(Z/pZ)* zyklisch < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Mi 15.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Ich beschäftige mich hier gerade mit der Eulerschen [mm] \phi [/mm] - Funktion und in Zusammenhang mit ihr wird ganz besonders auf die Struktur von [mm] ( \mathbb Z / n \mathbb Z )^{\*} [/mm] eingegangen.
Dabei gibt es einen Satz zu dem ich Fragen habe.
Satz :
1. Sei p eine ungerade Primzahl.
Dann ist [mm] ( \mathbb Z / p^n \mathbb Z )^{\*} [/mm] eine zyklische Gruppe.
2. [mm] ( \mathbb Z / 2 \mathbb Z )^{\*} [/mm] ist zyklisch,
[mm] ( \mathbb Z / 4 \mathbb Z )^{\*} [/mm] ist zyklisch, aber
[mm] ( \mathbb Z / 2^n \mathbb Z )^{\*} \cong ( \mathbb Z / 2 \mathbb Z ) \times ( \mathbb Z / 2^{n-2} \mathbb Z ) [/mm], die Faktoren werden von -1 und 5 erzeugt.
So, zu meinen Fragen:
Zum Teil 1 habe ih einen Beweis, den ich noch nicht komplett nachgearbeitet habe und deswegen noch keine Fragen  .
Zum Teil 2:
Sehe ich das richtig, dass [mm] ( \mathbb Z / 2 \mathbb Z )^{\*} [/mm] zyklisch ist, weil es nur aus der [mm] \{0,1 \} [/mm] besteht und somit von 1 erzeugt wird?
Und [mm] ( \mathbb Z / 4 \mathbb Z )^{\*} [/mm] ist zyklisch, weil es aus [mm] \{1,3 \} [/mm] besteht und somit auch von 1 erzeigt wirdß
Zu diesem Teil der Aussage habe ich leider keine Erklärung, und wäre sehr dankbar, wenn mir die jemand erklären könnte :-( ...
" [mm] ( \mathbb Z / 2^n \mathbb Z )^{\*} \cong ( \mathbb Z / 2 \mathbb Z ) \times ( \mathbb Z / 2^{n-2} \mathbb Z ) [/mm], die Faktoren werden von -1 und 5 erzeugt. "
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Do 16.10.2008 | | Autor: | PeterB |
Achtung: Du untersuchst die Multiplikativen Gruppen. D.h. die Verknüpfung ist [mm] "$\cdot$". [/mm]
Im Einzelnen:
>
> Zum Teil 2:
>
> Sehe ich das richtig, dass [mm]( \mathbb Z / 2 \mathbb Z )^{\*} [/mm]
> zyklisch ist, weil es nur aus der [mm]\{0,1 \}[/mm] besteht und
> somit von 1 erzeugt wird?
>
[mm]( \mathbb Z / 2 \mathbb Z ) [/mm] besteht aus den Elementen $0,1$. Die multiplikative Gruppe [mm]( \mathbb Z / 2 \mathbb Z )^{\*} [/mm] besteht nur aus dem Element $1$ und wird daher auch davon erzeugt.
> Und [mm]( \mathbb Z / 4 \mathbb Z )^{\*} [/mm] ist zyklisch, weil
> es aus [mm]\{1,3 \}[/mm] besteht und somit auch von 1 erzeigt wirdß
>
Die multiplikative Gruppe besteht tatsächlich aus den Elementen $1,3$ aber damit wird sie natürlich von $3$ erzeugt, da $1$ die multiplikative(!) Einheit ist. Der Erzeuger der Gruppe ist $3$. Mal nachrechnen: [mm] $3\cdot 3=9\equiv [/mm] 1 mod 4$.
> Zu diesem Teil der Aussage habe ich leider keine Erklärung,
> und wäre sehr dankbar, wenn mir die jemand erklären könnte
> :-( ...
>
> " [mm]( \mathbb Z / 2^n \mathbb Z )^{\*} \cong ( \mathbb Z / 2 \mathbb Z ) \times ( \mathbb Z / 2^{n-2} \mathbb Z ) [/mm],
> die Faktoren werden von -1 und 5 erzeugt. "
Das Problem bei diesem Teil ist: Man kann ihn per Hand machen, man bekommt ihn aber geschenkt, wenn man tiefer in die Algebraische Zahlentheorie einsteigt. (Stichwort p-adischer Logarithmus). Hier also die wesentlichen Schritte des Beweises zu Fuß:
Schritt 1) $( [mm] \mathbb [/mm] Z / [mm] 2^n \mathbb [/mm] Z [mm] )^{\*}\cong \{1,-1\}\times \{n|n\equiv 1 \mod 4 \}$
[/mm]
[mm] Zunächst:$\{n|n\equiv 1 \mod 4 \}$ [/mm] ist eine Untergruppe.
Dann folgt: Wir haben eine exakte Sequenz:
[mm] $1\rightarrow\{n|n\equiv 1 \mod 4 \}\rightarrow( \mathbb [/mm] Z / [mm] 2^n \mathbb [/mm] Z [mm] )^{\*}\rightarrow \mathbb [/mm] Z / 2 [mm] \mathbb [/mm] Z [mm] \rightarrow [/mm] 1$
Diese spaltet, weil ich das nicht triviale Element von [mm] $\mathbb [/mm] Z / 2 [mm] \mathbb [/mm] Z$ auf $-1$ schicken kann. Damit ist die Behauptung bewiesen.
