Wurzel ziehen& Potenzen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Könnte mir bitte jemand erklären wie man besten 10hoch -1,95 im Kopf oder max. handschriftlich rechnen kann oder auch die Wurzel aus 7,5mal 10hoch-3 z.b?? Zumindest ohne Taschenrechnen. Hab schon im Internet gesucht, aber leider nix gefunden. Danke! LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 So 24.06.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
> Könnte mir bitte jemand erklären wie man besten 10hoch
> -1,95 im Kopf oder max. handschriftlich rechnen kann oder
> auch die Wurzel aus 7,5mal 10hoch-3 z.b?? Zumindest ohne
> Taschenrechnen. Hab schon im Internet gesucht, aber leider
> nix gefunden. Danke! LG
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
das geht gar nicht genau zu rechnen. Aber vielleicht hast du ja nur die Frage unpräzise gestellt. Bist du vielleicht auf der Suche nach einem hilfsmittelfreien Näherungsverfahren?
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
Also das Problem ist, dass wir bei der Prüfung keinen Taschenrechner verwenden dürfen. Die Lösungen müssen nicht zu 100% exakt und auf alle Stellen berechnet sein, aber so ungefähr.
Also wie kann man z.b 10 hoch minus 1,95 händisch rechnen bzw händisch Wurzel ziehen von 7,5 mal 10 hoch minus 3 zum Beispiel.
|
|
|
| |
|
Hallo,
bedenke, dass $ [mm] a^{-b} [/mm] = [mm] \frac{1}{a^b }$
[/mm]
Also $ [mm] 10^{-1,95} \approx 10^{-2} [/mm] = [mm] \frac{1}{10^2} [/mm] = [mm] \frac{1}{100} [/mm] = 0.01 $
Hilft dir das?
|
|
|
| |
|
Danke! Ja, stimmt eigentlich, viel genauer wird es dann wohl ohne Taschenrechner nicht gehen oder?? Wie sieht es denn mit dem Wurzelbeispiel aus also handschriftlich?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 So 24.06.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Danke! Ja, stimmt eigentlich, viel genauer wird es dann
> wohl ohne Taschenrechner nicht gehen oder?? Wie sieht es
> denn mit dem Wurzelbeispiel aus also handschriftlich?
bist du dir sicher, dass das sein muss? Also normalerweise ist das üblich, dass man in Prüfungen, in denen kein TR erlaubt ist, Wurzelausdrücke stehen lässt, nachdem man sie so weit wie möglich vereinfacht hat,
Was ist das denn für eine Prüfung?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo [Markenname], 
das schriftliche Wurzelziehen steht in Deutschland m.W. seit über 50 Jahren nicht mehr auf dem Lehrplan.
![[]](/images/popup.gif) Hier wird es ganz gut erklärt.
Ich kann mir aber kaum vorstellen, dass das wirklich von Euch verlangt wird. Normalerweise gilt das, was abakus schreibt: so weit wie möglich vereinfachen, und gut ist.
Trotzdem ist es ja oft hilfreich, z.B. zur Selbstkontrolle einen Überschlagswert zu ermitteln. Dazu reicht es normalerweise, eine zweistellige Mantisse zu bestimmen.
Also z.B. [mm] \wurzel{7,5*10^{-3}}: [/mm]
Erstmal den Exponenten gerade machen: [mm] \cdots=\wurzel{75*10^{-4}}=10^{-2}*\wurzel{75}
[/mm]
Jetzt könnte man natürlich noch die 25 aus der Wurzel herausziehen und hätte [mm] 5*10^{-2}*\wurzel{3} [/mm] oder anders geschrieben [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{3}*10^{-1}. [/mm] Diesen Wert könnte man aus der Trigonometrie kennen: [mm] \sin{60^{\circ}}=\cos{30^{\circ}}=\bruch{1}{2}\wurzel{3}\approx{0,8660254}
[/mm]
Die richtige Lösung liegt also bei [mm] 0,08660254\cdots
[/mm]
Aber das ist nun natürlich Zufall; es werden ja nicht immer so "bekannte" Werte herauskommen.
Setzen wir also nochmal bei [mm] 10^{-2}*\wurzel{75} [/mm] an.
