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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 Sa 20.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Hallo,
ich hatte jetzt zum Beispiel das Polynom [mm] $f(z)=z^4 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] +1$ und wollte hier die Nullstellen suchen. Da habe ich dann [mm] $x=z^2$ [/mm] substituiert und erhielt: [mm] $x=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. [/mm] Allerdings habe ich jetzt gelesen, dass man da eigentlich [mm] $x=-\frac{1}{2}\pm [/mm] i [mm] \frac{\sqrt{3}}{2}$ [/mm] rauskriegen sollte. Daher wären meine Fragen:
1. Wie kann man diese Formel allgemein herleiten, dazu habe ich leider nichts gefunden.
2. Kennt jemand einen Link zu einer nützlichen Sammlung mit Rechneregeln zu dem Thema Nullstellensuche, weil das Komplexeste,was wir in der Vorlesung betrachtet haben waren Sachen von der Form [mm] $z^k [/mm] +1 =0$.
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Sa 20.02.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
> ich hatte jetzt zum Beispiel das Polynom [mm]f(z)=z^4 + z^2 +1[/mm]
> und wollte hier die Nullstellen suchen. Da habe ich dann
> [mm]x=z^2[/mm] substituiert und erhielt: [mm]x=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}[/mm].
Du hast dich da verrechnet.
Beim Anwenden der p-q-Formel auf [mm] x^{2}+x+1 [/mm] ergibt sich (p=1 und q=1):
[mm] x_{1;2}=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-1}
[/mm]
[mm] =-\frac{1}{2}\pm\sqrt{-\frac{3}{4}}
[/mm]
[mm] =-\frac{1}{2}\pm\sqrt{(-1)\cdot\frac{3}{4}}
[/mm]
[mm] =-\frac{1}{2}\pm i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
[/mm]
> Allerdings habe ich jetzt gelesen, dass man da eigentlich
> [mm]x=-\frac{1}{2}\pm i \frac{\sqrt{3}}{2}[/mm] rauskriegen sollte.
Das bekommst du auch, wenn du korrekt rechnest.
> Daher wären meine Fragen:
> 1. Wie kann man diese Formel allgemein herleiten, dazu habe
> ich leider nichts gefunden.
Das geht mit quadratischer Ergänzung:
[mm] x^{2}+px+q=0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x^{2}+2\cdot\left(\frac{p}{2}\right)\cdot x+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-\left(\frac{p}{2}\right)^{2}+q=0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}=\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q
[/mm]
Wenn du nun die Wurzel ziehst, und dann beidseitig [mm] -\frac{p}{2} [/mm] subtrahierst, hast du die Formel.
> 2. Kennt jemand einen Link zu einer nützlichen Sammlung
> mit Rechneregeln zu dem Thema Nullstellensuche, weil das
> Komplexeste,was wir in der Vorlesung betrachtet haben waren
> Sachen von der Form [mm]z^k +1 =0[/mm].
> Viele Grüße,
> Reynir
Es gelten im großen und Ganzen dieselben Regeln wie in den reellen Zahlen, meiner Meinung nach die beste Zusammenfassung zu den komplexen Zahlen findest du in ![[]](/images/popup.gif) diesem Skript.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Sa 20.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Danke für deine Antwort, ich werde mir das mal angucken das Skript. ;)
Viele Grüße und ein schönes Wochenende,
Reynir
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