Schritt 2) [mm] $\{n|n\equiv 1 \mod 4 \}$ [/mm] wird von $5$ erzeugt:
Nach Betrachtung der Gruppenordnungen ist zu Zeigen: Die Ordnung von $5$ in $( [mm] \mathbb [/mm] Z / [mm] 2^n \mathbb [/mm] Z [mm] )^{\*}$ [/mm] ist [mm] $2^{n-2}$. [/mm] Da die Ordnung aber offenbar [mm] $2^{n-2}$ [/mm] teilt, reicht es zu zeigen: [mm] $5^{2^{n-3}}\not\equiv1 [/mm] mod [mm] 2^n$. [/mm] Wir zeigen genauer per Induktion:
[mm] $5^{2^{n-3}}\equiv 2^{n-1}+1 [/mm] mod [mm] 2^n$ [/mm] für [mm] $n\geq [/mm] 3$.
Ind.Anf.:n=3: Klar
Ind.Ann.: [mm] $5^{2^{n-3}}\equiv 2^{n-1}+1 [/mm] mod [mm] 2^n$ [/mm] für ein $n$.
Ind.Schritt: Zeige für $n+1$:
Wir wissen aus der Annahme, dass [mm] $5^{2^{n-3}}=k2^n+2^{n-1}+1$ [/mm] für eine ganze Zahl $k$. Damit rechen wir: [mm] $5^{2^{n+1-3}}=(5^{2^{n-3}})^2=(k2^n+2^{n-1}+1)^2=k^2 2^{2n}+2^{2n-2}+1+2\cdot [/mm] k [mm] 2^{n}2^{n-1}+2\cdot k2^n\cdot [/mm] 1+ [mm] 2\cdot 2^{n-1}\cdot 1\equiv 2^n+1 [/mm] mod [mm] 2^{n+1}$.
[/mm]
Einfach durch Ausmultiplizieren.
Also Fertig.
Insbesondere der 1. Schritt ist etwas rudimentär, aber vieleicht doch verständlich.
Gruß
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Fr 17.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Als erstes, vielen Dank für die ausführliche Antwort. Leider habe ich zu dieser Antwort sehr viele Fragen, da mir vieles unklar ist.
Wahrscheinlich liegt das an meinen , nicht gerade bestes Vorkenntnissen in Algebra :-(. Also, schon man eine Entschuldigung vorab für diese wahrscheinlich sehr blöden Fragen meinerseits!
> Achtung: Du untersuchst die Multiplikativen Gruppen. D.h.
> die Verknüpfung ist "[mm]\cdot[/mm]".
>
> Im Einzelnen:
>
> >
> > Zum Teil 2:
> >
> > Sehe ich das richtig, dass [mm]( \mathbb Z / 2 \mathbb Z )^{\*}[/mm]
> > zyklisch ist, weil es nur aus der [mm]\{0,1 \}[/mm] besteht und
> > somit von 1 erzeugt wird?
> >
>
> [mm]( \mathbb Z / 2 \mathbb Z )[/mm] besteht aus den Elementen [mm]0,1[/mm].
> Die multiplikative Gruppe [mm]( \mathbb Z / 2 \mathbb Z )^{\*}[/mm]
> besteht nur aus dem Element [mm]1[/mm] und wird daher auch davon
> erzeugt.
Das habe ich verstanden!
>
> > Und [mm]( \mathbb Z / 4 \mathbb Z )^{\*}[/mm] ist zyklisch, weil
> > es aus [mm]\{1,3 \}[/mm] besteht und somit auch von 1 erzeigt wirdß
> >
> Die multiplikative Gruppe besteht tatsächlich aus den
> Elementen [mm]1,3[/mm] aber damit wird sie natürlich von [mm]3[/mm] erzeugt,
> da [mm]1[/mm] die multiplikative(!) Einheit ist. Der Erzeuger der
> Gruppe ist [mm]3[/mm]. Mal nachrechnen: [mm]3\cdot 3=9\equiv 1 mod 4[/mm].
Warum ist hier der Erzeuger der Gruppe 3? Und warum rechnet man das so [mm]3\cdot 3=9\equiv 1 mod 4[/mm] nach, warum modulo 4 ? Weil man dadurch die 1 bekommt?
> > Zu diesem Teil der Aussage habe ich leider keine Erklärung,
> > und wäre sehr dankbar, wenn mir die jemand erklären könnte
> > :-( ...
> >
> > " [mm]( \mathbb Z / 2^n \mathbb Z )^{\*} \cong ( \mathbb Z / 2 \mathbb Z ) \times ( \mathbb Z / 2^{n-2} \mathbb Z ) [/mm],
> > die Faktoren werden von -1 und 5 erzeugt. "
>
> Das Problem bei diesem Teil ist: Man kann ihn per Hand
> machen, man bekommt ihn aber geschenkt, wenn man tiefer in
> die Algebraische Zahlentheorie einsteigt. (Stichwort
> p-adischer Logarithmus). Hier also die wesentlichen
> Schritte des Beweises zu Fuß:
p-adischen Logarithmus haben wir leider in keiner Vorlesung gehabt :-( .
> Schritt 1) [mm]( \mathbb Z / 2^n \mathbb Z )^{\*}\cong \{1,-1\}\times \{n|n\equiv 1 \mod 4 \}[/mm]
Was zeigen wir denn genau in diesem Schritt 1? Dass -1 ein Erzeuger ist? Ich versteh leider diese Schreibweise [mm]( \mathbb Z / 2^n \mathbb Z )^{\*}\cong \{1,-1\}\times \{n|n\equiv 1 \mod 4 \}[/mm] nicht?
> Zunächst:[mm]\{n|n\equiv 1 \mod 4 \}[/mm] ist eine Untergruppe.
Untergruppe von welcher Gruppe?
> Dann folgt: Wir haben eine exakte Sequenz:
> [mm]1\rightarrow\{n|n\equiv 1 \mod 4 \}\rightarrow( \mathbb Z / 2^n \mathbb Z )^{\*}\rightarrow \mathbb Z / 2 \mathbb Z \rightarrow 1[/mm]
>
Sorry, aber der Begriff der Sequenz ist mir nicht geläufig :-( Was wird denn hier [mm]1\rightarrow\{n|n\equiv 1 \mod 4 \}\rightarrow( \mathbb Z / 2^n \mathbb Z )^{\*}\rightarrow \mathbb Z / 2 \mathbb Z \rightarrow 1[/mm] genau gemacht ?
