Wurzelgleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Di 20.11.2007 | | Autor: | andihit |
| Aufgabe | | [mm] \sqrt{x+m} = \sqrt{3m} - \sqrt{m-x}[/mm] |
Wie bestimme ich hier die Definitionsmenge?
Ich habe ja 2 unbekannte Variablen?
Und wie rechne ich die Wurzelgleichung aus?
Ich habe jetzt mal das ganze ^2 gerechnet:
[mm] x+m = 3m - 2*\sqrt{3m^2-3mx} + (m-x) | -m | +x[/mm]
dann
[mm] 2x = 3m - 2*\sqrt{3m^2-3mx} | -3m[/mm]
und
[mm] 2x-3m = -2*\sqrt{3m^2-3mx} | ^2[/mm]
[mm] 4x^2-12mx+9m^2 = 4*(3m^2-3mx) [/mm]
[mm] 4x^2-12mx+9m^2 = 12m^2-12mx | +12mx | -9m^2 [/mm]
[mm] 4x^2 = 3m^2 [/mm]
und dann?
Vielen Dank für Antworten!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Di 20.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich nehme mal an, dass deine Variable x ist, und m irgendeine Konstante.
Dann kannst du eben immer sagen, dass z.B. m-x>=0 sein muss, dann kannst du also sagen, dass x<=m sein muss, damit du die Wurzel ziehen kannst. Analog gehts bei den Anderen.
Deine Umformungen stimmen. Dann einmal noch durch 4 teilen, dann die Wurzel ziehen (wobei du aufpassen musst, da z.B. bei [mm] $x^2=y [/mm] <=> [mm] |x|=\sqrt{y}$), [/mm] d.h. du bekommst zwei Ergebnisse.
Dann würde ich zur Kontrolle nochmal die beiden Ergebnisse für m einsetzen, und gucken, ob das Ergebnis stimmt, da du beim Quadrieren evtl. noch mehrere Lösungen bekommen kannst.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Di 20.11.2007 | | Autor: | andihit |
> Hi,
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> ich nehme mal an, dass deine Variable x ist, und m
> irgendeine Konstante.
Das weiß man einfach so?
So ein Beispiel sah ich das 1. Mal bei der Schularbeit.. und dann hab ich mich gar nicht mehr ausgekannt :(.
> Dann kannst du eben immer sagen, dass z.B. m-x>=0 sein
> muss, dann kannst du also sagen, dass x<=m sein muss, damit
> du die Wurzel ziehen kannst. Analog gehts bei den Anderen.
Und wie schreib ich da die Definitionsmenge an?
Bei z.B. [mm] \sqrt{x-5} [/mm] muss x >= 5 sein, daher D = [5, [mm]\infty[/mm][.
Aber bei diesem Beispiel?
> Deine Umformungen stimmen. Dann einmal noch durch 4 teilen,
[mm]x^2 = \frac{3m^2}{4}[/mm]
> dann die Wurzel ziehen (wobei du aufpassen musst, da z.B.
> bei [mm]x^2=y <=> |x|=\sqrt{y}[/mm]), d.h. du bekommst zwei
> Ergebnisse.
Und ich hab verzweifelt nach einer quadratischen Gleichung in Allgemeiner Form gesucht ;/.
Wieso soll man bei einer quadratischen Gleichung (in Allgemeiner Form) eigentlich die Formel [mm] x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/mm] anwenden?
Man kann ja auch bie [mm] ax^2+bx+c=0[/mm] das bx und c auf die andere Seite bringen, und dann durch a dividieren?
Dann Wurzelziehen und auf die 2 Lösungen achten.
> Dann würde ich zur Kontrolle nochmal die beiden Ergebnisse
> für m einsetzen, und gucken, ob das Ergebnis stimmt, da du
> beim Quadrieren evtl. noch mehrere Lösungen bekommen
> kannst.
>
> LG
>
> Kroni
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Hallo!
> > Hi,
> >
> > ich nehme mal an, dass deine Variable x ist, und m
> > irgendeine Konstante.
> Das weiß man einfach so?
> So ein Beispiel sah ich das 1. Mal bei der Schularbeit..
> und dann hab ich mich gar nicht mehr ausgekannt :(.
>
Nun, meistens werden unbekannte durch Buchstaben am Ende des Alphabets bezeichnet, also uvwxyz, während man für Konstanten, deren Wert man als gegeben betrachtet, eher vom Anfang und der Mitte des Alphabets nimmt.
Also ja, wenn man sowas sieht, will man für gewöhnlich ne Lösung für x, wenn da nix anderes steht.
> > Dann kannst du eben immer sagen, dass z.B. m-x>=0 sein
> > muss, dann kannst du also sagen, dass x<=m sein muss, damit
> > du die Wurzel ziehen kannst. Analog gehts bei den Anderen.
> Und wie schreib ich da die Definitionsmenge an?
