ZZ. Einheitsmatrix - Nullmatrix ist invertierbar. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:58 Mo 14.06.2004 | | Autor: | baddi |
Hallo zusammen,
ich hab eine Lösung zu einer Aufgabe, jedoch vermute ich das ich Sie falsch verstehe.
Die Aufgabe lautet so:
1. Sei A eine n x n-Matrix mit [mm] $A^l$ [/mm] = 0 für ein l [mm] $\in$ [/mm] N.
Zeigen Sie, dass 1-A invertierbar ist (0 bezeichne hier die Nullmatrix, 1 die
Einheitsmatrix).
Beispiel im [mm] $R^2$:
[/mm]
Einheitsmatrix:
[mm] $\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{pmatrix}$
[/mm]
Nullmatrix:
[mm] $\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}$
[/mm]
Natürlich verändert das addieren oder subtrahieren der Nullmatrix überhaupt nix (shiehe hier: http://www.mathematik.net/matrizen/21k2s4.htm ).
Die Einheitsmatrix bleibt immer gleich der Einheitsmatrix.
Tja und das Inverse der Einheitsmatrix ist ja wohl wieder die Einheitsmatrix.
Die Aufgabe ist also trival. Aber so einfach kann es doch wohl nicht sein ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo baddi,
> Hallo zusammen,
> ich hab eine Lösung zu einer Aufgabe, jedoch vermute ich
> das ich Sie falsch verstehe.
>
> Die Aufgabe lautet so:
> 1. Sei A eine n x n-Matrix mit [mm] $A^l$ [/mm] = 0 für ein l [mm] $\in$ [/mm]
> N.
> Zeigen Sie, dass 1-A invertierbar ist (0 bezeichne hier
> die Nullmatrix, 1 die
> Einheitsmatrix).
>
> Beispiel im [mm] $R^2$:
[/mm]
> Einheitsmatrix:
> [mm] $\begin{pmatrix}
> 1 & 0 \\
> 1 & 1
> \end{pmatrix}$
[/mm]
>
> Nullmatrix:
> [mm] $\begin{pmatrix}
> 0 & 0 \\
> 0 & 0
> \end{pmatrix}$
[/mm]
>
> Natürlich verändert das addieren oder subtrahieren der
> Nullmatrix überhaupt nix (shiehe hier:
> http://www.mathematik.net/matrizen/21k2s4.htm ).
>
> Die Einheitsmatrix bleibt immer gleich der
> Einheitsmatrix.
> Tja und das Inverse der Einheitsmatrix ist ja wohl wieder
> die Einheitsmatrix.
>
> Die Aufgabe ist also trival. Aber so einfach kann es doch
> wohl nicht sein ?
Das stimmt 
Ich verstehe überhaupt nicht, wie du darauf kommst. Es steht doch nirgendwo $A=0$, sondern [mm] $A^l=0$ [/mm] für ein l. Das ist etwas ganz anderes, das heißt nämlich: Wenn man die Matrix A genügend oft mit sich selbst multipliziert, erhält man die Nullmatrix.
Jetzt klar, dass es doch nicht so trivial ist  ?
Bis gespannt auf deine neuen Lösungsversuche
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:12 Di 15.06.2004 | | Autor: | baddi |
Äh.. danke Marc. Vielleicht hab ich das einfach nicht gelesen, weil es für mich so abwegig war.
Es schmeist mich nämlich mal wieder völlig aus dem Konzept.
Liegt aber sicher daran das ich mir erst was Nachlesen muss.
Aber was ?
Was könnte das sein ?
Eine [mm] $A_l$ [/mm] mit einem A,l so das [mm] $A_l$ [/mm] = 0.
Erinnert mich an nix. Vielleicht etwas an Determinanten.... Hmmm.
Invertierbarket erinnert mich an Determinanten.
Wo lese ich da jetzt nach ?
Wär nett Du/Ihr hättet mir wieder ein Bonbon, damit ich nicht so lange im Wald suche.
Danke. Ich vorste jetzt einfach erst mal in der Nähe von Determinanten rum.
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Hallo baddi
Dein Problem ist eine Standard Uebungsaufgabe in der linearen Algebra. Eine Matrix $A$ wie du sie Beschrieben hat nennt man Nilpotent.
Du hast also zu Zeigen, dass
$id - A$ wieder invertierbar ist. Dieses Problem loest sich tatsaechlich durch einfaches ausrechnen. Es gibt dann eine Stelle an der man anfaengt zu verzweifeln. Ich habe es damals ueber Induktion versucht und habe mir die Finger wundgeschrieben. Es geht einfacher.
Hier mal ein Tipp:
Rechne erstmal rum und versuche dann die Taylor-Reihe fuer 1/(1 − x) zu verwenden.
Wenn es nichts wird, findest du im Netz sicher noch 100 andere Loesungen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 Di 15.06.2004 | | Autor: | Ancillius |
Falls du ueberhaupt nicht drauf kommst noch ein kleiner Tipp... ich habe eben mal das Inverse fuer ein nilpotentes Element berechnet. Das muesste auch fuer Matritzen funktionieren. Also:
Fuer nxn Matritzen gilt:
A(B+C)=AB+AC
Sei X eine nilpontente Matrix ueber K. Sei n+1=r die Zahl, mit [mm] $X^r=0$. [/mm] Dann ist [mm] $(1-X)^{-1}=(1+X+X^2+X^3+\cdots+X^n)$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Di 15.06.2004 | | Autor: | baddi |
Also wenn Matrix A = Matrix 0 ist, dann ist natürlich auch jedes A * A = 0.
klar.
1 - A ist dann trivialerweises invertierbar, weil die Einheitsmatrix invertierbar mit sich selbst ist.
Aber es gibt noch andere A die mit sich selbst 0 geben.
Stimmt eigentlich folgendes:
(X - Y) invertierbar <=> (X)invertierbar , (Y)invertierbar ?
Weil das wäre natürlich super ?
Dann bräuchte ich ja für A nur noch die Invertierbarkeit ausrechnen... naja nur. es ist ja ein beliebig großes quadratisches A.
Aber es wäre schon leichter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Di 15.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sebastian
> Stimmt eigentlich folgendes:
> (X - Y) invertierbar <=> (X)invertierbar , (Y)invertierbar
> ?
Nein, das stimmt leider nicht!
(Da im Moment das System eine Macke hat, kann ich dir das Gegenbeispiel nur in beschreibender Form geben)
Betrachte mal innerhalb der 3x3-Matrizen die folgenden:
I) E (die Einheitsmatrix, also in der Hauptdiagonale lauter 1, sonst 0)
II) A: die Matrix, die in der anderen Diagonale lauter 1 hat, sonst nur 0
Sowohl E als auch A sind invertierbar.
(A-E) ist es aber nicht! In der 2. Zeile stehen nämlich lauter 0, weshalb auch die Determinante 0 ist, und somit die Matrix (A-E) nicht invertierbar ist.
Schade, aber es ist nun mal so!
Mit lieben Grüssen
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