> Diese spaltet, weil ich das nicht triviale Element von
> [mm]\mathbb Z / 2 \mathbb Z[/mm] auf [mm]-1[/mm] schicken kann. Damit ist
> die Behauptung bewiesen.
Tut mir sehr leid, aber den Abschnitt vesteh ich garnicht... Wie auf -1 geschickt?
> Schritt 2) [mm]\{n|n\equiv 1 \mod 4 \}[/mm] wird von [mm]5[/mm] erzeugt:
Warum beschränken wir aus daruf zu zeigen, dass [mm]\{n|n\equiv 1 \mod 4 \}[/mm] von 5 erzeugt wird?
> Nach Betrachtung der Gruppenordnungen ist zu Zeigen: Die
> Ordnung von [mm]5[/mm] in [mm]( \mathbb Z / 2^n \mathbb Z )^{\*}[/mm] ist
> [mm]2^{n-2}[/mm].
Wie hängt die Gruppenordnung damit zusammen? und warum zeigt man dann, dass die Ordnung [mm]2^{n-2}[/mm] ist?
> Da die Ordnung aber offenbar [mm]2^{n-2}[/mm] teilt, reicht
> es zu zeigen: [mm]5^{2^{n-3}}\not\equiv1 mod 2^n[/mm]. Wir zeigen
> genauer per Induktion:
Welche Ordnung teilt offenbar [mm]2^{n-2}[/mm]? Und warum reicht es dann zu zeigen, dass [mm]5^{2^{n-3}}\not\equiv1 mod 2^n[/mm] ? Warum genau dieser [mm]5^{2^{n-3}}\not\equiv1 mod 2^n[/mm] Ansatz?
> [mm]5^{2^{n-3}}\equiv 2^{n-1}+1 mod 2^n[/mm] für [mm]n\geq 3[/mm].
>
> Ind.Anf.:n=3: Klar
> Ind.Ann.: [mm]5^{2^{n-3}}\equiv 2^{n-1}+1 mod 2^n[/mm] für ein [mm]n[/mm].
> Ind.Schritt: Zeige für [mm]n+1[/mm]:
> Wir wissen aus der Annahme, dass
> [mm]5^{2^{n-3}}=k2^n+2^{n-1}+1[/mm] für eine ganze Zahl [mm]k[/mm]. Damit
> rechen wir:
> [mm]5^{2^{n+1-3}}=(5^{2^{n-3}})^2=(k2^n+2^{n-1}+1)^2=k^2 2^{2n}+2^{2n-2}+1+2\cdot k 2^{n}2^{n-1}+2\cdot k2^n\cdot 1+ 2\cdot 2^{n-1}\cdot 1\equiv 2^n+1 mod 2^{n+1}[/mm].
>
> Einfach durch Ausmultiplizieren.
> Also Fertig.
>
> Insbesondere der 1. Schritt ist etwas rudimentär, aber
> vieleicht doch verständlich.
>
> Gruß
> Peter
Vieleicht wäre es möglich mir diese, ich nehme an fundamentale Sachen zu erläutern. Ich wäre auf jeden Fall sehr dankbar!
Und nochmals, sorry für dié vielen Fragen!!!
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Sa 18.10.2008 | | Autor: | PeterB |
> > [mm]( \mathbb Z / 2 \mathbb Z )[/mm] besteht aus den Elementen [mm]0,1[/mm].
> > Die multiplikative Gruppe [mm]( \mathbb Z / 2 \mathbb Z )^{\*}[/mm]
> > besteht nur aus dem Element [mm]1[/mm] und wird daher auch davon
> > erzeugt.
>
> Das habe ich verstanden!
Schön!
> >
> > > Und [mm]( \mathbb Z / 4 \mathbb Z )^{\*}[/mm] ist zyklisch, weil
> > > es aus [mm]\{1,3 \}[/mm] besteht und somit auch von 1 erzeigt wirdß
> > >
> > Die multiplikative Gruppe besteht tatsächlich aus den
> > Elementen [mm]1,3[/mm] aber damit wird sie natürlich von [mm]3[/mm] erzeugt,
> > da [mm]1[/mm] die multiplikative(!) Einheit ist. Der Erzeuger der
> > Gruppe ist [mm]3[/mm]. Mal nachrechnen: [mm]3\cdot 3=9\equiv 1 mod 4[/mm].
>
> Warum ist hier der Erzeuger der Gruppe 3? Und warum rechnet
> man das so [mm]3\cdot 3=9\equiv 1 mod 4[/mm] nach, warum modulo 4 ?
> Weil man dadurch die 1 bekommt?
>
Es ist so: [mm]( \mathbb Z / 4 \mathbb Z )[/mm] ist ein Ring. Die Elemente dieses Rings sind Equivalenzklassen mod 4, also die Klassen der Zahlen, die jeweils einen der vier Reste 0,1,2,3 bei der Division durch vier haben. Abkürzend werden diese Elemente oft mit 0,1,2,3 bezeichnet. Die Verknüpfungen + und [mm] $\cdot$ [/mm] sind jetzt durch rechnen in [mm] $\mathbb [/mm] Z$ und dann reduzieren modulo 4 gegeben. Z.B.: [mm] $3+2=5\equiv [/mm] 1 mod 4$ also gilt in diesem Ring $3+2=1$. Genauso gilt in diesem Ring eben: [mm] $3\cdot3=1$. [/mm] Wie sieht nun die multiplikative Gruppe aus? Das sind die Elemente die prim zu der Zahl sind, die wir herausteilen (hier: 4), also hier die ungeraden Zahlen. Hier besteht also die multiplikative Gruppe aus 1 und 3 und die Multiplikation ist gegeben durch: 1*1=1, 1*3=3*1=3, 3*3=1. Es handelt sich also um eine Gruppe mit zwei Elementen, die natürlich vom nichttrivialen Element erzeugt wird.
