpha=\bruch{1}{2}[/mm] lässt sich zeigen: Ist [mm]\lambda[/mm]
> Eigenwert von A, dann ist [mm]\lambda^{\bruch{1}{2}}[/mm] Eigenwert
> von [mm]A^{\bruch{1}{2}}[/mm] und da [mm]\lambda>0,[/mm] ist auch
> [mm]\lambda^{\bruch{1}{2}}>0[/mm] und somit [mm]A^{\bruch{1}{2}}[/mm] positiv
> definit.
> Meine Frage ist nun, ob man das auch für [mm]A^{\alpha}[/mm]
> zeigen kann oder wie man anders zeigen kann dass dann auch
> die Wurzel der Matrix A positiv definit ist.
>
Wo ist das Problem ? Die Eigenwerte von [mm]A^{\alpha}[/mm] stehen auf der Diagonalen von [mm] D_A^{\alpha}
[/mm]
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:21 Sa 23.06.2012 | | Autor: | eps |
Muss ich nicht erstmal zeigen, dass das überhaupt die Eigenwerte sind? So hab ich es zumindest für die Quadratwurzel gemacht:
0 = [mm] (A-\lambda [/mm] I)x = [mm] (A^{\bruch{1}{2}}+\lambda^{\bruch{1}{2}} I)(A^{\bruch{1}{2}}-\lambda^{\bruch{1}{2}} [/mm] I)x und somit [mm] (A^{\bruch{1}{2}}-\lambda^{\bruch{1}{2}} [/mm] I)x=0, damit ist [mm] \lambda^{\bruch{1}{2}}>0 [/mm] der Eigenwert der Wurzel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 25.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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