> Bei z.B. [mm]\sqrt{x-5}[/mm] muss x >= 5 sein, daher D = [5,
> [mm]\infty[/mm][.
> Aber bei diesem Beispiel?
Hier mußt du das mit m statt 5 machen. Insgesamt kannst du hier folgendes ablesen:
1. m>0 (wenngleich m ein so genannter äußerer Parameter ist, auch der muß gewisse Bedingungen erfüllen)
2. x+m>0 kannst du umformen zu x>m
3. m-x>0 gibts auch noch! x muß also ne gewisse Mindestgröße haben, aber das hier heißt, daß es auch nicht beliebig groß werden darf!
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> > Deine Umformungen stimmen. Dann einmal noch durch 4 teilen,
> [mm]x^2 = \frac{3m^2}{4}[/mm]
>
> > dann die Wurzel ziehen (wobei du aufpassen musst, da z.B.
> > bei [mm]x^2=y <=> |x|=\sqrt{y}[/mm]), d.h. du bekommst zwei
> > Ergebnisse.
> Und ich hab verzweifelt nach einer quadratischen Gleichung
> in Allgemeiner Form gesucht ;/.
>
> Wieso soll man bei einer quadratischen Gleichung (in
> Allgemeiner Form) eigentlich die Formel [mm]x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/mm]
> anwenden?
> Man kann ja auch bie [mm]ax^2+bx+c=0[/mm] das bx und c auf die
> andere Seite bringen, und dann durch a dividieren?
> Dann Wurzelziehen und auf die 2 Lösungen achten.
Nee, das klappt nicht, weil das bx ein x enthält. Du hättest dann auf der einen Seite ein x, aber auf der anderen ein [mm] \wurzel{x}
[/mm]
Du kannst aber eine quad. ergänzung machen:
[mm]ax^2+bx+c=0[/mm]
[mm]x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0[/mm]
[mm]x^2+\frac{b}{a}x \red{+\frac{1}{4}\frac{b^2}{a^2}- \frac{1}{4}\frac{b^2}{a^2}} +\frac{c}{a}=0[/mm]
(der rote Teil ist =0!)
[mm]\left(x^2+\frac{b}{a}x +\frac{1}{4}\frac{b^2}{a^2}\right)- \frac{1}{4}\frac{b^2}{a^2} +\frac{c}{a}=0[/mm]
1. bin Formel:
[mm]\left(x+\frac{1}{2}\frac{b}{a}\right)^2- \frac{1}{4}\frac{b^2}{a^2} +\frac{c}{a}=0[/mm]
Jetzt kannst du den rechten Teil auf die andere Seite bringen, die Wurzel ziehen, und dann nach x auflösen.
Die Lösung ist dabei genau die abc-Formel. Diese nimmt dir also dieses elendige Rumgerechne ab.
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> > Dann würde ich zur Kontrolle nochmal die beiden Ergebnisse
> > für m einsetzen, und gucken, ob das Ergebnis stimmt, da du
> > beim Quadrieren evtl. noch mehrere Lösungen bekommen
> > kannst.
> >
> > LG
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> > Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Di 20.11.2007 | | Autor: | andihit |
> Hier mußt du das mit m statt 5 machen. Insgesamt kannst du
> hier folgendes ablesen:
>
> 1. m>0 (wenngleich m ein so genannter äußerer Parameter
> ist, auch der muß gewisse Bedingungen erfüllen)
>
> 2. x+m>0 kannst du umformen zu x>m
>
> 3. m-x>0 gibts auch noch! x muß also ne gewisse
> Mindestgröße haben, aber das hier heißt, daß es auch nicht
> beliebig groß werden darf!
Und wie schreibe ich da die Definitionsmenge an?
Einfach die 3 Fälle aufschreiben?
Thx für deine Erkärung bzgl der quadratischen Gleichung  .
Und zum Beispiel, es ist also
[mm]x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}m^2}[/mm]
die Lösung?
Bzw m herausgehoben:
[mm]x = \pm m \pm \sqrt{\frac{3}{4}}[/mm]
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Di 20.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Servus,
du kannst also einmal sagen, dass m größer gleich Null sein muss (denn sonst bekommst du Probleme mit der 3m unter der Wurzel), und dann hast du durch die anderen beiden Bedingungen einmal eine Bedinung, dass x größer als etwas sein muss, und einmal muss x kleiner als etwas sein... dask annst du zu einer Aussage zusammenfassen.
Deine Lösung unten ist fast richtig. Du darfst nur einmal [mm] $\pm$ [/mm] schreiben!
Und du kannst dann auch noch aus den 1/4, die unter der Wurzel stehen aus der Wurzel rausholen und ein 1/2 daraus machen, so dass im Endeffekt
[mm] $\pm \sqrt{3}m/2$ [/mm] dort stehen bleibt.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Mi 21.11.2007 | | Autor: | andihit |
Vielen Dank!
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