>
> > Schritt 1) [mm]( \mathbb Z / 2^n \mathbb Z )^{\*}\cong \{1,-1\}\times \{n|n\equiv 1 \mod 4 \}[/mm]
>
> Was zeigen wir denn genau in diesem Schritt 1? Dass -1 ein
> Erzeuger ist? Ich versteh leider diese Schreibweise [mm]( \mathbb Z / 2^n \mathbb Z )^{\*}\cong \{1,-1\}\times \{n|n\equiv 1 \mod 4 \}[/mm]
> nicht?
Hier habe ich viel zu kompliziert gedacht: Was wir zeigen wollen ist: a)Wir haben zwei Untergruppen von ( [mm] \mathbb [/mm] Z / [mm] 2^n \mathbb [/mm] Z [mm] )^{\*}: [/mm]
1) $H:={1,-1}$ und
2) [mm] $U:=\{n\in ( \mathbb Z / 2^n \mathbb Z )^{\*}|n\equiv 1 \mod 4 \}$
[/mm]
und b) Die Gruppe $G:=( [mm] \mathbb [/mm] Z / [mm] 2^n \mathbb [/mm] Z [mm] )^{\*}$ [/mm] ist das (direkte) Produkt von diesen beiden Untergruppen.
Dass beides Untergruppen sind, solltest du einfach mal nachrechen. Das $G$ das Produkt von $H$ und $U$ ist sieht man so:
Wir wissen: G hat [mm] $2^{n-1}$ [/mm] Elemente $H$ hat 2 Elemente und $U$ hat [mm] $2^{n-2}$ [/mm] Elemente. Das heißt: Wenn wir wissen, dass [mm] $H\cap U=\{1\}$, [/mm] dann ist [mm] $H\times [/mm] U$ isomorph zu einer Untergruppe von $G$ mit genau so vielen Elementen wie $G$ also isomorph zu $G$.
Jetzt müssen wir also noch den Durchschnitt von $H$ und $U$ berechnen. Aber $H$ enthält nur 2 Elemente und -1 ist nach Definition nicht in $U$. Also: Schritt abgeschlossen!
> Sorry, aber der Begriff der Sequenz ist mir nicht geläufig
Ok, hier geht es auch ohne, aber wenn ihr den Begriff der exakten Sequenzen im Grundstudium vermieden habt, dann waren das schon sehr seltsame LA-Vorlesungen, spätestens zu Beginn von Algebra sollte das nachgeholt werden.
>
> > Schritt 2) [mm]\{n|n\equiv 1 \mod 4 \}[/mm] wird von [mm]5[/mm] erzeugt:
>
> Warum beschränken wir aus daruf zu zeigen, dass
> [mm]\{n|n\equiv 1 \mod 4 \}[/mm] von 5 erzeugt wird?
Wir haben im Schritt eins gesehen, dass [mm] $G\cong H\times [/mm] U$ (das Zeichen heißt "isomorph"). Die Gruppe $H$ haben wir schon (unabhängig von $n$) beschrieben. Die Aussage des Satzes ist jetzt, dass $U$ eine zyklische Gruppe ist, die von 5 erzeugt wird.
>
>
> > Nach Betrachtung der Gruppenordnungen ist zu Zeigen: Die
> > Ordnung von [mm]5[/mm] in [mm]( \mathbb Z / 2^n \mathbb Z )^{\*}[/mm] ist
> > [mm]2^{n-2}[/mm].
>
> Wie hängt die Gruppenordnung damit zusammen? und warum
> zeigt man dann, dass die Ordnung [mm]2^{n-2}[/mm] ist?
Die Gruppe $U$ hat, wie oben bereits erwähnt [mm] $2^{n-2}$ [/mm] Elemente. Damit ist sie genau dann zyklisch, wenn es ein Element der gleichen Ordnung gibt. Dieses Element ist dann ein Erzeuger.
>
> > Da die Ordnung aber offenbar [mm]2^{n-2}[/mm] teilt, reicht
> > es zu zeigen: [mm]5^{2^{n-3}}\not\equiv1 mod 2^n[/mm]. Wir zeigen
> > genauer per Induktion:
>
> Welche Ordnung teilt offenbar [mm]2^{n-2}[/mm]? Und warum reicht es
> dann zu zeigen, dass [mm]5^{2^{n-3}}\not\equiv1 mod 2^n[/mm] ? Warum
> genau dieser [mm]5^{2^{n-3}}\not\equiv1 mod 2^n[/mm] Ansatz?
Die Ordnung eines Elementes teilt die Gruppenordnung. Die Gruppe $U$ hat [mm] $2^{n-2}$ [/mm] Elemente, also ist die Ordnung von 5 entweder [mm] $2^{n-2}$ [/mm] oder eine kleinere Potenz von $2$. Im zweiten Fall gilt insbesondere, dass die Ordnung von $5$ die Zahl [mm] $2^{n-3}$ [/mm] teilt. Wäre das der Fall dann würde in der Gruppe gelten: [mm] $5^{2^{n-3}}=1$ [/mm] und wie bereits oben erwähnt bedeutet das für die ganzen Zahlen: [mm] $5^{2^{n-3}}\equiv [/mm] 1 mod [mm] 2^n$.
[/mm]
>
> > [mm]5^{2^{n-3}}\equiv 2^{n-1}+1 mod 2^n[/mm] für [mm]n\geq 3[/mm].
> >
> > Ind.Anf.:n=3: Klar
> > Ind.Ann.: [mm]5^{2^{n-3}}\equiv 2^{n-1}+1 mod 2^n[/mm] für ein
> [mm]n[/mm].