Man bekommt ja leicht heraus, dass [mm] 8<\wurzel{75}<9 [/mm] ist.
Nun reicht es fast immer als Näherung, wenn man wie folgt vorgeht (übrigens auch der Ansatz beim schriftlichen Wurzelziehen):
Wir wissen [mm] 75=(8+a)^2 [/mm] mit einem positiven a<1.
Laut binomischer Formel also [mm] 75=8^2+16a+a^2.
[/mm]
Für die Näherungslösung ignorieren wir nun das [mm] a^2 [/mm] und setzen an.
[mm] 75\approx 8^2+16a, [/mm] also [mm] 11\approx{16a}.
[/mm]
Das kann man nun leicht berechnen: [mm] a\approx \bruch{11}{16}=0,6875
[/mm]
Da das "richtige" a ja etwas kleiner sein muss (aber nicht viel), kann man sogar eine Abschätzung von etwa [mm] a\approx{0,65} [/mm] wagen und damit [mm] \wurzel{75}\approx{8,65} [/mm] annehmen.
Da wir zwischendurch den Faktor [mm] 10^{-2} [/mm] nicht "mitgeschleppt" haben, müssen wir ihn schließlich noch berücksichtigen:
[mm] \wurzel{7,5*10^{-3}}\approx{8,65*10^{-2}}=0,0865
[/mm]
Keine schlechte Näherung, oder?
Allerdings liegt die Qualität der Näherung auch an dem "ersten Quadrat" im Rechenweg. Ist es klein, also so von 1 bis 4, dann wird die Näherung nicht sehr gut. Hier war es groß (8), das klappt besser.
Wenn Du also z.B. [mm] \wurzel{1,55} [/mm] ziehen willst, dann löst Du besser [mm] \tfrac{1}{10}\wurzel{155} [/mm] und bekommst mit obigem Verfahren etwa 1,245 heraus. Die richtige Lösung wäre 1,244989959798873237483597066678...
Gut genug?
Dann viel Erfolg ohne Taschenrechner. 
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Danke euch. Ja, wir dürfen leider keinen Taschenrechner verwenden, wegen Schummelgefahr. Eine Chemieprüfung auf der Uni.
|
|
|
| |
|
Wenn ich jetzt z.b: die Wurzel aus 4,5 mal 10 hoch -3 rechnen soll, muss ich zuerst wie auf der Seite beschrieben die Wurzel aus 4,5 ziehen und die hochzahl durch 2??
2,12 mal 10 hoch minus 1,5 oder wie??
|
|
|
| |
|
Hallo AspirinPlusC,
> Wenn ich jetzt z.b: die Wurzel aus 4,5 mal 10 hoch -3
> rechnen soll, muss ich zuerst wie auf der Seite beschrieben
> die Wurzel aus 4,5 ziehen und die hochzahl durch 2??
>
> 2,12 mal 10 hoch minus 1,5 oder wie??
So geht das:
[mm]\wurzel{4,5*10^{-3}}=\wurzel{45*10^{-2}}[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ok, bis daher ist es mir klar und wie gehe ich jetzt weiter vor wenn ich mal die wurzel aus 45 mal 10 hoch minus 2 habe?? ist ja noch kein endergebnis...danke schon mal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 So 24.06.2012 | | Autor: | chrisno |
> Ok, bis daher ist es mir klar und wie gehe ich jetzt weiter
> vor wenn ich mal die wurzel aus 45 mal 10 hoch minus 2
> habe?? ist ja noch kein endergebnis...danke schon mal
Wichtig ist, dass an der Zehn eine Zweierpotenz steht. Allerdings hat sich Mathe Power mit der Richtung vertan: [mm] $\wurzel{4,5 \cdot 10^{-3}} [/mm] = [mm] \wurzel{45 \cdot 10^{-4}}$ [/mm] Dann geht es weiter [mm] $\wurzel{45 \cdot 10^{-4}} [/mm] = [mm] \wurzel{45} \cdot \wurzel{10^{-4}} [/mm] =
= [mm] \wurzel{9 \cdot 5} \cdot [/mm] 0,01 = [mm] \wurzel{5} \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] 0,01$
Nun musst Du die Wurzel aus 5 abschätzen. zwei ist die untere Grenze, drei als obere Grenze ist viel weiter weg. Ein kurzer Versuch: $2,2 [mm] \cdot [/mm] 2,2 = 4 + 2 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 0,2 + [mm] 0,2^2$ [/mm] passt doch recht gut. Das letzte war die Binomische Formel für [mm] $(2+0,2)^2$.
