Wurzelgleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Fr 08.07.2011 | | Autor: | Pauline |
| Aufgabe | | [mm] 3x+\wurzel[2]{8x^2-9x-20} [/mm] = 4 |
Als Ergebnis habe ich raus : [mm] x_{1}=12 [/mm] und [mm] x_{2}=3
[/mm]
Wenn ich die Probe für x=3 mache kommt raus:
[mm] \wurzel[2]{25}= \pm5 [/mm]
zwar ist [mm] 5\not=-5
[/mm]
aber -5 = -5
heißt das, dass x = 3 eine Lösung ist oder nicht??
Mit x=12 ist es ähnlich.
Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen...
LG
Pauline
|
|
| |
|
Hallo Pauline,
> [mm]3x+\wurzel[2]{8x^2-9x-20}[/mm] = 4
> Als Ergebnis habe ich raus : [mm]x_{1}=12[/mm] und [mm]x_{2}=3[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wenn ich die Probe für x=3 mache kommt raus:
> [mm]\wurzel[2]{25}= \pm5[/mm]
Nein, es ist [mm] $\sqrt{25}=+5$, [/mm] die Wurzel liefert immer Werte [mm] $\ge [/mm] 0$ !!
>
>
>
> zwar ist [mm]5\not=-5[/mm]
>
>
> aber -5 = -5
>
> heißt das, dass x = 3 eine Lösung ist oder nicht??
> Mit x=12 ist es ähnlich.
>
> Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen...
Weder [mm] $x_1=3$ [/mm] noch [mm] $x_2=12$ [/mm] sind Lösungen der angegebenen Gleichung.
Ich orakel mal, dass du dich vertippt hast und meinst:
$3x \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \sqrt{8x^2-9x-20}=4$ [/mm] ?!
Das ergäbe dieselben Lösungen, aber hier liefert die Probe ...
>
> LG
> Pauline
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
> [mm]3x+\wurzel[2]{8x^2-9x-20}[/mm] = 4
> Als Ergebnis habe ich raus : [mm]x_{1}=12[/mm] und [mm]x_{2}=3[/mm]
Hallo Pauline,
zur Titelfrage: "Gibt es eine Lösungsmenge?" :
die gibt es bestimmt, aber allenfalls ist sie leer !
Bei der vorliegenden Gleichung kann man, ohne sich
mit dem Wurzelausdruck im Detail zu beschäftigen,
sofort sagen, dass als reelle Lösungen nur x-Werte
mit [mm] x\le\frac{4}{3}=1.333... [/mm] in Frage kommen könnten,
da der Wurzelausdruck nicht negativ sein kann.
Die Werte [mm] x_1=12 [/mm] und [mm] x_2=3 [/mm] können also keine Lösungen
sein.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Fr 08.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Hallo Al-Chwarizmi!
Zunächst stimme ich dir zu, dass die Wurzel positiv sein muss in [mm] \IR.
[/mm]
Es muss gelten : [mm] \sqrt{8x^2-9x-20}\ge0
[/mm]
Du behauptest, die Gleichung gelte [mm] \forall x\le \bruch{4}{3}.
[/mm]
Widerlegung : Sei [mm]x=0[/mm]. Dann gilt : [mm] \sqrt{8*0^2-9*0-20}=\sqrt{-20}. [/mm] Es sollte gelten : [mm] \sqrt{x}\ge0\ \forall x\in\IR\Rightarrow[/mm] [mm]x[/mm] [mm] \not\in\IR [/mm] : [mm]x[/mm][mm] \le \bruch{4}{3}.
[/mm]
Es soll wie gesagt gelten :
[mm] \sqrt{8x^2-9x-20}\ge0
[/mm]
[mm] \gdw 8x^2-9x-20\ge0
[/mm]
[mm] \gdw 8x^2-9x\ge20\Rightarrow?
[/mm]
Bei mir kommt raus, dass [mm] x\ge\bruch{1}{16}(9+\sqrt{721}) [/mm] und [mm] x\le\bruch{1}{16}(9-\sqrt{721}).
[/mm]
[mm] x_1=\bruch{1}{16}(9+\sqrt{721}) [/mm] und [mm] x_2=\bruch{1}{16}(9-\sqrt{721}) [/mm] sind übrigens auch die Nullstellen der Funktion. Dazwischen ist sie in [mm] \IR [/mm] nicht definiert.
edit : Es ging mir nur um die Wurzelfunktion, nicht um die komplette vorgegebene Funktion. Dazu meine Frage :
Verfälsche ich die Aussage, wenn ich so rechne ?
[mm] 3x+\sqrt{8x^2-9x-20}=4
[/mm]
[mm] \gdw 9x^2+8x^2-9x-20=16
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ..
Ich denke schon :S
MfG
|
|
|
| |
|
> Hallo Al-Chwarizmi!