> > Ind.Schritt: Zeige für [mm]n+1[/mm]:
> > Wir wissen aus der Annahme, dass
> > [mm]5^{2^{n-3}}=k2^n+2^{n-1}+1[/mm] für eine ganze Zahl [mm]k[/mm]. Damit
> > rechen wir:
> > [mm]5^{2^{n+1-3}}=(5^{2^{n-3}})^2=(k2^n+2^{n-1}+1)^2=k^2 2^{2n}+2^{2n-2}+1+2\cdot k 2^{n}2^{n-1}+2\cdot k2^n\cdot 1+ 2\cdot 2^{n-1}\cdot 1\equiv 2^n+1 mod 2^{n+1}[/mm].
>
> >
> > Einfach durch Ausmultiplizieren.
> > Also Fertig.
> >
Ich hoffe das ist jetzt klarer geworden.
Gruß
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Di 21.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Sorry, dass ich mihc so spät zurückmelde, war leider ein wenig krank geworden.
Ich versuche nun seit einiger Zeit alles nachzuvollziehen und leider ergeben sich noch ein paar Fragen zu diesem Artikel....
> > > [mm]( \mathbb Z / 2 \mathbb Z )[/mm] besteht aus den Elementen [mm]0,1[/mm].
> > > Die multiplikative Gruppe [mm]( \mathbb Z / 2 \mathbb Z )^{\*}[/mm]
> > > besteht nur aus dem Element [mm]1[/mm] und wird daher auch davon
> > > erzeugt.
> >
> > Das habe ich verstanden!
>
> Schön!
>
> > >
> > > > Und [mm]( \mathbb Z / 4 \mathbb Z )^{\*}[/mm] ist zyklisch, weil
> > > > es aus [mm]\{1,3 \}[/mm] besteht und somit auch von 1 erzeigt wirdß
> > > >
> > > Die multiplikative Gruppe besteht tatsächlich aus den
> > > Elementen [mm]1,3[/mm] aber damit wird sie natürlich von [mm]3[/mm] erzeugt,
> > > da [mm]1[/mm] die multiplikative(!) Einheit ist. Der Erzeuger der
> > > Gruppe ist [mm]3[/mm]. Mal nachrechnen: [mm]3\cdot 3=9\equiv 1 mod 4[/mm].
> >
> > Warum ist hier der Erzeuger der Gruppe 3? Und warum rechnet
> > man das so [mm]3\cdot 3=9\equiv 1 mod 4[/mm] nach, warum modulo 4 ?
> > Weil man dadurch die 1 bekommt?
> >
> Es ist so: [mm]( \mathbb Z / 4 \mathbb Z )[/mm] ist ein Ring. Die
> Elemente dieses Rings sind Equivalenzklassen mod 4, also
> die Klassen der Zahlen, die jeweils einen der vier Reste
> 0,1,2,3 bei der Division durch vier haben. Abkürzend werden
> diese Elemente oft mit 0,1,2,3 bezeichnet. Die
> Verknüpfungen + und [mm]\cdot[/mm] sind jetzt durch rechnen in
> [mm]\mathbb Z[/mm] und dann reduzieren modulo 4 gegeben. Z.B.:
> [mm]3+2=5\equiv 1 mod 4[/mm] also gilt in diesem Ring [mm]3+2=1[/mm]. Genauso
> gilt in diesem Ring eben: [mm]3\cdot3=1[/mm]. Wie sieht nun die
> multiplikative Gruppe aus? Das sind die Elemente die prim
> zu der Zahl sind, die wir herausteilen (hier: 4), also hier
> die ungeraden Zahlen. Hier besteht also die multiplikative
> Gruppe aus 1 und 3 und die Multiplikation ist gegeben
> durch: 1*1=1, 1*3=3*1=3, 3*3=1. Es handelt sich also um
> eine Gruppe mit zwei Elementen, die natürlich vom
> nichttrivialen Element erzeugt wird.
>
> >
> > > Schritt 1) [mm]( \mathbb Z / 2^n \mathbb Z )^{\*}\cong \{1,-1\}\times \{n|n\equiv 1 \mod 4 \}[/mm]
>
> >
> > Was zeigen wir denn genau in diesem Schritt 1? Dass -1 ein
> > Erzeuger ist? Ich versteh leider diese Schreibweise [mm]( \mathbb Z / 2^n \mathbb Z )^{\*}\cong \{1,-1\}\times \{n|n\equiv 1 \mod 4 \}[/mm]
> > nicht?
>
> Hier habe ich viel zu kompliziert gedacht: Was wir zeigen
> wollen ist: a)Wir haben zwei Untergruppen von ( [mm]\mathbb[/mm] Z /
> [mm]2^n \mathbb[/mm] Z [mm])^{\*}:[/mm]
> 1) [mm]H:={1,-1}[/mm] und
> 2) [mm]U:=\{n\in ( \mathbb Z / 2^n \mathbb Z )^{\*}|n\equiv 1 \mod 4 \}[/mm]
>
> und b) Die Gruppe [mm]G:=( \mathbb Z / 2^n \mathbb Z )^{\*}[/mm]
> ist das (direkte) Produkt von diesen beiden Untergruppen.
Wie kommt man denn genau auf diese beiden Untergruppen? Und irgendwie sehe ich nicht so auf anhieb, dass G [mm] 2^{n-1} [/mm] und U [mm] 2^{n-2} [/mm] Elemente haben? Bei der Untergruppe H ist klar, dass es sich da um 2 Elemente handelt, aber wie sieht man dies bei den anderen beiden?
