Z[i] ist Euklidischer Ring < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Di 04.11.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Der Ring [mm] \mathbb{Z}[i] [/mm] := [mm] \{ a + ib |a,b \in \mathbb{Z} \} \in \mathbb{C} [/mm] ist mit der Gradfunktion [mm] \omega: \mathbb{Z}[i] \rightarrow \mathbb{N} \cup \{0\}, [/mm] a+ib [mm] \rightarrow |a+ib|^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2
[/mm]
ein Euklidischer Ring. |
Hallo,
dies ist ein Beispiel aus dem Bosch-Algebra-Buch, Abschnitt 2.4. Die Begründung lautet folgendermaßen:
Der Abstand benachbarter Punkte aus [mm] \mathbb{Z}[i] [/mm] beträgt höchstens [mm] \sqrt{2}.
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] zu f,g [mm] \in \mathbb{Z}[i], [/mm] g [mm] \not= [/mm] 0, [mm] \exists [/mm] a,b [mm] \in \mathbb{Z} [/mm] mit
|f [mm] \cdot g^{-1} [/mm] - (a+ib)| [mm] \leq \frac{1}{2} \sqrt{2} [/mm] < 1.
Setze nun q:= (a+ib), r = f - q [mm] \cdot [/mm] g.
[mm] \Rightarrow [/mm] |r| < |g|, also f = q [mm] \cdot [/mm] g + r mit [mm] \delta(r) [/mm] < [mm] \delta(g) [/mm] oder r =0.
Leider steht das nur so knapp da, deshalb hab ich ein paar Fragen dazu.
Wie sind benachbarte Punkte definiert? Ich hab mit diesen Teil der Gaußschen Ebene mal so als "Gitternetz" vorgestellt, weil a,b [mm] \in \mathbb{Z}, [/mm] d.h. der größte Abstand zweier Punkte wäre über eine Diagonale un das ist mit Pythagoras gerade [mm] \sqrt{2}. [/mm] Stimmt diese Vortsellung?
Wie kommt man dann auf |f [mm] g^{-1} [/mm] - (a+ib)| ?
warum f [mm] \cdot g^{-1} [/mm] ? und warum ist das kleiner gleich 1/2 [mm] \sqrt{2} [/mm] ?
Wäre super, wenn mir jemand dazu ein paar Erklärungen schreiben könnte.
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Di 04.11.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo,
ja, die Ausführungen von Bosch sind in seinem Buch und seiner Vorlesung sehr knapp :). Deine Vorstellung von [mm] \IZ[i] [/mm] ist richtig: Die Gitterpunkte (a,b) mit a,b [mm] \in \IZ [/mm] stellen die Elemente von [mm] \IZ[i] [/mm] dar. Der größte Abstand einer Zahl z aus [mm] \iC [/mm] zum nächsten Gitterpunkt ist allerdings [mm] \bruch{1}{2}*\sqrt(2). [/mm] Z.B. schauen wir uns mal einen Punkt z im Quadrat mit den Eckpunkten (0,0),(0,1),(1,0),(1,1). Der Abstand ist maximal, wenn wir den Mittelpunkt des Quadrats als z wählen also z=(0,5;0,5),nämlich entsprechend Pythagoros [mm] 0,5*\wurzel{2}.
[/mm]
Für den Beweis ist allerdings nur wichtig, dass dieser Abstand kleiner als 1 ist., also auch der "Punkte"/Elemente [mm] f*g^{-1} [/mm] und q [mm] \in \IZ[i] [/mm] ,
also [mm] |f*g^{-1}-q|<1
[/mm]
q ist so gerade so gewählt, dass wir am Ende eine Normabbildung [mm] \delta [/mm] bekommen, der Voraussetzungen erfüllt, also das eine Division mit Rest erfüllt ist.
[mm] \delta(r)=|r|²=|f-qg|²=|g(fg^{-1}-q)|²=|g|²*|fg^{-1}-q|²<|g|²=\delta(g) [/mm]
Viele Grüße
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Christian,
vielen Dank für deine Erklärungen, hat mir wirklich weitergeholfen!
Viele Grüße,
Riley
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