>
> Zunächst stimme ich dir zu, dass die Wurzel positiv sein
> muss in [mm]\IR.[/mm]
> Es muss gelten : [mm]\sqrt{8x^2-9x-20}\ge0[/mm]
> Du behauptest, die Gleichung gelte [mm]\forall x\le \bruch{4}{3}.[/mm]
Hallo,
nein, das behauptet Al Chwarizmi nicht.
Er sagt: wenn (!) es eine Lösung x der Gleichung $ [mm] 3x+\wurzel[2]{8x^2-9x-20} [/mm] $ = 4 gibt, dann ist dieses [mm] x\le \bruch{4}{3}.
[/mm]
Du solltest Dir mal, die ganze Gleichung betrachtend, überlegen, warum das so ist.
Ob es eine Lösung gibt, und wie diese lautet, hat er nicht gesagt. Nur, daß jede Zahl die größer als [mm] \bruch{4}{3} [/mm] ist, keine Lösung ist.
Gruß v. Angela
>
> Widerlegung : Sei [mm]x=0[/mm]. Dann gilt :
> [mm]\sqrt{8*0^2-9*0-20}=\sqrt{-20}.[/mm] Es sollte gelten :
> [mm]\sqrt{x}\ge0\ \forall x\in\IR\Rightarrow[/mm] [mm]x[/mm] [mm]\not\in\IR[/mm] : [mm]x[/mm][mm] \le \bruch{4}{3}.[/mm]
>
> Es soll wie gesagt gelten :
> [mm]\sqrt{8x^2-9x-20}\ge0[/mm]
> [mm]\gdw 8x^2-9x-20\ge0[/mm]
> [mm]\gdw 8x^2-9x\ge20\Rightarrow?[/mm]
>
> Bei mir kommt raus, dass [mm]x\ge\bruch{1}{16}(9+\sqrt{721})[/mm]
> und [mm]x\le\bruch{1}{16}(9-\sqrt{721}).[/mm]
> [mm]x_1=\bruch{1}{16}(9+\sqrt{721})[/mm] und
> [mm]x_2=\bruch{1}{16}(9-\sqrt{721})[/mm] sind übrigens auch die
> Nullstellen der Funktion. Dazwischen ist sie in [mm]\IR[/mm] nicht
> definiert.
>
> MfG
|
|
|
| |
|
> edit : Es ging mir nur um die Wurzelfunktion, nicht um die
> komplette vorgegebene Funktion. Dazu meine Frage :
> Verfälsche ich die Aussage, wenn ich so rechne ?
>
> [mm]3x+\sqrt{8x^2-9x-20}=4[/mm]
> [mm]\gdw 9x^2+8x^2-9x-20=16[/mm]
Hallo,
der Schritt ist, wie Du schon ahnst, völlig falsch, denn es ist [mm] (a+b)^2\not= a^2+b^2.
[/mm]
Tip:
[mm] $3x+\sqrt{8x^2-9x-20}=4$
[/mm]
<==>
[mm] \sqrt{8x^2-9x-20}=4-3x,
[/mm]
nun quadrieren, am Ende ggf. die Probe nicht vergessen.
Gruß v. Angela
> [mm]\gdw[/mm] ..
>
> Ich denke schon :S
>
> MfG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Fr 08.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Hallo angela.h.b.!
Das habe ich völlig vergessen, danke.
Es gilt also :
[mm] 3x+\sqrt{8x^2-9x-20}=4
[/mm]
[mm] \gdw\sqrt{8x^2-9x-20}=4-3x
[/mm]
[mm] \gdw8x^2-9x-20=(4-3x)^2
[/mm]
[mm] \gdw8x^2-9x-20=16-12x+9x^2
[/mm]
[mm] \gdw-x^2+3x-36=0
[/mm]
[mm] \gdw x^2-3x+36=0
[/mm]
Mit der pq-Formel folgt :
[mm] x_{1,2}=-\bruch{(-3)}{2}\pm\sqrt{(\bruch{(-3)}{2})^2-36}
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{3}{2}\pm\sqrt{(\bruch{9}{4})-36}
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{3}{2}\pm\sqrt{(\bruch{9}{4})-\bruch{144}{4}}
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{3}{2}\pm\sqrt{-\bruch{135}{4}}
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{3}{2}\pm\bruch{1}{2}\sqrt{-135}
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{3}{2}\pm\bruch{1}{2}\sqrt{9(-15)}
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{3}{2}\pm\bruch{1}{2}3\sqrt{-15}
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{3}{2}\pm\bruch{3}{2}\sqrt{-15}\Rightarrow\not\exists\ x\in \IR:[/mm] [mm]3x+\sqrt{8x^2-9x-20}=4[/mm].