> Dass beides Untergruppen sind, solltest du einfach mal
> nachrechen. Das [mm]G[/mm] das Produkt von [mm]H[/mm] und [mm]U[/mm] ist sieht man
> so:
> Wir wissen: G hat [mm]2^{n-1}[/mm] Elemente [mm]H[/mm] hat 2 Elemente und [mm]U[/mm]
> hat [mm]2^{n-2}[/mm] Elemente. Das heißt: Wenn wir wissen, dass
> [mm]H\cap U=\{1\}[/mm], dann ist [mm]H\times U[/mm] isomorph zu einer
> Untergruppe von [mm]G[/mm] mit genau so vielen Elementen wie [mm]G[/mm] also
> isomorph zu [mm]G[/mm].
> Jetzt müssen wir also noch den Durchschnitt von [mm]H[/mm] und [mm]U[/mm]
> berechnen. Aber [mm]H[/mm] enthält nur 2 Elemente und -1 ist nach
> Definition nicht in [mm]U[/mm]. Also: Schritt abgeschlossen!
>
>
> > Sorry, aber der Begriff der Sequenz ist mir nicht geläufig
> Ok, hier geht es auch ohne, aber wenn ihr den Begriff der
> exakten Sequenzen im Grundstudium vermieden habt, dann
> waren das schon sehr seltsame LA-Vorlesungen, spätestens zu
> Beginn von Algebra sollte das nachgeholt werden.
>
>
> >
> > > Schritt 2) [mm]\{n|n\equiv 1 \mod 4 \}[/mm] wird von [mm]5[/mm] erzeugt:
> >
> > Warum beschränken wir aus daruf zu zeigen, dass
> > [mm]\{n|n\equiv 1 \mod 4 \}[/mm] von 5 erzeugt wird?
> Wir haben im Schritt eins gesehen, dass [mm]G\cong H\times U[/mm]
> (das Zeichen heißt "isomorph"). Die Gruppe [mm]H[/mm] haben wir
> schon (unabhängig von [mm]n[/mm]) beschrieben. Die Aussage des
> Satzes ist jetzt, dass [mm]U[/mm] eine zyklische Gruppe ist, die von
> 5 erzeugt wird.
Also, haben wir gezeigt, dass H unanhängig von n ist.. Aber wo haben wir denn genau gezeigt, dass H von -1 erzeugt wird? Weil -1 nicht im Schnitt ist?
> >
> >
> > > Nach Betrachtung der Gruppenordnungen ist zu Zeigen: Die
> > > Ordnung von [mm]5[/mm] in [mm]( \mathbb Z / 2^n \mathbb Z )^{\*}[/mm] ist
> > > [mm]2^{n-2}[/mm].
> >
> > Wie hängt die Gruppenordnung damit zusammen? und warum
> > zeigt man dann, dass die Ordnung [mm]2^{n-2}[/mm] ist?
>
> Die Gruppe [mm]U[/mm] hat, wie oben bereits erwähnt [mm]2^{n-2}[/mm]
> Elemente. Damit ist sie genau dann zyklisch, wenn es ein
> Element der gleichen Ordnung gibt. Dieses Element ist dann
> ein Erzeuger.
> >
> > > Da die Ordnung aber offenbar [mm]2^{n-2}[/mm] teilt, reicht
> > > es zu zeigen: [mm]5^{2^{n-3}}\not\equiv1 mod 2^n[/mm]. Wir zeigen
> > > genauer per Induktion:
> >
> > Welche Ordnung teilt offenbar [mm]2^{n-2}[/mm]? Und warum reicht es
> > dann zu zeigen, dass [mm]5^{2^{n-3}}\not\equiv1 mod 2^n[/mm] ? Warum
> > genau dieser [mm]5^{2^{n-3}}\not\equiv1 mod 2^n[/mm] Ansatz?
>
> Die Ordnung eines Elementes teilt die Gruppenordnung. Die
> Gruppe [mm]U[/mm] hat [mm]2^{n-2}[/mm] Elemente, also ist die Ordnung von 5
> entweder [mm]2^{n-2}[/mm] oder eine kleinere Potenz von [mm]2[/mm]. Im
> zweiten Fall gilt insbesondere, dass die Ordnung von [mm]5[/mm] die
> Zahl [mm]2^{n-3}[/mm] teilt. Wäre das der Fall dann würde in der
> Gruppe gelten: [mm]5^{2^{n-3}}=1[/mm] und wie bereits oben erwähnt
> bedeutet das für die ganzen Zahlen: [mm]5^{2^{n-3}}\equiv 1 mod 2^n[/mm].
Genau das ist mir nicht klar. Warum würde im zweiten Fall genau gelten, dass [mm]5^{2^{n-3}}=1[/mm] ?
Und warum bedeutet das für die ganzen Zahlen: [mm]5^{2^{n-3}}\equiv 1 mod 2^n[/mm].
Also, warum soll 1 als Rest herauskommen?
> >
> > > [mm]5^{2^{n-3}}\equiv 2^{n-1}+1 mod 2^n[/mm] für [mm]n\geq 3[/mm].
> > >
>
> > > Ind.Anf.:n=3: Klar
> > > Ind.Ann.: [mm]5^{2^{n-3}}\equiv 2^{n-1}+1 mod 2^n[/mm] für
> ein
> > [mm]n[/mm].
> > > Ind.Schritt: Zeige für [mm]n+1[/mm]:
> > > Wir wissen aus der Annahme, dass
> > > [mm]5^{2^{n-3}}=k2^n+2^{n-1}+1[/mm] für eine ganze Zahl [mm]k[/mm]. Damit
> > > rechen wir:
> > > [mm]5^{2^{n+1-3}}=(5^{2^{n-3}})^2=(k2^n+2^{n-1}+1)^2=k^2 2^{2n}+2^{2n-2}+1+2\cdot k 2^{n}2^{n-1}+2\cdot k2^n\cdot 1+ 2\cdot 2^{n-1}\cdot 1\equiv 2^n+1 mod 2^{n+1}[/mm].