[/mm]
Probe: [mm] $0,066^2 [/mm] = 0,004356 = 4,356 [mm] \cdot 10^{-3}$ [/mm]
|
|
|
| |
|
Super, danke jetzt ist mir die Sache um einiges Klarer. Kennst du dich mit Log-Berechnungen auch aus? Habe einen Thread dazu gestartet, wenn du dich da mal einlesen könntest, wär das super nett. Thx! Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 So 24.06.2012 | | Autor: | chrisno |
Lass mich erst einmal dies hier zusammenfassen:
zuerst geradzahlige Zehnerpotenzen herausziehen,
dann nächste ganze Zahl suchen, mit der es näherungsweise geht,
dann gut schätzen und mit Binomischer Formel prüfen.
Logarithmen sind nicht ganz so nett.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 So 24.06.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Ok, bis daher ist es mir klar und wie gehe ich jetzt weiter
> vor wenn ich mal die wurzel aus 45 mal 10 hoch minus 2
> habe?? ist ja noch kein endergebnis...danke schon mal
Hast du meine Antwort weiter oben überhaupt gelesen?
Da habe ich es wirklich ausführlich erklärt, und das hat mich fast 20 Minuten meiner Freizeit gekostet.
Wäre schon nett, wenn Du wenigstens das durcharbeitest, was Leute Dir hier zur Verfügung stellen anstatt darauf zu warten, dass Dir jeder Brocken einzeln vorgekaut wird.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Ja, danke. Die Seite hab ich durchgeschaut und das Wurzelziehen versteh ich jetzt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:50 So 24.06.2012 | | Autor: | reverend |
Ob Du die Seite angeschaut hast, ist mir ein bisschen wurscht.
Ich habe dir einen viel kürzeren Weg gezeigt, eine gute Näherung zu finden.
|
|
|
| |
|
Und natürlich auch deine Erklärung dazu angeschaut.
|
|
|
| |
|
@chrisno nochmal kurz zu den Potenzrechnungen: Ist es bei 10 hoch minus 1,95 z.b wirklich nur möglich auf 2 aufzurunden um das ohne Taschenrechner zu rechnen oder gibts da doch noch genauere Möglichkeiten auch??
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> @chrisno nochmal kurz zu den Potenzrechnungen: Ist es bei
> 10 hoch minus 1,95 z.b wirklich nur möglich auf 2
> aufzurunden um das ohne Taschenrechner zu rechnen oder
> gibts da doch noch genauere Möglichkeiten auch??
Klar geht das genauer, aber wer will das?
[mm] 10^{-1,95}=10^{-2}*10^{0,05}=\bruch{1}{100}*\wurzel[20]{10}
[/mm]
Nun kann man sich leicht überlegen, wie man in etwa die zwanzigste Wurzel aus 10 bestimmt, das geht prinzipiell genauso, wie ich oben für das normale Wurzelziehen von Hand erklärt habe.
Allerdings muss man da ein bisschen vorsichtig sein, wieviel man vernachlässigt.
Hier geht es ja um die Abschätzung [mm] (1+a)^{20}=10.
[/mm]
Das Binom fängt so an: [mm] (1+a)^{20}=1+20a+190a^2+1140a^3+4845a^4\cdots
[/mm]
Wie man sieht, sind hier die großen Binomialkoeffizienten ein echtes Problem, aber man kann glücklicherweise a ziemlich klein ansetzen (wenig mehr als 0,1), so dass man doch ein Ende findet.
Ansonsten würde ich aber ehrlich gesagt von niemandem erwarten, dass er auch nur versucht, eine zwanzigste Wurzel von Hand zu berechnen.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Super, danke dir. Ja, ich glaube dann wohl auch, dass die Wurzel aus 20 händisch zu ziehen doch viel zu weit führt. Soviel Zeit hat man bei der Prüfung gar nicht. Da ist man grad mit dem Wurzelziehn fertig und die Zeit ist um.
|
|
|
|