Wie kommt man nun genau auf [mm]x\le\bruch{4}{3}[/mm] ?
mfG
|
|
|
| |
|
Hallo DM08,
> Hallo angela.h.b.!
>
> Das habe ich völlig vergessen, danke.
>
> Es gilt also :
>
> [mm]3x+\sqrt{8x^2-9x-20}=4[/mm]
> [mm]\gdw\sqrt{8x^2-9x-20}=4-3x[/mm]
> [mm]\gdw8x^2-9x-20=(4-3x)^2[/mm]
Das ist meines Wissens keine Äquivalenzumformung, da beim Quadrieren die Lösungsmenge verändert werden kann.
> [mm]\gdw8x^2-9x-20=16-12x+9x^2[/mm]
Nach der Binomischen Formel muss es doch heißen:
[mm]8x^2-9x-20=16-24x+9x^2[/mm]
> [mm]\gdw-x^2+3x-36=0[/mm]
> [mm]\gdw x^2-3x+36=0[/mm]
>
> Mit der pq-Formel folgt :
>
> [mm]x_{1,2}=-\bruch{(-3)}{2}\pm\sqrt{(\bruch{(-3)}{2})^2-36}[/mm]
> [mm]\gdw\bruch{3}{2}\pm\sqrt{(\bruch{9}{4})-36}[/mm]
> [mm]\gdw\bruch{3}{2}\pm\sqrt{(\bruch{9}{4})-\bruch{144}{4}}[/mm]
> [mm]\gdw\bruch{3}{2}\pm\sqrt{-\bruch{135}{4}}[/mm]
> [mm]\gdw\bruch{3}{2}\pm\bruch{1}{2}\sqrt{-135}[/mm]
> [mm]\gdw\bruch{3}{2}\pm\bruch{1}{2}\sqrt{9(-15)}[/mm]
> [mm]\gdw\bruch{3}{2}\pm\bruch{1}{2}3\sqrt{-15}[/mm]
>
> [mm]\gdw\bruch{3}{2}\pm\bruch{3}{2}\sqrt{-15}\Rightarrow\not\exists\ x\in \IR:[/mm]
> [mm]3x+\sqrt{8x^2-9x-20}=4[/mm].
>
> Wie kommt man nun genau auf [mm]x\le\bruch{4}{3}[/mm] ?
Stelle die Gleichung einmal so um:
[mm]3x-4=-\sqrt{8x^2-9x-20}[/mm]
Was gilt in [mm] $\IR$ [/mm] für das Ergebnis von Wurzeln?
Gruß, Melvissimo
>
> mfG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Fr 08.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Ich weiß nicht worauf du hinaus willst. Es gilt [mm] \sqrt{x}\ge0\ \forall x\in\IR.
[/mm]
Aber du hast Recht, mein fehler liegt bei der binomischen Formel und somit gilt :
[mm] 3x+\sqrt{8x^2-9x-20}=4 [/mm]
[mm] \gdw\sqrt{8x^2-9x-20}=4-3x [/mm]
[mm] \gdw8x^2-9x-20=(4-3x)^2 [/mm]
[mm] \gdw8x^2-9x-20=16-24x+9x^2 [/mm]
[mm] \gdw-x^2+15x-36=0 [/mm]
[mm] \gdw x^2-15x+36=0 [/mm]
Mit der pq-Formel folgt :
[mm] x_{1,2}=-\bruch{(-15)}{2}\pm\sqrt{(\bruch{(-15)}{2})^2-36} [/mm]
[mm] \gdw\bruch{15}{2}\pm\sqrt{(\bruch{225}{4})-36} [/mm]
[mm] \gdw\bruch{15}{2}\pm\sqrt{(\bruch{225}{4})-\bruch{144}{4}} [/mm]
[mm] \gdw\bruch{15}{2}\pm\sqrt{\bruch{81}{4}} [/mm]
[mm] \gdw\bruch{15}{2}\pm\bruch{9}{2}\Rightarrow x_1=12 [/mm] und [mm] x_2=3.
[/mm]
Wie kommt man nun genau auf [mm]x\le\bruch{4}{3}[/mm] ?
MfG
|
|
|
| |
|
> Ich weiß nicht worauf du hinaus willst. Es gilt
> [mm]\sqrt{x}\ge0\ \forall x\in\IR.[/mm]
Vollkommen richtig!
Das bedeutet aber auch, dass in der Gleichung
$ [mm] 3x-4=-\sqrt{8x^2-9x-20} [/mm] $
die rechte Seite auf jeden Fall nicht-positiv sein muss.
es muss also gelten: $ [mm] 3x-4\le0 [/mm] $
Gruß, Melvissimo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 Fr 08.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Danke, so ist es in der Tat viel einfacher ;)
MfG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Fr 08.07.2011 | | Autor: | Pauline |
Alles klar und vielen Dank für die Antworten!
|
|
|
|