Nun habe ich einfach versucht dies nachzurechnen... Ich bekomme viel heraus, aber nicht das :-( ... Gibt es hier noch Zwischenschritte, oder wurde etwas ausgeklammert'?
Vielen Dank für die Mühe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Di 21.10.2008 | | Autor: | PeterB |
> > Hier habe ich viel zu kompliziert gedacht: Was wir zeigen
> > wollen ist: a)Wir haben zwei Untergruppen von ( [mm]\mathbb[/mm] Z /
> > [mm]2^n \mathbb[/mm] Z [mm])^{\*}:[/mm]
> > 1) [mm]H:={1,-1}[/mm] und
> > 2) [mm]U:=\{n\in ( \mathbb Z / 2^n \mathbb Z )^{\*}|n\equiv 1 \mod 4 \}[/mm]
>
> >
> > und b) Die Gruppe [mm]G:=( \mathbb Z / 2^n \mathbb Z )^{\*}[/mm]
> > ist das (direkte) Produkt von diesen beiden Untergruppen.
>
>
> Wie kommt man denn genau auf diese beiden Untergruppen? Und
> irgendwie sehe ich nicht so auf anhieb, dass G [mm]2^{n-1}[/mm] und
> U [mm]2^{n-2}[/mm] Elemente haben? Bei der Untergruppe H ist klar,
> dass es sich da um 2 Elemente handelt, aber wie sieht man
> dies bei den anderen beiden?
>
Also wie man darauf kommt, dass man diese Untergruppen betrachten muss kann ich so kurz nicht erklären, vielleicht akzeptieren wir mal für den Moment, dass irgend ein genialer Mensch mal darauf gekommen ist  Wenn man später die Theorie weiter entwickelt wird es klarer, oder man muss eben mit verschiedenen $n$ rumprobieren bis man ein System erkennt.
Die Anzahlen sind recht einfach: $G$ sind die Elemente, von [mm] $\mathbb Z/2^n\mathbb [/mm] Z$, die 1 modulo 2 sind. Also die Ungeraden Zahlen in der Menge [mm] $\{0,1,...,2^n-1\}$ [/mm] d.h. genau die Hälfte. Die Gruppe $U$ enthält die Zahlen (der gleichen Menge), die 1 modulo 4 sind. also genau ein Viertel. Man kann auch etwas genauer argumentieren, dass es das Urbild der 1 unter der kanonischen Projektion [mm] $\mathbb Z/2^n\mathbb Z\rightarrow \mathbb Z/4\mathbb [/mm] Z$ ist. Damit sind es so viele Elemente wie im Kern, und da der Homomorphismus surjektiv ist, sind im Kern (Anzahl Urbild)/(Anzahl [mm] Bild)=$2^n/4=2^{n-2}$ [/mm] Elemente.
> > Die Ordnung eines Elementes teilt die Gruppenordnung. Die
> > Gruppe [mm]U[/mm] hat [mm]2^{n-2}[/mm] Elemente, also ist die Ordnung von 5
> > entweder [mm]2^{n-2}[/mm] oder eine kleinere Potenz von [mm]2[/mm]. Im
> > zweiten Fall gilt insbesondere, dass die Ordnung von [mm]5[/mm] die
> > Zahl [mm]2^{n-3}[/mm] teilt. Wäre das der Fall dann würde in der
> > Gruppe gelten: [mm]5^{2^{n-3}}=1[/mm] und wie bereits oben erwähnt
> > bedeutet das für die ganzen Zahlen: [mm]5^{2^{n-3}}\equiv 1 mod 2^n[/mm].
>
> Genau das ist mir nicht klar. Warum würde im zweiten Fall
> genau gelten, dass [mm]5^{2^{n-3}}=1[/mm] ?
> Und warum bedeutet das für die ganzen Zahlen:
> [mm]5^{2^{n-3}}\equiv 1 mod 2^n[/mm].
>
> Also, warum soll 1 als Rest herauskommen?
Zunächst die 2. Frage: Wir betrachten multiplikative Gruppen. Da ist 1 eben das neutrale Element!
Nun zur ersten: Wir wissen: 5 ist ein Element von $U$. D.h. die Ordnung von 5 teilt die Gruppenordnung also [mm] $2^{n-2}$. [/mm] Was sind jetzt die Teiler? Es sind die kleineren Potenzen von 2: [mm] $1,2,2^2,...,2^{n-2}$. [/mm] Wir wollen zeigen, dass es die höchste Potenz ist. Zum Widerspruch nehmen wir an, das die Ordnung [mm] $2^k$ [/mm] ist mit [mm] $k\leq [/mm] n-3$. Dann können wir $n-3$ schreiben als $n-3=k+l$ mit einer nicht negativen ganzen Zahl $l$. Was heißt nun, dass 5 die Ordnung [mm] $2^k$ [/mm] hat? Doch das [mm] $5^{2^k}=1$ [/mm] in der Gruppe. Dabei benutzen wir die Antwort auf Frage 2: 1 ist das neutrale Element. Dann gilt aber offenbar: [mm] $5^{2^{n-3}}=(5^{2^k})^{2^l}=1^{2^l}=1$. [/mm] Dabei habe ich immer in der Gruppe (praktisch also mod [mm] $2^n$) [/mm] gerechnet.
> > >
> > > > [mm]5^{2^{n-3}}\equiv 2^{n-1}+1 mod 2^n[/mm] für [mm]n\geq 3[/mm].
> >
> > >
> >
> > > > Ind.Anf.:n=3: Klar
> > > > Ind.Ann.: [mm]5^{2^{n-3}}\equiv 2^{n-1}+1 mod 2^n[/mm] für
> > ein
> > > [mm]n[/mm].
> > > > Ind.Schritt: Zeige für [mm]n+1[/mm]:
> > > > Wir wissen aus der Annahme, dass
> > > > [mm]5^{2^{n-3}}=k2^n+2^{n-1}+1[/mm] für eine ganze Zahl [mm]k[/mm]. Damit
> > > > rechen wir:
> > > > [mm]5^{2^{n+1-3}}=(5^{2^{n-3}})^2=(k2^n+2^{n-1}+1)^2=k^2 2^{2n}+2^{2n-2}+1+2\cdot k 2^{n}2^{n-1}+2\cdot k2^n\cdot 1+ 2\cdot 2^{n-1}\cdot 1\equiv 2^n+1 mod 2^{n+1}[/mm].
>
> Nun habe ich einfach versucht dies nachzurechnen... Ich
> bekomme viel heraus, aber nicht das :-( ... Gibt es hier
> noch Zwischenschritte, oder wurde etwas ausgeklammert'?
>
Allgemein (in kommutativen Ringen) gilt: [mm] (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
[/mm]
Jetzt musst du nur noch einsetzen. Die Kongruenz folgt, weil alle anderen Terme 0 modulo [mm] $2^n$ [/mm] sind.
Gruß
Peter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 Di 21.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Vielen lieben Dank!
Die Theorie bin ich denke ich auf einem guten Weg zu verstehen ...
Werde nun probieren die Kongruenzen am Ende zu verstehen und das auf meinen Beispiel-Artikel zu übertragen..
Vielen dank nochmal!
Viele Grüße
Irmchen
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:18 Di 21.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Ich habe mich nun mit den Teil 1 des Satzes auseinandergesetzt und den Beweis nachgearbeitet. Im Laufe dessen habe sich ein Paar Fragen ergeben, die ich mir selber nicht beantworten kann.
Satz :
1. Sei p eine ungerade Primzahl.
Dann ist [mm] ( \mathbb Z / p^n \mathbb Z )^{ \* } [/mm] eine
zyklische Gruppe.
Beweis :
n = 1
[mm] ( \mathbb Z / p \mathbb Z )^{ \* } [/mm] ist zyklisch, weil
[mm] ( \mathbb Z / p \mathbb Z ) [/mm] ein endlicher Körper ist.
n = 2 :
[mm] | ( \mathbb Z / p^2 \mathbb Z )^{ \* } | = ( p-1 ) p [/mm].
Betrachte
[mm] \phi : ( \mathbb Z / p^2\mathbb Z )^{ \* } \to ( \mathbb Z / p \mathbb Z )^{ \* } [/mm]
die Reduktion mod p.
[mm] \phi [/mm] ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.
[mm] | Ker \phi | = p [/mm]
( Warum ist die Anzahl der Elemente des Kerns p ? )
[mm] \Rightarrow Ker \phi [/mm] ist zyklisch und wird von jedem Element [/mm] K [mm] \ne [/mm] 1 [/mm] erzeugt.
( Warum ist er zyklisch und warum schließt man die 1 aus bei den Elementen ? )
Wähle ein Element [mm] a \in ( \mathbb Z / p \mathbb Z )^{ \* } [/mm] , sodass [mm] a \ ( \mathbb Z / p \mathbb Z )^{ \* } [/mm] erzeugt und ein
[mm] K \in Ker \phi [/mm] mit [mm] K \ne 1 [/mm]
1. Fall :
[mm] a^{p-1} \ne 1 [/mm]
Dann gilt:
[mm] a^{p-1} \in Ker \phi [/mm] und erzeugt dann diesen Kern.
Damit erzeugt a auch [mm] ( \mathbb Z / p^2 \mathbb Z )^{ \* } [/mm]
( Ist dieses [mm] a^{p-1} \ne 1 [/mm] in [mm] ( \mathbb Z / p^2 \mathbb Z )^{ \* } [/mm] ?
Ist es ein Element des Kerns weil es ungleich 1 ist? Erzeugt es den Kern, da wir wissen, dass der Kern zyklisch ist und somit von einem Element erzeugt wird?
Und warum erzeutgt dieses a auch [mm] ( \mathbb Z / p^2 \mathbb Z )^{ \* } [/mm] ? )
Das Ganze wird nun mod 9 betrachtet:
[mm] ( \mathbb Z / 9 \mathbb Z )^{ \* } = \{ 1, 2, 4, 5, 7, 8, \}[/mm]
[mm] ( \mathbb Z / 3 \mathbb Z )^{ \* } = \{1, 2 \} [/mm]
[mm] Ker \ \phi = \{ 1, 4 ,7 \} [/mm]
( Sind hier das die Elemente des Kerns, diejenigen Elemente von
[mm] ( \mathbb Z / 9 \mathbb Z )^{ \* } [/mm] , die [mm] 1 \mod 3 [/mm] ergeben ? )
2, 5 ,8 sind die möglichen Wahlen für a.
Für a = 8 ergibt sich [mm] a^{ p -1 } = a^2 = 1 \mod 9 [/mm]
( Warum steht gilt denn [mm] ^{ p -1 } = a^2 [/mm] ? Und weil da 1 als Rest herauskommt und vorausgesetzt war, dass [mm] a^{ p -1 } \ne 1 [/mm] ist, kann 8 nicht den Term erzeugen? )
[/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] [/mm] 2, 5 sind Erzeugende...
( Woher weiß man dass dann diese beiden Erzeugende sind? )
2. Fall:
[mm] a^{ p -1 } = 1 [/mm]
( Warum wählt man eigentlich [mm] a^{ p -1 } [/mm] und nicht [mm] a^p [/mm] ? )
Sei [mm] A := a \cdot K [/mm]
( Warum kommt das K nun ins Spiel? )
Es gilt:
[mm] A^{ p - 1 } = a^{ p -1 } K^{ p_1 } = K^{ p-1} = K^{-1} \ne 1 [/mm]
( Warum gilt [mm] K^{ p-1} = K^{-1}[/mm] ? )
Ersetzt a durch A .
Warum ist man nun fertig?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Mi 29.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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